《多项式及其运算》doc版.doc

袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芆虿虿膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅蕿肁莁蒇螄羇莀蕿薇袃莀荿螃衿荿蒁蚅膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃蒂袆羂聿薅蝿袈肈蚇羄膆肈莇螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄膅蚃薈膃膄莃螃聿膃薅薆肅膂蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芆虿虿膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅蕿肁莁蒇螄羇莀蕿薇袃莀荿螃衿荿蒁蚅膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃蒂袆羂聿薅蝿袈肈蚇羄膆肈莇螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄膅蚃薈膃膄莃螃聿膃薅薆肅膂蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芆虿虿膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅蕿肁莁蒇螄羇莀蕿薇袃莀荿螃衿荿蒁蚅膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃蒂袆羂聿薅蝿袈肈蚇羄膆肈莇螇肂肇葿羂羈肆薁螅袄膅蚃薈膃膄莃螃聿膃薅薆肅膂蚈袂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈芈莄蚁袄芇蒆袇螀芆虿虿膈芆莈羅肄芅蒁螈羀芄薃 多项式1.1 多项式及其运算(一)1. 证明集合是一个数域. 证明：首先不只含有一个数. 任取中的两个数 ,. 则有, 并且，当时，即时， 所以是数域. 2. 一个数域的每个真子集都不是数域，它是否一定不是数域?答：不一定. 例如有理数域. 它的每个真子集都不是数域，因为有理数域是最小的数域(命题1.1).3.设满足, 证明. 这对于中的多项式是否成立？说明理由. 证明：假设若,显然有. 此时为偶数.而另一方面, 为奇数. 矛盾. 若,则有.此时为偶数，而 为奇数，矛盾. 所以. 同理，, 因此即. 对于中的多项式，结论不成立. 例如取.1.2 多项式的整除性(一）1. 当满足什么条件时，有. 解：若, 则有多项式使得 可见为首1的2次式. 设, 则有 比较等式两端的系数有 若, 则有. 若, 则有. 2. 证明. 其中. 证明：充分性. 若, 设. 则有 因此 . 必要性：设, 其中，分别是除所得的商和余数. 由充分性的证明知 , 则由可以得到 而，所以必有. 因此.3. 设. 证明除以所得的余式相同. 证明：设 , 其中分别是除所得的商和余式. , 其中分别是除所得的商和余式.必要性：若 , 即 , 则有.而, 所以 , .充分性：若, 则, 显然有 . 4. 若, 则, 且. 证明：设 , 为常数. , 为常数.则有 .而, 由可知 因此 . 于是 , 1.3 最大公因式 （一）1.证明：若,则. 证明：由, 有多项式 使得 .由,有多项式使得 . 两式相乘得到 即 则有 因此 2. 设f, g是非零多项式, 证明f 和g不互素当且仅当有多项式使得 且 . 证明：必要性. 若f 和g不互素，则 不为常数. 设, .则 此时取, 则有 且 . 充分性：证逆否命题. 假设f 和g互素. 若存在使得 且 . 则有 , 则, 而f 和g互素, 所以. 这与矛盾.所以不存在使得且 . 充分性成立.3. 设均为首1多项式，证明 .（其中表示的首1的最小公倍式.)证明：只需证是的最小公倍式. 首先 ，, 所以是的一个公倍式. 设，则.任取的公倍式，则即 则. 因为, 所以 , 即. 所以是的最小公倍式. 4 设, 若, 则. 证明：证法1, 设, 则有多项式 使得 , 且. 若, 则, . 而由知(利用本节第2题的结果). 从而 , 为常数. 因此 . 证法2，设, 则有多项式使得 . 两端同乘得到 . 而, , 所以 . 从而 5. 设 , 令，设d 是中一个次数最低的多项式，证明 d是的最大公因式. 证明：设, 则有使得 . 设,且则有 , 从而 . 而 ，与的次数最低矛盾. 所以 同理可证，因此 是 的公因式. 而从而所以是的最大公因式. 1.4 因式分解1.设是次数大于0的多项式. 若对于任意多项式. 由可以推出 或. 则是质式. 证明：反证法. 假设不是质式, 则有多项式使得 .且,.由可推出 或者.与矛盾.所以是质式. 2.证明：多项式有相同的质因式当且仅当有自然数使得. 证明：必要性, 设有相同的质因式，且 ,则取 , 有. 充分性, 设的标准分解式为 均不为0)由知可以表示为中可能有0). 而, 即, 所以均不为0. 因此有相同的质因式. 1.5 重因式 （一）1.求多项式及在有理数域上的标准分解. 解：(1) . 由辗转相除法求出 . 则 , 而与有相同的质因式. 从而的既约多项式为, . 它们分别为的1重和3重因式，所以 的标准分解为 (2) . 由辗转相除法求出 , 则. 而与有相同的质因式. 从而的既约多项式为, .它们分别为的2重和1重因式，所以的标准分解为 2. 设是次多项式, . 证明,. 证明：充分性. 则 . 所以 . 必要性 设 . 因为, 所以 , 为的首项系数. 于是 为一次式, 设为 . 而与有相同的质因式, 所以是唯一的质因式. 因此 3. 设是实系数多项式，给出有重因式的充分必要条件，并证明之.证明：若有重因式，则可以表示为 . （注意若则有三重因式）于是 比较系数有：,可推出 ,则有 .有重因式的充分必要条件为.只需证充分性：若, 则必存在满足 从而存在满足，则必可分解为. 因此有重因式. 4. 设, 证明在任何数域上均无重因式.证明：, 可见 . 设, 则有 . 从而 . 设 , . 若, 易知不整除. 所以 , 从而 .因此与互质. 所以在任何数域上均无重因式.1.6 多项式的根1. 设, 若复数是的重根, 则它的共轭复数也是的重根. 证明：是的重根, 则有多项式, 使得 . 则有 .断言不整除, 否则可设 . 两边取共轭有 , 从而 . 这与是的重根矛盾. 所以不整除. 因此是的重根. 2. 设.求. 解：设. 则 . 由可知 ,. 由余式定理有. 即 解得 . 3. 设, 且对任意的有. 证明有使得.证明：设 . 对所有的有 .即 则有 把等式左端看成关于的多项式，它在无穷多个点取值为0. 从而为零多项式. 因此 .于是 . 因此 . 取即可. 4. 设数, 证明多项式被除所得的余式为 . 证明：设 , 或. 为0多项式或者1次式. 所以可设 . 则有 （）解得 , . 因此 被除所得的余式为1.7 有理数域上的多项式1. 求多项式的有理根. 解：设（互质）是的有理根. 则有. 因此 则有 . 代入验证得 是的有理根.2. 求多项式在有理数域上的标准分解.解：先求的有理根. 设（互质）是的有理根. 则有. 因此 则有 . 代入验证得到-1是的有理根. 因此 . 于是， . 由Eisenstein判别法（取）可知 是有理数域上的质式. 因此就是在在有理数域上的标准分解为 . 3. 设是一个整系数多项式, 证明若均为奇数, 则没有整数根.证明：用反证法. 若有整数根, 设为的一个整数根. 则有多项式使得 . 下面证明也是整系数多项式. 设 , 为本原多项式, 为整数. , 为本原多项式, 为有理数.则有 . ,均为本原多项式，由Gauss引理可知 为本原多项式. 由引理7知. 因此是整系数多项式. 为奇数, 从而为奇数. 为奇数，从而为奇数.矛盾. 所以 无整数根. 螄蚆肃蒅薆羅膃膅荿袁膂芇薅螇膁蒀莇螃膀腿蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄薃蒁袆芃芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿羆莁薆蚅羅蒄莈羃羄膃薄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇蚀肇葿薀羈肆腿螅袄肅芁薈螀肄莃螄蚆肃蒅薆羅膃膅荿袁膂芇薅螇膁蒀莇螃膀腿蚃虿腿节蒆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膇膆蚀蚆芆芈蒂羄芅莁蚈袀芄薃蒁袆芃芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇螄羇袈膇薇袃袇艿螃蝿羆莁薆蚅羅蒄莈羃羄膃薄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀羆羀莂蒃袂聿蒅虿螈聿膄蒂蚄肈芇蚇蚀肇葿薀羈肆腿螅袄