飞行器轨迹优化技术综述.doc

飞行器轨迹优化方法综述陈功，傅瑜，郭继峰（哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001）摘 要：飞行器轨迹优化是飞行器总体设计的关键环节，特别是在现代空间飞行器和高超声速飞行器设计过程中发挥着重要作用。本文在全面调研国内外现有轨迹优化技术的基础上，提出了飞行器轨迹优化新的分类方式，概述了多种飞行器轨迹优化的原理和应用，并详细分析了各自的优缺点和发展趋势。最后介绍了现在实际应用的多种轨迹优化软件。关键词：轨迹优化；最优控制；高超声速飞行器；优化软件中图分类号：V412.1 文献标识码：ASurvey of aircraft trajectory optimization methodsChen Gong, Fu Yu, Guo Jifeng(Department of Space Engineering in School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin,150001)chenAbstract：Aircraft trajectory optimization is the key step of flight vehicle preliminary design, especially for the modern spacecraft and supersonic flight vehicle. This paper gives the new classification method of aircraft trajectory optimization methods based on a review of all the available trajectory optimization technologies at home and abroad. Meanwhile, this paper gives a summary of principle and application of all trajectory optimization methods and it also gives a detailed analysis of their respective advantages and disadvantages and development trend .Finally this paper introduces kinds of useful trajectory optimization software. Keyword: Trajectory Optimization; Optimal Control; Supersonic Flight Vehicle; Optimization Software 0 引言飞行器轨迹优化是总体优化设计中的重要组成部分，特别是在空间飞行器和现代高超声速飞行器的设计中，轨迹优化贯穿于整个飞行器设计过程中，影响着总体、气动布局、制导控制、动力和结构等多个分系统的设计。起初学者们都采用最优控制理论，推导轨迹最优的解析解，如今归纳为解析法。该方法对于简单的线性系统比较有效，对于复杂非线性系统就显得力不从心了。因此人们慢慢地把研究的焦点转向了数值解法。数值解法是指利用离散的参数来逼近整个系统，使轨迹优化问题转化为参数优化问题，然后采用合适的算法解参数优化问题。因此，数值解法包括轨迹优化问题的转化和解参数优化问题两部分。1 最优问题的一般描述一般最优控制问题可以的数学描述如下： 满足： 其中，表示系统的状态变量；表示时间变量。标量性能指标函数，由末值型性能指标函数和积分型性能指标函数组成，其被积函数为，并且积分是从时刻到时刻。另外，性能指标函数必须在满足条件、和下，使其达到最小值。其中，方程组表示系统状态方程，方程组表示状态变量、控制变量和参量的等式约束，方程组表示状态变量、控制变量和参量的不等式约束，方程组表示状态变量的初始条件，方程组表示状态变量和参量的终端条件。在一般最优控制的描述中，如果边界条件为，控制问题为初值问题，否则为两点边值问题(Boundary Value Problem, BVP)。最优控制中求解BVP问题的难度远远高于初值问题1。2 轨迹优化转化方法分类就轨迹优化问题的转化方法来讲，数值解法主要有直接法和间接法两类2。2.1 直接法直接法是采用参数化方法将连续空间的最优控制问题求解转化为非线性规划(Nonlinearprogramming，NLP)问题，通过数值方法求解非线性规划问题来获得最优轨迹。直接法相对间接法应用更为广泛，而且有多种类转化方法实现上述参数化过程，目前直接打靶法、多重直接打靶法、配点法、微分包含法等四种方法是主要应用的轨迹优化方法2。2.1.1 直接打靶法直接打靶法是直接法中最常用的一种形式，只对控制量进行离散化，状态量由高阶积分算法决定。离散过程的数学描述如为 ， 其中，式(7)为时间变量的离散化，式(8)控制变量的参数化，式(9)为约束函数的参数化。，表示在时刻的控制变量值，表示在时刻的控制变量值。为一个标量参数。因为价值函数是控制变量的函数，因此通过上述参数化过程后，有限维的最优控制问题被近似化为有限维的NLP问题： 这样就可以直接使用微分方程求解程序，但是它存在着对初始值敏感、数值梯度运算量较大、每次迭代都需要对状态变量进行积分等缺点，适用于较简单、精度要求不高的最优控制问题3。为使其能求解更为复杂的轨迹优化问题，现在实际应用的直接打靶法主要做了以下改进：选取更精确的插值方法（三次插值、样条插值等）、选用精度更高的数值积分方法求解微分方程、选用收敛性和精度更好的NLP算法和性能更好的数值微分算法。直接打靶法在处理火箭上升轨迹和空间飞行器转移轨道优化等方面取得了显著的成果，是目前主流的轨迹优化算法5。多重直接打靶法是直接打靶法的一种改进方法2。因为直接打靶法的积分区间为，当积分时间间隔较大时，积分和微分算法算法的精度都很低。多重直接打靶法针对此问题，采用了分段积分技术，对计算精度有所提高。2.1.2 配点法配点法又称为正交配点法起源于解决流体问题的光谱分析法。该方法利用全局插值多项式的有限基来近似状态量和控制量，用配点规则保证微分方程组满足约束条件，对多项式进行求导来近似动力学方程中的状态变量对时间的倒数，且在一系列的配点上满足动力学方程右函数约束，从而将微分方程约束转化为代数约束。配点一般选择正交多项式的根，离散点称为节点。根据离散点选取方式的不同，配点法主要有Legendre伪谱法(LPM)、Gauss伪谱法(GPM)、Chebyschev伪谱法(CPM)、Radau伪谱法(RPM)和Hermite-Legendre-Gauss-Lobatto配点法(Hermite-LPM),而其中Gauss伪谱法、Radau伪谱法和Legendre伪谱法是最近发展最为迅速的优化方法。配点法对初始猜测值不敏感，可以有效处理约束条件，适应性强。同时可对全部控制量与全部状态量进行离散化，配点后的状态量采用多项式拟和，而无需数值积分，节省了计算时间，是近期研究的热点,在高超声速飞行器最优弹道、再入弹道优化78等方面取得了很好的效果。此外，在一定条件下可以利用伪谱法对最优控制问题进行变换，以满足协态映射定理(Costate Mapping Principle, CMP),这就实现了直接法和间接数值方法的统一，保证了方法的收敛性。上述伪谱方法对控制变量和状态变量的近似多项式、配点选择以及是否满足CMP条件的对比如表1。表1 不同伪谱方法对比伪谱方法离散点类型插值多项式是否满足CMPLPMLGL点Lagrange多项式否GPMLG点Lagrange多项式是CPMCGL点Chebychev多项式否RPMLGR点Lagrange多项式否Hermite-LPMLGL点Lagrange多项式否2.1.3 微分包含法微分包含法7是先将控制量转化给状态量，而后对状态量进行离散化，可以视为对配点法的改进。相对配点法，由微分包含法所转化而来的NLP模型中的变量数目较少。通常状况下，使用微分包含法求解速度更快，这更有利于飞行器轨迹优化的在线实现，因此，微分包含法是前景较为广阔的最优控制离散变换方法。微分包含法的显著特点是只对状态变量进行离散，而通过对状态变量的变化率的限制将受限控制变量消去。但是由于微分包含法必须抵消控制量，对于复杂系统在转化上有一定的难度，使其很难在参数化问题中得到广泛推广2。2.1.4 其它优化方法近些年，国内外部分学者将快速搜索随机树法11、滚动时域法等其它领域的优化方法引入到轨迹优化研究中来，并取得了一些成果，但是由于其存在的固有缺陷限制了这些优化方法的实际应用。2.2 间接法间接法的基本原理是基于Pontryagin极大值原理将最优控制问题(1)(6)转化为Hamilton边值问题(HBVP)。因此首先引入Hamilton函数 式中称为的伴随矢量或协调矢量。考虑到初始条件(5)和终端约束(6),因此最优控制边界条件为 设为最优控制量，则必要条件是存在非零矢量函数，使得满足下列条件：(1)Hamilton方程组 (2)极小值条件 (3)终端横截条件 (4)终端约束条件 间接法先用最小值条件求出最优控制变量的表达式，结果一般为关于伴随变量和状态变量的函数。在通过求解Hamilton方程组、终端横截条件和约束组成的两点边值问题，从而获得最优状态和最优控制量。因为间接法求解最优控制问题时，要利用Pontryagin极大值原理推导出最优控制的一阶必要条件，从而得到求解最优轨迹的Hamiltonian边值问题（HBVP），而后再利用直接法中提到的直接打靶法、配点法对HBVP进行参数化9。间接法求解的精度较高，且最优解满足一阶最优性必要条件。相比直接法，用间接法求解最优控制问题存在一定缺陷10：基于Pontryagin极大值原理推导最优解与横截条件等过程较为复杂和繁琐；求解Hamilton边值问题时的收敛域很小，致使初值估计精度要求很高；协态变量无实际物理意义，其初始值难以估计；含路径约束的最优控制问题，必须将路径约束转化为终端约束才能解算；含隐式约束条件时，相应的拉格朗日乘子很难消去，则将大大增加计算量。通过系统地研究和总结现有轨迹优化的数值解法的原理和成果，在下表2中对以上各种直接法和间接法进行了对比分析4。表2各种数值优化方法对比分析方法初值敏感度符号推导类型所得NLP规模能否求解不定问题精度能否求解BVP直接打靶法高较简单的离散控制变量较小较困难低不能配点法较低离散的控制和状态变量，运算量大但可程序化很大较容易较高可以微分包含法较低速度图映射和离散状态变量，速度图映射可能需人工推导，状态离散可程序化大较容易较高可以间接法极高一阶最优性条件，难以程序化困难高困难3 参数优化算法分类利用上述的转化方法，轨迹优化问题就转化成了相应的参数优化问题。目前，对于参数优化问题已有许多求解算法，这些算法可以分为精确算法和现代启发式算法。3.1 精确算法精确算法包括可行方向法、梯度下降法、梯度投影法、节约梯度法、内点方法、罚函数方法、信赖域方法、动态规划法、QP法以及SQP法2等。精确算法的特点就是需要目标函数或约束函数具有良好的性质,如目标函数可微、连续，或可行域为凸集等。在这些精确算法中，序列二次规划方法(Sequential Quadratic Programming，SQP)是最有效的方法，也是现今飞行器轨迹优化的主流优化算法4。此外动态规划法也得到一定范围的应用。3.1.l 序列二次规划方法(SQP)序列二次规划算法是通过Lagrange函数将有约束的优化问题转化为无约束优化问题，并求解拉格朗日极小值方程将原优化问题转化为二次规划问题，最终通过Newton迭代算法与BFGS更新算法等完成解算。非线性规划问题可表示为 式(19)对应的二次规划子问题(QP)表示为 基于梯度的非线性规划算法对参数的初始猜值比较敏感，要求使用者对被优的系统有一定的先验知识，对被优参数的取值有一定的了解，这无形就对使用者提出了较高的要求。同时，现有的基于梯度的非线性规划算法每迭代一步都需要更新梯度，必将带来较大的计算量，并且该类算法只能保证局部最优解。3.1.2 动态规划法动态规划方法是解决多阶段决策过程的最优化的一种数学方法。它的基本原理是最优策略的子策略总是最优的，即将由直接法求解的轨迹优化问题看成是各时间段的组成的子问题，数学描述为 因此，可以用此方法对离散控制变量的的直接法得到最优轨迹优化问题进行求解。此方法计算原理简单，精度较高，但是此方法的最大缺点是“维数灾难”，即即便是稍复杂的问题，都需要计算机大量的存储空间，从而严重限制了该方法的实际应用。为了克服精确算法的种种问题，近期发展起来的以进化算法为代表的现代启发式算法慢慢地引起了学者们的研究兴趣。3.2 现代启发式算法现代启示算法包括遗传算法13(Genetic Algorithm，GA)、进化策略(Evolutionary Strategies，ES)、基于群智能的粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)等进化算法、模拟退火算法、混沌算法及神经网络算法等。现代启示算法对目标函数和应用条件的限制较少，而且收敛速度快，容易得到全局最优解，因而具有更大的灵活性和适应性,是未来飞行器轨迹优化方法发展的主要方向。3.3 混合算法基于以上精确算法和现代启示算法中的几种参数化算法的优缺点，国内外很多学者开始研究多种算法相结合的混合优化算法。如遗传算法和基于梯度的非线性规划算法结合，首先采用遗传算法进行迭代，初步得到最优解，而后将该解作为基于梯度的非线性规划算法的初始值，进行迭代，得到最终的最优解。可以预见，混合算法必将成为未来轨迹优化算法的热点。综上所述，将轨迹优化方法归纳为如图1所示。图1 轨迹优化方法4 轨迹优化软件及应用现行较为著名的飞行器轨迹优化软件包有POST、ChebyTOP、VIAT、OTIS15、CAMTOS16、SEPSPOT、TOMLAB等。特别是POST和OTIS在一系列航天器轨道优化和航空器轨迹优化方面都取得了巨大的成功14。5 结论由于轨迹优化是飞行器总体设计中的重要环节，特别是在现代空间飞行器和高空、高速、高机动性飞行器的设计中，轨迹优化的地位尤其重要。国内很多单位如哈工大、国防科大开展飞行器轨迹优化研究已有多年，但是对轨迹优化方法的分类和总结一直很混乱，没有定论。本文根据不同飞行器轨迹优化方法的原理，提出了新的分类方法，并在此基础上概述了多种常见轨迹优化方法的算法、特点、应用以及未来的发展趋势。参考文献：1 陈聪, 关成启, 史宏亮. 飞行器轨迹优化的直接数值解法综述. 战术导弹控制技术, 2009, 31(2): 34402 Betts J T.Survey of numerical methods for trajectory optimization J.Journal of Guidance ,Control and Danymics,1998,21(2):193-2063 David G. 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