小学数学数与代数空间与图形复习思考.doc

节蒇羈艿莅蚂袄芈蒇蒅螀芇膇蚀蚆芆荿蒃肅芆蒁蝿羁芅薄薁袇芄芃螇螃袀莆薀虿袀蒈螅羈罿膈薈袃羈芀螃蝿羇蒂薆螅羆薅葿肄羅芄蚅羀羄莆蒇袆羄葿蚃螂羃膈蒆蚈肂芁蚁羇肁莃蒄袃肀薅虿衿聿芅薂螅肈莇螈蚁肈蒀薁罿肇腿螆袅肆节蕿螁膅莄螄蚇膄蒆薇羆膃膆莀羂膂莈蚅袈膂蒀蒈螄膁膀蚄蚀膀节蒇羈艿莅蚂袄芈蒇蒅螀芇膇蚀蚆芆荿蒃肅芆蒁蝿羁芅薄薁袇芄芃螇螃袀莆薀虿袀蒈螅羈罿膈薈袃羈芀螃蝿羇蒂薆螅羆薅葿肄羅芄蚅羀羄莆蒇袆羄葿蚃螂羃膈蒆蚈肂芁蚁羇肁莃蒄袃肀薅虿衿聿芅薂螅肈莇螈蚁肈蒀薁罿肇腿螆袅肆节蕿螁膅莄螄蚇膄蒆薇羆膃膆莀羂膂莈蚅袈膂蒀蒈螄膁膀蚄蚀膀节蒇羈艿莅蚂袄芈蒇蒅螀芇膇蚀蚆芆荿蒃肅芆蒁蝿羁芅薄薁袇芄芃螇螃袀莆薀虿袀蒈螅羈罿膈薈袃羈芀螃蝿羇蒂薆螅羆薅葿肄羅芄蚅羀羄莆蒇袆羄葿蚃螂羃膈蒆蚈肂芁蚁羇肁莃蒄袃肀薅虿衿聿芅薂螅肈莇螈蚁肈蒀薁罿肇腿螆袅肆节蕿螁膅莄螄蚇膄蒆薇羆膃膆莀羂膂莈蚅袈膂蒀蒈螄膁膀蚄蚀膀节蒇羈艿莅蚂袄芈蒇蒅螀芇膇蚀蚆芆荿蒃肅芆蒁蝿羁芅薄薁袇芄芃螇螃袀莆薀虿 小学数学数与代数空间与图形复习思考【现象】资料来源：北京某著名中学初中部主管校长该校接收到校申请就读的学生，进行了一个有趣测试：计算24（+） 到该校申请就读的小学毕业生几乎都没问题，显示出了学生间基本相当的数学功底。但是，当把这个式子转化一下，变为234（+） 有趣的结果发生了，到该校申请就读的小学毕业生只有20%的能够顺利解决，很多学生想都不想，就直接写出答案“3”，学生的差异显著表现出来。【反思】这只是一道纯粹的计算题，如果按照当前新课程“学生活中的数学”的要求，一旦将各种数学概念、原理、公式应用于生活情景中去求解，那么学生的表现会如何呢？为什么换个情景学生就不会做了呢？为了避免这样的现象发生，教学中大搞题海战术、穷尽各种可能性，甚至出一些怪题、偏题，就成为许多教师的主要对策。但是，这样让学生累、家长怨、教师苦的学习所付出的代价是否值得？ 【对策】复习是指把学习过的知识再学习，复习的目的是为了促进学生构建系统知识化，提高综合运用知识解决问题的能力。总复习的知识具有概念多、知识繁、难度大、易混淆等特点。准确牢固地掌握小学数学中的各知识体系，直接关系到学生现实的学习效果和今后的发展，也是提高学生掌握知识的必要环节，更是检测学生对所学知识的掌握程度。复习质量的高低，复习效果的好坏，很大程度上与教师对教材编排的理解、对学生知识状况的掌握、对复习方法的选择和复习内容的设计，以及学生参与复习的热情等方面有关。所以，在总复习时要认真组织复习内容，精心设计练习形式，选择恰当的复习方法，充分调动学生学习的兴趣和热情，突出主体、注重过程、关注发展，抓好“导、练”，系统梳理知识，加强综合训练，活跃学生的思维，才能达到举一反三、触类旁通及适当拓展之目的。才能让学生“复有所通，习有所得”。下面我结合自己的理解，谈谈数与代数、空间与图形的复习，只希望能够抛砖引玉，共同搞好本年毕业班的复习。第一部分：数与代数一、数与代数在小学数学教学中的地位（略）二、小学阶段学习的数与代数领域包含的内容（略）三、在新课标，对数与代数的整体要求（节选）第一节：数的认识(5)在熟悉的生活情境中，了解负数的含义，能用负数表示一些日常生活中的问题。(6)进一步体会数在日常生活中的作用，会用数来表示事物并能进行交流。(7)在1-100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并知道2、3、5的倍数特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。(8)在1-100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。第二节：数的运算（3）能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算。（4）探索和理解运算定律，能应用运算定律进行一些简便运算。（6）会分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除混合运算。(以两步为主，不超过三步。)第三节：式与方程 (4)培养学生的数感、符号感等数学观念。数感是指对数的含义、计数技能、数的顺序大小、数的多种表达方法、模式、数运算及结果的准确感知和理解等。数感是人的一种基本的数学素养，它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁，它也是一种心灵的感受，是一种意识活动，它存在于人的头脑之中，是一种高级的智力活动。具有良好“数感”的人会自然的分解数，发展和运用最基本的内容，运用他们之间的关系及数概念的知识去解决问题，估计问题的合理结果，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质。数感也是人们对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法做出数学判断和为解决复杂的问题提出有用的策略。在数学教学中发展我们的数感主要指：使大家具有运用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能根据数据进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验，等等。根据新课程标准，数感的主要表现包括：一、理解数的意义；二、能用多种方法表示数；三、能在具体的情境中把握数的相对大小关系，能用数表达和交流信息；四、能为解决问题选择适当的算法；五、能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。这些对数感的具体描述，构成了义务教育阶段培养我们数感的主要内容。1、在体验中培养数感2、在比较中培养数感3、在表达与交流中培养数感4、在解决问题中培养数感符号感是一种主动地、自觉地或自动化地理解符号和运用符号的态度和意识，符号感是数学学习的主要任务之一。数学中的符号语言有其系统的特定意义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式性的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。它包括：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会继续符号间的转化；能选择适当的方法解决符号表示的问题。第四节：常见的量（4）在具体生活情境中，感受并认识时间、长度、面积、体积、重量等单位，并能进行简单的换算。（5）结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。第五节：比和比例（2）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。（3）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。第六节：数学思考通过小学阶段的数学学习，学生已经初步体会和简单运用了排列、组合、假设、转化、对应、优化、列表、列举、代数、推理、集合和等量代换、数形结合、数学建模等数学思想和数学方法；初步形成了数感，感受了符号和几何直观的作用；认识到了信息中蕴含着信息，发展了数据分析观念；学会了在观察、实验、猜想、验证等活动中进行有条理的思考，能比较清楚地表达自我的思考过程与结果；能独立思考，也善于小组合作。有了这些数学知识与技能、数学思想与方法、数学活动经验，我们就能化难为易，灵活解决各类问题。1、什么是数学思想？数学方法？所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法， 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们称为数学思想方法。2、新课标中，对数学思考的整体要求认识现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。四、教材编排体系和复习建议（一）数的认识在复习这部分内容之前，学生已经会判断数的种类，只是对于有些概念一时之间说不清楚，甚至有些遗忘了，比如这些数所表示的含义，十进制计数法，计数单位，由于这部分复习内容概念比较集中，复习时可以通过让学生举出例证加以说明的方式帮助学生重温概念的含义，并促进理解。本段教材包括两个层次的复习，第一层次首先提出问题：“你学过哪些数？说一说它们在生活中的应用。“设置这个问题的目的在于让学生再现学过的数，并举例说明。由此不仅可以复习各类数的含义及其实际应用，还能练习它们的读法和写法。为了给学生启发，教材通过插图，给出了五个实例，分别涉及整数、小数、分数、百分数和负数，使学生联想到这些数在日常生活中更多的应用实例。接着教材对整数概念做了概括性的描述，并指出了自然数与整数的关系，以及自然数的单位。然后通过第77页上面的“做一做”，帮助学生搞清楚整数与自然数、正数、负数之间的关系。在此基础上，教材的第二层次进一步启发学生的回想，还学了哪些关于数的知识，然后提出5个更深入的问题，分别涉及十进制计数法，数的大小比较，分数与小数的基本性质，小数点移动引起小数大小变化的规律，约数、倍数的主要概念。通过这些问题的回答，帮助学生比较系统的回顾、再现已学的有关数的主要知识。（二）数的运算教材首先结合解决实际问题，复习四则运算的意义通过举例寻找各种运算的原型，系统构建运算的现实意义；结合具体计算，交流各种运算的计算方法并进行异同比较和四则运算的顺序 ；整理和复习所学过的运算律及验证过程。，再次认识到整数运算律在小数、分数运算中仍然成立 从运算的角度引导学生对“数”进行再认识，感受数系的扩充过程。运用计算解决实际问题，并回顾总结解决实际问题的过程，进一步体会分析数量关系的方法。最后再分类整理。1运算种类：加法、减法、乘法、除法。2运算形式：口算、笔算、估算、用计算器计算。3运算法则：无括号的，同级运算，从左到右；两级运算，先算乘除，后加减。有括号的，先括号里的，再括号外的。4运算定律：加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律。5运算运用：通过运算可以解决许多实际问题。主要步骤包括读懂题目意思，找准数量关系，选择解决方法，列式计算和检验写答。常用方法有数量关系分析法、画图分析法、列表分析法、猜想与尝试法、寻找规律法等。复习时，要注意以下几个方面（1）对四则混合意义的复习可以和简单应用题的复习结合起来进行复习，既复习意义又复习简单应用题所包含的基本数量关系。（2）运算法则要与具体的计算结合起来进行复习，还应该把估算、验算等结合起来。（3）要重点说明审题在四则混合运算中的重要性。（4）要把口算的训练坚持经常化。（5）对于运算定律、运算性质的复习，除系统整理以外，重在解答实际问题时能灵活应用。（三）式与方程式与方程的整理和复习分为两个层次展开，教材的第一层次首先指出用字母表示数的作用，然后由小精灵发问，让学生“说一说你会用字母表示什么”。通过对话，举了一个用字母表示数量关系的例子，又提议用字母表示分数乘法的算法，举一反三启发学生想到更多的实例。第二层次的教材首先再现方程的概念，并启发学生回想解方程的依据，即等式的两条基本性质。然后通过例2复习列方程解决实际问题。六年级的整理和复习阶段，是小学生形成、总结学习经验的有利时机。由于这些知识都是学生原来学过的，因此在对这些知识进行全面的回顾、整理和比较时，必须全面、具体化。因此，加强整理和复习的系统性，使所学知识结构化。教学时教师要善于就题论理、论思路，引导学生总结比较一般的解题测略，以促进学习的迁移和能力的提高。（四）常见的量在复习的过程中，教师并不能单纯地让学生记忆各计量单位间的进率，更注重学生的体验。多次让学生通过比一比、说一说、估一估等不同的形式，使学生多方位的理解知识，在头脑中形成相应的表象，化抽象为具体，为学生正确使用计量单位奠定了基础。同时在复习中还能渗透知识间的联系，更深层地挖掘数学间的密切联系，更好地将数学知识进行疏理，让复习的内容更上一个台阶。这是学生学习方法的有效渗透和指导。介绍不同计量单位的字母表示，一方面与新的课程标准接轨，在新教材中用字母表示计量单位是纳入教学内容的，另一方面对于没学过新教材的学生来说，也拓宽了他们的视野，满足了一些优秀学生的需求。尽可能的体现了“不同的学生在数学上得到不同的发展”这一理念，尽可能做到“下要保底，上不封顶”，让不同层次的学生得不同的发展。（五）比和比例教材主要通过比较、概括的方法引导学生对比和比例的意义、基本性质、正反比例的意义以及化简比、求比值的区别联系等知识进行比较和整理，引导学生在相互比较中梳理知识，进一步理解概念，巩固方法，并能将各个部分互相沟通,形成知识网络。然后通过判断、填空和问题解决等练习提高学生综合运用知识，解决实际问题的能力。由于本节内容刚刚学习，针对学生的实际情况，在复习中应该作相关调整。比如学生对比例尺知识掌握得不错，而应用比和分数之间关系解决实际问题能力较差，就应该有意识地加强了比和除法、分数之间的沟通和联系并加入了解决实际问题的练习。而按照常规教学，先出示一幅地图，让学生求实际距离，再按一定速度求出所需时间等内容就可以少复习或不复习。（六）数学思考在教学这节内容时，老师们总是不敢全然放手，总认为学生无法解决问题，其实，这样做的后果，恰好限制了学生的思维，如果我们放开手，调动起学生探求新知的欲望。以小组的形式分别进行探索，效果一定不错，多数小组通过自己的合作能够将问题解决掉。学生合作后，虽然问题解决了，但是不能忽视在探索问题的答案时，有的方法很好，解决问题的切入点找得恰到好处，解决问题的逻辑性很好。但也有的小组在解决问题时，虽然探索出了问题的答案，可是，逻辑思维却显得不够周密，思路不够清晰。以学生探索P95的第5题的过程为例，此题为四名学生（两男两女）拍毕业照，要求男女生必须间隔开，问有几种站法？有的组在探索时，能将方案非常圆满的记录了下来。讨论的答案是小明在前，女生互相调换一下位置，就有两种站法；小强在前，两个女生再调换位置，又两种站法；小丽在前，两个男孩调换一下位置，同样的道理，另一个女孩在前，两个男孩调换位置，因此有八种站法。有些组探讨的确实小明在前一种，小强在前一种，小丽在前一种，小红在前一种，然后再调换位置，通过这两种方法的对比，我们完全可以形象直观的对比出哪种方法好，哪种方法不容易遗漏，哪种解决问题的方法好。五、精彩题型举例（具体实例，课件演示）（一）数的认识（二）数的运算（三）式与方程（四）常见的量（五）比和比例（六）数学思考六、常见错误案例分析1、信息误解例：下面这个平行四边形形是根据1：3000的比例尺画出来的，它的底是9厘米，宽式6厘米。这个平行四边形的实际面积是多少？错解：96=54（平方厘米） 再求实际面积分析：没有真正理解比例尺的含义，误认为长度的比也是面积的比。教学中要强调容易误解的内容，促进教学理解。2、信息遗漏一个圆柱和圆锥体积相等，他们的底面积的比是3：5，他们的高是几比几？错解：学生无从下手。分析：此题有个条件比较隐蔽复杂，既当一个圆柱和圆锥体积相等时，底面积和高成反比例，同时，学生忘记或不能准确处理“”。找出了这些信息，此题就简单了。3、隐喻的干扰收音机厂生产一种收音机，现在每台成本是68元，比原来降低了15%，原来每台成本多少元？错解：68（1+15%）=78.2（元）分析：表面看是单位“1”错误，实际上学生出错的根本原因是由负迁移的干扰而产生的认知上的混淆。学生知道现在比原来少了15元，那么原来比现在就多了15元，所以理所当然地认为现在比原来降低了15%，原来就比现在升高了15%。因此，理解百分率的实际意义是解决的关键。4、数形结合不够王叔叔买了3本成语故事和5本儿童文学共用50元。1本成语故事比1本儿童文学贵6元。成语故事和儿童文学的单价各是多少元？错解： 儿童文学50（3+5） 成语故事50（3+5）+6 分析：此题数量关系比较复杂，直接思考很难解决，但是用线段图来表示具体的数量，就既简洁又直观，很快就可以找到“替换”的方法。5、引实避虚小张每天读书的页数比小刘多25%，有一本书小张8天读完，小刘几天读完？分析：学生在未学习比例之前，要弄清一本书总页数一定时，每天都的页数与所需的天数之间的关系很困难。况且题中又没有两人每天都的页数，增加了难度，但如果假设一个人是已知的，就很好完成了。6、化整为零李林喝了一杯牛奶的1/6，然后加满水又喝这杯的1/3，再加满水又喝了半杯，又加满水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多还是谁多？分析：按照常规思维，非常麻烦。不妨采用整体思维方法：李林前后喝了四次，牛奶正好一杯。那么，以为每次都加同样多的水，所以水也是一杯。故喝的水和牛奶一样多。7、求同存异例 5（+） （+）=5+5 =5+5=16 =分析：学习了乘法分配律以后，学生并没有真正理解，遇到A(B+C)的算式，就采用类比推理导出AB+AC的错误结论。这就是对比分析，求同存异做得不够。当然，如果学生知道两个式子互为倒数关系，可以转化算式教学计算。8、概念的混淆例：写出10以内的质数、合数、奇数、偶数。错解：奇数、质数无法分辨，偶数、合数无法分清。分析：学生对概念的内涵、外延理解不够深刻。教学中，要注意挖深、挖透知识的本质特征。9、练习脱离学生实际例：小明去买自行车，售货员告诉他“这辆自行车的价格是旁边洗衣机价格（4836元）的1/10的一半”自行车多少元。分析：从数学逻辑上，这道题目没有问题，好像也贴近了学生生活实际，学生解答问题也不大，但是，课下学生毫不客气的说：这根本不可能发生，都是老师编的，你想想：去商店买东西，售货员不赶紧告诉你价格，还让你站在那里猜，他有病呀！10、注意克服思维定势的影响例：正方形的面积是10CM，求圆的面积。分析：在平时的求圆的面积教学中，强调的是“必须知道圆的半径”所以多数学生面对此题时，一般都会想怎么求圆的半径，但是半径又不能求，导致不能求解。11、方程的解法。解方程是采用过去的“根据四则运算各部分之间的关系”还是“根据等式的性质”来解答更容易让学生掌握？教学中，要根据学生的实际来确定。我认为“根据四则运算各部分之间的关系”来解答，在小学阶段更好。第二部分：空间与图形一、地位和作用（略）二、小学阶段学习的数与代数领域包含的内容（略）三、新课标中，对空间与图形的整体要求教学目标（略）四、教材的编排体系和复习建议（一）图形的认识与测量（1）系统整理学过的图形沟通各种图形间的联系，构建各种图形之间关系的网络图；从观察物体中体会从不同的方向观察物体看到的形状是不同的”。沟通立体图形和平面图形的联系。（2）运用所学的知识解决生活中的问题，体会数学与生活的密切联系。（二）图形与变换从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，要求学生积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”，“会画图”。不需要定性地认识、定量地研究。因此，学习的主要方式是结合实例，通过观察与动手操作，如折纸、画图等活动来进行。而且还规定了画图的行为条件“在方格纸上”。如前所述，这是数学的需要（提供参照系），自然也是降低学习难度的需要。平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。所以教材在介绍这两种现象时，都列举一些学生比较熟悉的事物，如火车车厢、电梯间的运动和螺旋桨、钟摆的运动，等等，唤起学生的联想，使他们重新审视生活里的某些常见现象，哪些是平移，哪些是旋转。在结合实例初步感知平移和旋转的基础上，体会它们的不同特点。进而学习在方格纸上把简单的图形沿水平方向或竖直方向平移几格。（三）图形与位置小学阶段学过的描述物体位置的方法大体有四种。其中，上、下、前、后、左、右主要用来确定现实空间中物体的位置；数对主要用来确定平面图上物体的位置；方向及把方向和距离结合起来，既可用来确定现实空间中物体的位置，又可用来确定平面图上物体的位置。其中在平面图上表示物体的位置是学习的难点。学生从一年级起就开始学习该方面内容，但由于各知识在安排上比较独立，各个教学段的目标和要求也不一样，学生的学习呈现一种断续、独立的状态。现在复习阶段的主要任务是要帮学生理清各种表示物体位置的方法，沟通各知识之间的联系，能综合运用所学知识灵活解决实际问题。其中，能准确用数对、方向+距离描述平面图中物体的位置是本课的复习重点。五、典型题例：（一）幻灯片展示。（二）关于“旋转”“平移”的思考1、概念理解教师的数学专业知识旋转是指物体绕固定点作摆动（新时代出版社简明数学词典平移解读成具有以下两个特征的数学现象：A、平移时，平移物体各点相应的始终点的连线是平行的。B、平移时，平移物体的各点的移动距离是相等的。 2、课程标准上的要求第一学段：A、结合实例，感知平移、旋转现象。B、能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直 方向平移后的图形。第二学段：A、通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90。B、欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。 3、课堂实录分析（1）火车、直升飞机的运动，师：它们是怎样运动的？学生众说纷纭：火车是直着向前走；车轮带动着车走这时，教师慌了，不知如何引导下去，主要问题：建构概念的材料具有复合性。策略：注意感知材料的典型性。（2）在初步感知平移和旋转现象后，教师对这两个概念的本质特征进行总结。主要问题：面对二、三年级的学生，采用描述性的下定义(像这样的现象叫做)，是不能反映概念的本质特征的。教师用规范的数学语言来下定义，既生硬，学生也很难理解。策略：学生亲自动手操作，用动作的准确性弥补语言表达的不足。（3）教学“平移”的距离：学生观察图，师问：物体向哪个方向做什么运动？生答：向右平移。师：向右移了多远？生：移了四格。主要问题：把平移的距离误解为两物体间的间隔距离。学生很难想到要数一个图形平移的格数，只要去数某个点移动的格数。策略：A、先点后体的程序来教学，注意问题情境化，童趣化。充分体会“看点”即为方法最优化。B、空间观念需要自主探索与合作交流的氛围。（4）“平移与旋转”中“画出平移（旋转）后的图形”，对于大部分学生来说难度大。主要问题：学生只知道整体平移（旋转）物体，没有弄清楚作图时应该先平移（旋转）物体的某些点和边。策略：可以通过操作帮助学生掌握，先剪一个和要平移的图形一样的硬纸片，在方格纸上按要求平移，再在方格纸上描出来。然后引导学生观察一个点或一条边，按要求平移，确定其对应边，再画出整个图形。（4）这些运动是平移还是旋转？A、物体直接沿着倾斜方向的位置改变属不属于平移？比如：跳降落伞。B、象荡秋千、钟摆这类的运动属不属于旋转运动？C、平移和旋转在很多时候都是连在一起的，如果单一说一种现象是平移还是旋转，很不好说，比如，汽车行驶，属于哪种现象？是看汽车车身，还是看车轮？六、常见错误案例分析（一）几何概念不够明确（课件举例