2020版高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理北师大版.docx

课时规范练36数学归纳法基础巩固组1.如果命题p(n)对n=k(kN+)成立,则它对n=k+2也成立.若p(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是()A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是 ()A.假设n=k(kN+),证明n=k+1时命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立C.假设n=2k+1(kN+),证明n=k+1时命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立3.(2018安徽蚌埠期末,5)用数学归纳法证明不等式“+(n2)”的过程中,归纳递推由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了两项,又减少了一项D.增加了一项,又减少了一项4.(2018辽宁辽阳期末,6)证明等式12+22+32+n2=(nN+)时,某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,12=,等式成立;(2)假设n=k(kN+)时,等式成立,即12+22+32+k2=,则当n=k+1时,12+22+32+k2+(k+1)2=+(k+1)2=,所以当n=k+1时,等式也成立,故原等式成立.那么上述证明()A.全过程都正确B.当n=1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.(2018辽宁抚顺期中,14)用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+.”证明第二步归纳递推时,用到f(k+1)=f(k)+.6.试证:当nN+时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.7.(2018山东师范大学附属中学期中,18)证明:对任意的nN+,不等式成立.8.(2018广东中山一中三模,21)设数列an满足a1=3,an+1=-2nan+2(nN+).(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式(不需证明);(2)记Sn为数列an的前n项和,用数学归纳法证明:当n6时,有Sn2n成立.综合提升组9.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.则下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)4时,f(n)=(用n表示).11.(2018辽宁六校协作体期中,17)是否存在常数a,b使得等式12+22+n2=n(2n+1)(an+b)对一切正整数n都成立?若存在,求出a,b值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.创新应用组12.(2018河南洛阳模拟,18)将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),.分别计算各组包含的正整数的和如下,S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.13.已知函数f0(x)=(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,nN+.(1)求2f1+f2的值;(2)证明:对任意的nN+,等式nfn-1+fn=都成立.参考答案课时规范练36数学归纳法1.Bn=k时成立,当n=2时,n=k+2成立,n为2,4,6,故n为所有正偶数.2.D相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.3.C当n=k时,左边=1k+1+1k+2+,当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+,所以增加了两项+,又减少了一项1k+1,故答案为C.4.A考查所给的证明过程:当n=1时验证是正确的,归纳假设是正确的,从n=k到n=k+1的推理也是正确的,即证明过程中不存在任何的问题.故选A.5.k+1当n=k(k2)时,有f(k)=1+,当n=k+1时,f(k+1)=1+,从k到k+1左端需增加的代数式1+-1-=(k+2-k)=k+1,在证明第二步归纳推理的过程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).6.证明 (1)当n=1时,f(1)=64,命题显然成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,则当n=k+1时,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,对于任意nN+,命题都成立.7.证明 当n=1时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当n=k时不等式成立,即成立.则当n=k+1时,左边=,所以当n=k+1时,不等式也成立.由可得不等式恒成立.8.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.(2)Sn=n2+2n,下证:n6(nN+)时都有2nn2+2n.当n=6时,2662+26,即6448成立;假设n=k(k6,kN+)时,2kk2+2k成立,那么当n=k+1时,2k+1=22k2(k2+2k)=k2+2k+k2+2kk2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立.故对于所有的n6(nN+),都有2nn2+2n成立.9.D对A,当k=1或2时,不一定有f(k)k2成立;对B,只能得出:对于任意的k5,均有f(k)k2成立,不能得出:对任意的k5,均有f(k)k2成立;对C,若f(7)49成立不能推出任何结论;对D,f(4)=2516,对于任意的k4,均有f(k)k2成立.故选D.10.5 (n+1)(n-2)f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+(n-1)=2+3+4+(n-1)=(n+1)(n-2).11.解 分别令n=1,2,可得解得故猜想等式12+22+n2=对一切正整数n都成立.下面用数学归纳法证明:当n=1时,由上面的探求可知等式成立.假设n=k(kN+,k1)时猜想成立,即12+22+k2=.当n=k+1时,12+22+k2+(k+1)2=+(k+1)2=.所以当n=k+1时,等式也成立.由知猜想成立,即存在a=,b=使命题成立.12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+S5+S2n-1=n4.证明如下:记Mn=S1+S3+S5+S2n-1,当n=1时,猜想成立.设当n=k时,命题成立,即Mk=S1+S3+S5+S2k-1=k4.下面证明当n=k+1时,猜想也成立.事实上,由题设可知Sn是由1+2+3+(n-1)+1=+1开始的n个连续自然数的和.所以Sn=+1+2+n=,所以S2k+1=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,从而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以猜想在n=k+1时也成立.综合(1)(2)可知猜想对任何nN+都成立.13.(1)解 由已知,得f1(x)=f0(x)=-,于是f2(x)=f1(x)=-=-+,所以f1=-,f2=-+,故2f1+f2=-1.(2)证明 由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+,类似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+对所有的xN+都成立.当n=1时,由上可知等式成立.假设当n=k时,等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+.因为kfk-1(x)+xfk(x)=kfk-1(