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数列知识点及考点综合 数列 （1）定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项. （数列是特殊的函数，数列的定义域为正整数集（或它的有限子集1，2，3，n） （2）通项公式：数列的第n项与项数n之间的函数关系式. 例：数列1，2，n的通项公式= n 数列1，-1，1，-1，的通项公式= ； 数列 0，1，0，1，0，的通项公式（3）递推公式：已知数列的第一项，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式； 例：数列：，求数列的各项.（4） 数列的前n项和及与通项的关系 数列的前项和：； 数列前n项和与通项的关系：等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.（2）通项公式： （其中首项是，公差是；整理后是关于n的一次函数），（3）前n项和公式（推导方法为倒序相加法）： 1 2. （整理后是关于n的没有常数项的二次函数） （4） 等差中项：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：或 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （5）等差数列的判定方法： 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 （6）等差数列的性质： 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 若是等差数列，且，则.也就是：，如图所示： 若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为. 若，是等差数列，则,()是等差数列. 若是等差数列，则组成公差为的等差数列. 若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，也成等差数列，如下所示： 设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则前n项的和. 当n为偶数时，其中d为公差； 当n为奇数时，则，（其中是等差数列的中间一项）。 等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则.证明： 所以，（7） 等差数列前项和的最值问题 前项和（）. 二次函数法：将看作关于的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，是问题得解. 通项公式法：求使（或）成立的最大值即可得的最大(或最小）值. 不等式法：借助最大时，有，解出的范围，进而确定对应的的值等比数列：（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。（2）通项公式：（其中：首项是，公比是）（3）前n项和公式： （推导方法：乘公比，错位相减） 说明： 当时为常数列，各项非0的常数列既是等差数列，也是等比数列（4）等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项，也就是说，如果是的等比中项，那么，即（或，等比中项有两个）（5）等比数列的判定方法： 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。（6）等比数列的性质： 等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则，也就是：，如下所示： 若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，也成等比数列，如下所示： . 若为等差数列，首项，公差，则为等比数列，首项，公比. 若为等比数列，首项，公差，则为等差数列，首项为，公比为.（7） 递缩等比数列（等比数列前项和极限存在，则） 无穷递缩等比数列（为无穷项，有极限）（8）求数列的前n项和的常用方法（抓通项）：分析通项，寻求解法 熟记： ， ， ， ， 分组求和（把一个数列分成几个可以直接求和的数列，再利用公式法）例如： 并项法： 裂项相消法（把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和），常见的裂项公式： （） 例 倒序相加法：等差数列前项和公式的推导方法. 错位相减法（适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和）如： 递推数列(1) (一阶线性递推） 当，为常数，为等差数列（累加法），即： 当，为，即，（等）例 数列满足，解 （累乘法，） ，（） .（构造法，数学归纳法，迭代法）例 数列，求. 构造法（构造等比数列）： 迭代法 ，两式相减得：，令，利用构造法或者迭代法求出，再求出 例 时，方法同 ，采用迭代法无法求解 方法：，则，再利用构造