证明方程根的存在性的方法.doc

在数学的研究领域中，求解方程是一个重要的知识点，而证明方程根的存在性又是求解方程的关键一步.本文利用连续函数的介值定理，费马定理，微分中值定理，函数的单调性，最大值与最小值定理，泰勒公式，积分中值定理七种方法来解决这一问题，并给予了相应的方法步骤，例题简析及结论.1 利用连续函数的介值定理1.1 知识回顾：介值性定理：设函数在闭区间上连续，且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,使得.根的存在定理:若函数在闭区间上连续，且与异号即,则至少存在一点，使得.1.2 方法步骤：（1）构造合适的辅助函数；（2）选取合适的区间，使辅助函数在区间两端点的函数值不同或符号异号；（3）由介值性定理或根的存在定理得出结论.1.3 例题简析：例1. 设在上连续，且满足,证明在区间内，方程至少有一根.分析： 通过引入一个辅助函数,把原来要证明的变为,这就相当于证明方程的根的存在问题，这种证明方法常见.证明：令. 由于, 所以，对任何有.进而, . 若或,则取或,于是方程至少有一根或. 若与,则 由根的存在性定理得：存在使得,即 于是，方程在至少有一根. 综上可得，在闭区间内，方程至少有一根.2 利用费马定理2.1 知识回顾: 费马定理:设函数在点的某领域内有定义,且在点可导,若点为的极值点,则必有.2.2 例题简析:例2.设函数在上连续,在可导,且,试证明:对任意的实数必至少存在一点使得.分析：若能确定某一函数在给定闭区间上的最优值必在该区间内部达到，则由费马定理即刻可以断定方程在该区间内部有一实根.证明：欲证的结论等价于证明方程在内至少存在一实根，则构造辅助函数. 显然在上连续，在内可导，且有 ， 则函数在开区间内点处的函数值大于其在端点处函数值 与 即知在闭区间上的连续函数的最大值必定能在开区间内部的某一点处取到，于是由费马定理得 因 ，则原命题成立.2.3 结论： 利用费马定理证明方程根的存在性方法是：找一个函数，使，证明在某点处取到极值且存在.由费马定理知：，即 .3 利用微分中值定理3.1 知识回顾：(1)罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（i）在区间上连续 (ii) 在区间 内可导 （iii） 则在内至少存在一点，使得.（2）拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：(i) 在闭区间上连续 (ii) 在开区间内可导 则在内至少存在一点，使得=.（3）柯西中值定理：设函数和满足（i）在区间上都连续(ii) 在区间内都可导（iii）和不同时为零(iv)则存在, 使得=.3.2 方法步骤：（1）根据题设条件，分析运用哪个中值定理；（2）灵活，恰当的构造辅助函数;（3）验证辅助函数是否满足微分中值定理的条件；（4）得出结论.3.3 例题简析：例3. 设函数在区间上连续，在内可导，证明方程在内有根.分析：从证明的目标可发现等式左边分子为-,若令，则方程左边为是某一函数在两个不同点处的值，可联想到拉格朗日中值定理，且恰好=. 证明：作辅助函数,则 在上满足拉格朗日中值定理的条件，从而在内至少存在一点，使= 由于 = 可见 = + 即 于是方程在内至少有一根.例4. 设函数在上有二阶导数，且=0，试证方程= 在区间内有根.分析：所给问题为导函数在区间内某点值的问题，可以考虑利用微分中值定理证明，如果将要证明的结论变形为(1-)-2=0,由此认定= 2,如果取,但是在上不满足罗尔定理条件.如果将上式两端同乘以非零函数,使=0,且=,则可取,从而可设.证明：设,由题设条件可知在上连续，在内可导， 由罗尔定理可知，存在,使得 =0 由于1，可知 =0 即 方程=在区间内有根.3.4 结论：有关导数在区间内某点处值的关系式常可以考虑利用微分中值定理证明.（1）如果关系式中出现某函数的导数在两个不同点处的值，常需两次利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（2）如果关系式中出现某函数的二阶导数在某点处值，常可考虑对该函数的导函数利用罗尔中值定理或拉格朗日中值定理来证明.（3）如果某关系式中出现两个函数的导数在某点处值，常可考虑利用柯西中值定理来证明.（4）如果某关系式中出现两个函数的导数在两个不同点处值，常可考虑两次利用柯西中值定理与拉格朗日中值定理证明.4 利用函数的单调性4.1 知识回顾： 单调性定理：设在区间(可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间，也可以是无穷区间)上连续，在内部可导（不需要在端点可导） （1）若内部，0，则在区间上递增. （2）若内部，0，则在区间上递减. （3）若内部，=0，则在区间上是常数函数. （4）若内部，0，则在区间上严格递增. （5）若内部，0，则在区间上严格递减. 4.2 方法步骤： 求具体连续函数在其定义域上或指定的区间上有几个零值点的步骤： （1）求函数的定义域； （2）求出导数等于零或导数不存在的点； （3）列表;（4）讨论每个严格单调区间两端函数（或极限）值的情况;（5）结论.4.3 例题简析:例6. 证明方程在区间内有且仅有两个不同的实根.证明: 由，.设求出F(x) 的单调区间,由于令得且无导数不存在的点,下面列表0(0,e)e()_+ 由在(0,e)内严格递减且在两端点函数(极限)值异号,知在(0,e)仅有一个根,在内严格递增且在两端点函数(极限)值异号,知在内仅有一个根,故原方程在内有且仅有两个实根.例7. 证明若,则方程的任一非零解至多有一个零点.分析：可考虑用反证法，利用导函数是单调函数这一性质找出矛盾.证明：反证法 设,是原方程的一个非零解的两个相邻的零点，不妨设,且在区间,内.由导数定义， = = 而由已知条件 (,) 即是单调增函数，故矛盾. 因此，方程的任一非零解至多有一个零点.4.4 结论：（1）利用闭区间上连续函数的介值性定理证明方程根的存在性，这是最常见的证明方法，而在讨论方程根的唯一性问题时，常常利用函数的单调性. （2）若在区间上连续且严格单调，则在内至多有一个零点.若函数在两端点的函数（或极限）