题型五-二次函数与几何图形综合题.doc

目录目录 题型五题型五 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 2 类型一类型一 与特殊三角形形状有关与特殊三角形形状有关 .2 类型二类型二 与特殊四边形形状有关与特殊四边形形状有关 .8 类型三类型三 与三角形相似有关与三角形相似有关 .18 类型四类型四 与图形面积函数关系式、最值有关与图形面积函数关系式、最值有关 .23 类型五类型五 与线段、周长最值有关与线段、周长最值有关 .29 题型五题型五 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 类型一类型一 与特殊三角形形状有关与特殊三角形形状有关 针对演练针对演练 1. (16 原创)如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 的对称轴为 x=1,与 y 轴的交点第 1 题 图 C 为（0,3） ，与 x 轴交于点 A、B，顶点为 D. （1）求抛物线的解析式； （2）求 A、B、D 的坐标，并确定四边形 ABDC 的面积； （3）点 P 是 x 轴上的动点，连接 CP，若CBP 是等腰三角形，求点 P 的坐标. 2. （15 长沙模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象过点 M（-2,） ，顶点为3 N（-1, ） ，与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的右侧） ，与 y 轴交于点 C. 4 3 3 （1）求抛物线解析式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）若点 Q 是抛物线对称轴上一点，当QBC 是直角三角形时，求点 Q 的坐 标. 3. （16 原创）如图，抛物线 y = -x2+mx+n 与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴 1 2 交于点 C，其对称轴与 x 轴的交点为 D，已知 A（-1,0） ，C（0,2）. （1）求抛物线的解析式； （2）判断ACD 的形状，并说明理由； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得PBC 是以 P 为直角顶点的直 角三角形，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 4. 如图，已知二次函数 L1:y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 边） ，与 y 轴交于点 C. （1）写出 A、B 两点的坐标； （2）二次函数 L2:y=kx2-4kx+3k(k0),顶点为 P. 直接写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数 k，使ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不 存在，请说明理由； 若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会发生变化？ 如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由. 答案答案 1. 解：解：（1）抛物线 y =-x2+bx+c 的对称轴为，1 1 2 b x 解得 b=2，抛物线过点 C（0,3） ，c=3， 抛物线解析式为 y=-x2+2x+3； （2）由抛物线 y=-x2+2x+3，令 y =0 得，-x2+2x+3=0， 解得 x1=-1,x2=3，点 A（-1,0） ，点 B（3,0） ， 当 x=1 时，y=-12+2+3=4,点 D 的坐标为（1,4）. 如解图，过 D 作 DMAB 于 M，则 OM =1，DM =4， S四边形 ABDC =SAOC+S四边形 OMDC+SBMD =AOOC +（OC+MD）OM +BMDM 1 2 1 2 1 2 =13+（3+4）1+42 1 2 1 2 1 2 =9. （3）设点 P 的坐标为（t,0） ，则 PC 2=t 2+32，PB 2=(3-t)2， BC 2=32+32=18， 若PBC 是等腰三角形， 则有PC 2=PB 2，即 t 2+9=(3-t)2，解得 t =0，此时点 P 的坐标为（0,0） ； PC 2=BC 2，则 t 2+9=18，解得 t =3（舍）或 t =-3，此时点 P 的坐标为（-3,0） ； PB 2=BC 2则(3-t)2=18，解得 t =3+或 t =3-，3 23 2 此时点 P 的坐标为（3+,0）或（3-,0）.3 23 2 2. 解：解：（1）由抛物线的顶点为 N（-1, ） ，故设抛物线的顶点式为 y=a(x+1) 4 3 3 2+ ， 4 3 3 将点 M（-2, ）代入解析式得，3 a(-2+1)2+=3， 4 3 3 解得 a =, 3 3 抛物线的解析式为 y = - (x+1)2+. 3 3 4 3 3 即 y=x2x +. 3 3 2 3 3 3 （2）对于抛物线 y=x2-x +，令 y = 0, 3 3 2 3 3 3 得x2-x +=0， 3 3 2 3 3 3 解得 x1=1,x2=-3， 点 A（1,0） ，点 B（-3,0） ， 令抛物线 x=0,得 y=，3 点 C 的坐标为（0, ）.3 AB 2=42=16,AC 2=12+()2=4,BC 2=32+()2=12,33 AB 2=AC 2+BC 2, ABC 是直角三角形. (3)由抛物线顶点 N（-1, ）知抛物线的对称轴为 x =-1， 4 3 3 设点 Q 的坐标为（-1,t） ， 则 BQ 2=(-3+1)2+t 2=4+t 2,CQ 2=(-1)2+(t-)2=t 2-t+4，BC 2=12.32 3 要使BQC 是直角三角形， () 当BQC90，则 BQ 2+QC 2=BC 2, 即 4+t 2+t 2-t+4=12，2 3 解得 t1=+,t2=-，此时点 Q 的坐标为（-1，+）或（-1， 3 2 11 2 3 2 2 3 3 2 11 2 -） ； 3 2 11 2 （）当QBC90，则 BQ 2+BC 2=QC 2， 即 4+t 2+12=t 2-t+4，解得 t=-，此时点 Q 的坐标为（-1，-） ；2 32 32 3 （）当BCQ = 90时，则 QC 2+BC 2=BQ 2， 即 t 2-t+4+12=4+t 2，解得 t =，此时点 Q 的坐标为（-1, ）.2 32 32 3 综上，当QBC 是直角三角形时，点 Q 坐标为（-1，） ， （- 311 2 1，）2 3 3. 解：解：（1）点 A（-1,0） ，C（0,2）在抛物线上， ，解得 1 0 2 2 mn n 3 2 2 m n 抛物线解析式为 y=-x2+x+2； 1 2 3 2 （2）ACD 是等腰三角形. 理由：抛物线 y=-x2+x+2 的对称轴为直线 x =， 1 2 3 2 3 2 点 D（,0） ， 3 2 A（-1,0） ，C（0,2） ， AC =，AD =1+=,CD =，5 3 2 5 2 22 35 2( ) 22 AD=CDAC， ACD 是等腰三角形； （3）令抛物线 y=-x2+x+2=0，得 x1=-1,x2=4, 1 2 3 2 点 B 的坐标为（4,0） ，则 BC =，2 5 取 BC 的中点为 S，则点 S 的坐标为（2,1） ； 设点 P（,t） ， 3 2 则 PS =BC =，即(2-)2+(t-1)2=5， 1 2 5 3 2 解得 t1=1+,t2=1-， 19 2 19 2 存在这样的点 P，其坐标为（,1+）或（，1-）. 3 2 19 2 3 2 19 2 4. 解：解：（1）当 y=0 时，x2-4x+3=0， x1=1，x2=3， 即：A(1，0),B(3，0); （2） 二次函数 L2与 L1有关图象的两条相同的性质： （）对称轴都为直线 x=2 或顶点的横坐标都为 2； （）都经过 A(1，0),B(3，0)两点； 存在实数 k，使ABP 为等边三角形. y=kx2-4kx+3k=k（x-2）2-k, 顶点 P（2，-k）. A(1，0)，B(3，0)，AB = 2， 要使ABP 为等边三角形，必满足|-k|=3，k=3； 线段 EF 的长度不会发生变化. 直线 y=8k 与抛物线 L2交于点 E、F 两点， kx2-4kx+3k=8k, k0,x2-4x+3=8, x1=-1，x2=5， EF =x2-x1=6， 线段 EF 的长度不会发生变化且 EF6. 类型二类型二 与特殊四边形形状有关与特殊四边形形状有关 针对演练针对演练 1. 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2） ，B（3，2）两点，点 D 在 x 轴的正半轴. （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）若点 C 为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围 成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由. 2. 如图，已知平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线 y=- x2+bx+c（c0）的顶点 D 在第二象限，与 y 轴的交点为 C，过点 C 作 CAx 轴交抛物线于点 A，在 AC 延长线上取点 B，使 AC =2BC，连接 OA，OB，BD 和 AD. （1）若点 A 的坐标为（-4,4） ，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求直线 BD 的解析式； （3）是否存在 b、c 使得四边形 AOBD 是矩形，若存在，直接写出 b 与 c 的关 系式；若不存在，说明理由. 3. 如图，已知直线 y =x+8 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 是线段 AB 4 3 的中点，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过 O、A 两点，且其顶点的纵坐标为. 4 3 (1)分别写出 A、B、C 三点的坐标； (2)求抛物线的函数解析式； (3)在抛物线上是否存在点 P，使得以 O、P、B、C 为顶点的四边形是菱形？若 存在，求所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 4. （15 毕节 16 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（-1，0） ， B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M.第 4 题图 （1）求抛物线的解析式; （2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求CAB 的面积; （3）是否存在过 A、B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得 四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式;若不存在，请说明理 由. 5. (15 黄冈 14 分)如图，在矩形 OABC 中，OA5，AB4，点 D 为边 AB 上一 点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在 OA 边上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. （1）求 OE 的长； （2）求经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式； （3）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长的速度向点 B 运动，同 时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长的速度向点 C 运动，当点 P 到 达点 B 时，两点同时停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP =DQ； （4）若点 N 在（2）中的抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样 的点 M 与点 N，使得以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案答案 1. 解解:（1）把 A(0,2),B(3,2)代入 y=x2+bx+c,得 ，解得， 2 932 c bc 3 2 b c 抛物线的解析式为：y=x2-3x+2, 当 y =0 时，x2-3x+2=0，解得 x1=1，x2=2， 抛物线与 x 轴的交点坐标为(1,0)、(2,0). （2）存在. 理由：A(0，2)，B(3，2)， ABx 轴，且 AB =3, 要使 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形， 则只要 CD =AB =3. 当 C 点坐标为（1，0）时，D 坐标为（4，0） ； 当 C 点坐标为（2，0）时，D 坐标为（5，0）. 存在点 D，使以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，D 点的坐 标为（4，0）或（5，0）. 2. 解：解：（1）CAx 轴，点 A 的坐标为（-4,4） ， 点 C 的坐标为（0,4） ， 将点 A 与点 C 代入 y=-x2+bx+c 得 ，解得， 1644 4 bc c 4 4 b c 抛物线的解析式为 y=-x2-4x+4； （2）AC =2BC，BC =2， 点 B 的坐标为（2,4） ， 由抛物线 y=-x2-4x+4 得顶点 D 的坐标为（-2,8） ， 设直线 BD 的解析式为 y=kx+m， 则，解得， 28 24 km km 1 6 k m 直线 BD 的解析式为 y =-x+6. （3）存在，b 与 c 的关系式为 b=-c.2 【解法提示解法提示】点 C 的坐标为（0，c） ，抛物线的对称轴为 x =0，即 2 b b0，ACx 轴， 点 A 的坐标为（b,c） ， AC=2BC，点 B 的坐标为（-,c） ， 2 b 则 AB 的中点坐标为（,c） ， 4 b 若四边形 AOBD 是矩形， 则需OD 的中点坐标为（,c） ；OD=AB， 4 b 由得点 D 的坐标为（,2c） ， 4 b 由得()2=()2+(2c)2，整理得 2c2=b2， 3 2 b 4 b c0，b0, b=-c.2 3. 解：解：（1）令 y=0，即-x+8=0，得 x=6,A 点坐标为（6，0） ， 4 3 令 x=0,则 y=8，B 点坐标为（0，8） ， C 点坐标为（3，4）. （2）点 C 在抛物线的对称轴上， 抛物线顶点坐标为（3，-）. 4 3 依题意有,解得, 0 3660 4 93 3 c abc abc 4 27 8 9 0 a b c 抛物线的函数解析式为； 2 48 279 yxx （3）存在. AOB90，A（6，0） 、B（0，8） ， , 2222 6810ABOAOB C 是 AB 的中点， OC =AB=BC=5, 1 2 OB=8, OBOC，且 OBBC， 当以 O、P、B、C 为顶点的四边形是菱形时，OB 是菱形的对角线， 连接 PC，则 OB 是 PC 的垂直平分线， 点 P 与点 C 关于 y 轴对称， C（3，4） ， P（-3，4） ， 把点 P（-3，4）代入抛物线解析式得： 2 48 279 yxx 当 x-3 时，y（-3）2-（-3）4， 4 27 8 9 点 P（-3，4）在抛物线上. 故在抛物线上存在点 P，使以 O、P、B、C 为顶点的四边形是菱形，且点 P 的 坐标是（-3，4）. 4. 解：解：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（-1,0） ，B(3,0), 抛物线的解析式为 y（x+1）(x-3)x2-2x-3；（4 分） （2）抛物线 yx2-2x-3=(x-1)2-4， 点 M 的坐标为（1,-4）. 点 M 与点 M关于 x 轴对称， 点 M的坐标为（1,4） ，（6 分） 设直线 AM的解析式为 y=kx+m， 将点 A（-1,0） ，点 M(1，4)代入得， ，解得， 0 4 km km 2 2 k m 直线 AM的解析式为 y2x+2，（8 分） 将直线 AM与抛物线 yx2-2x-3 联立得 ，解得， 2 22 23 yx yxx 1 1 1 0 x y 2 2 5 12 x y 点 C 的坐标为（5,12） ，（10 分） 又AB =3-（-1）4， SCAB=41224. （12 分） 1 2 （3）四边形 APBQ 是正方形， PQ 垂直且平分 AB，且 PQ=AB， 设 PQ 与 x 轴交点为 N，则 PN =AB2, 1 2 抛物线的对称轴为 x1， 点 P 的坐标为（1,2）或（1，-2）. （13 分） 设过 A、B 两点的抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)， 将点（1,2）代入得 a =-， 1 2 此时抛物线解析式为 y =- (x+1)(x-3)=- x2+x +；（15 分） 1 2 1 2 3 2 将点（1，-2）代入得 a =， 1 2 此时抛物线解析式为.（16 分） 2 113 (1)(3) 222 yxxxx 5. 解解:(1)四边形 OABC 为矩形， BCOA5，OCAB4，COA90， 又CED 是BCD 沿直线 CD 折叠得到的，点 B 的对应点为点E， CEBC5， 在 RtCOE 中，OE 2CE 2-OC 2， OE , 22 54 OE3. (2 分) （2）设 AD =m, 则 DE=BD=4-m.OE3， AEOA-OE5-32. 在 RtADE 中，AD 2+AE 2=DE 2,即 m 2+22=(4-m)2, m， 3 2 D（-，-5）. （4 分） 3 2 又C（-4，0） ，O（0，0） ， 设过 O，D，C 三点的抛物线的解析式为 y=ax(x+4)， -5-a（-+4） ， 3 2 3 2 a， 4 3 经过 O，D，C 三点的抛物线的解析式为 y=x2+x. （6 分） 4 3 16 3 （3）由于运动时间为 t 秒，则 EQt，CP2t， 如解图，BCD 沿直线 CD 折叠得到ECD, BDDE, 若 DPDQ， 则 RtPBDRtQED（HL）, PBQE,即 CB-CPEQ. 5-2tt, 解得 t.(8 分) 5 3 （4） （）如解图，当 M 点在对称轴右侧，即为 M1点， M1NCE 且 M1N =CE 时，四边形 ECNM 1为平行四边形， 过 M 1作 M 1F 垂直对称轴于点 F，则M 1FN COE， FM 1OC，对称轴为直线 x-2， 此时，点 M 1的横坐标为 2， 对于 y =x2+x，当 x2 时，y=16， 4 3 16 3 点 M 1的坐标为（2，16）. (10 分) ()如解图，当 M 点在对称轴左侧，即为 M 2，M 2NCE 且 M 2N =CE 时， 四边形 ECM 2N 为平行四边形，过 M 2作 M 2F 垂直对称轴于点 F，则M 2FN COE， FM 2OC， 对称轴直线 x-2， 此时，点 M 2的横坐标为-6. 对于 y =x2+x，当 x-6 时，y=16， 4 3 16 3 点 M 2的坐标为（-6，16）. (12 分) （）如解图，当 M 点在抛物线的顶点上，即为 点 M 3，CN M 3E 且 CN = M 3E 时,四边形 EM 3CN 为平行四边形,CE 与 NM 3相 交于点 O，则 O为线段 CE 的中点， 又点 M 3在对称轴上，则 M 3的横坐标为-2， 对于 y =x2+x，当 x-2 时，y=-， 4 3 16 3 16 3 点 M 3的坐标为（-2，- ）. 16 3 综上所述，当点 M 的坐标为（2，16） 、 （-6，16） 、 （-2，- ）时，以 16 3 M,N,C,E 为顶点的四边形为平行四边形. (14 分) 类型三类型三 与三角形相似有关与三角形相似有关 针对演练针对演练 1. （15 黔南州 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=-x2+bx+c 1 6 过点 A(0,4)和 C(8,0),P(t,0)是 x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段 AP 的中点， 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PB.过点 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D. (1)求 b、c 的值； (2)当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上； (3)是否存在 t，使得以 A、B、D 为顶点的三角形与AOP 相似？若存在，求此 时 t 的值；若不存在，请说明理由. 2. （15 常德模拟）已知抛物线 y =ax2-2x+c 与 x 轴交于 A（-1，0） 、B 两点， 与 y 轴交于点 C，对称轴为 x =1，顶点为 E，直线 y =-x+1 交 y 轴于点 D. 1 3 （1）求抛物线的解析式； （2）求证：BCEBOD； （3）点 P 是抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，BDP 的面积等 于BOE 的面积？ 答案答案 解：解：（1）由抛物线 y =-x2+bx+c 过点 A（0，4）和 C（8，0）可得， 1 6 ,解得 4 1 6480 6 c bc 5 6 4 b c 故 b 的值为，c 的值为 4；（3 分） 5 6 （2）AOP PEB90，OAPEPB90-APO， AOP PEB，则,2 OAAP PEPB AO =4,P（t,0）, PE =2,OE =OP +PE = t+2, 又DE =OA =4, 点 D 的坐标为（t+2,4）, 点 D 落在抛物线上时，有-(t+2)2+ (t+2)+4=4, 1 6 5 6 解得 t=3 或 t=-2, t0, t=3. 故当 t 为 3 时，点 D 落在抛物线上；（6 分） （3）存在，理由： 由（2）知AOP PEB， 则，2 OPAP BEPB P(t,0),即 OPt. BE . 2 t 当 0t8 时， 若POAADB，则， OPAO ADBD 即, 4 1 2 4 2 t t t 整理得 t 2+16=0, t 无解； 若POABDA，则,即， POAO BDAD 4 1 2 4 2 t t t 解得 t1= -2+或 t2= -2- (舍去)；2 52 5 当 t8 时，如解图. 若POAADB，则， POAO ADBD 即, 4 1 2 4 2 t t t 解得 t1= 8+或 t2= 8- (负值舍去)；4 54 5 若POABDA，同理可得 t 无解. 综上可知，当 t =-2+或 8+时，以 A、B、D 为顶点的三角形与AOP2 54 5 相似. （12 分） 2. 解：解：（1）由抛物线 y=ax2-2x+c 得，对称轴,a =1， 2 1 22 b x aa 将点 A（-1，0）及 a1，代入 y=ax2-2x+c 中，得 1+2+c=0，c=-3， 抛物线的解析式：y=x2-2x-3； （2）由抛物线的解析式 y =x2-2x-3=(x-1)2-4 =(x+1)(x-3),得点 C（0，-3） 、 B（3，0） 、E（1，-4）. 易知点 D（0，1） ，则有： OD 1，OB 3，BD ，CE ，BC ，BE ，1023 22 5 ， ODOBBD CEBCBE BCEBOD； （3）SBOE=BO|yE|=346， 1 2 1 2 SBDPBDh=SBOE6，即 h =, 1 2 12 10 在 y 轴上取点 M，过点 M 作 MN 1BD 于 N 1，使得 MN 1=h=, 12 10 在 RtMN 1D 中，sinMDN 1sinBDO， 3 10 OB BD 且 MN 1； 12 10 则 MD=4; 1 1 sin MN MDN 点 M（0，-3）或（0，5）. 过点 M 作直线 lMN 2，如解图， 则直线 l:y =-x-3 或 y=-x+5. 1 3 1 3 联立抛物线的解析式有：或 , 2 1 3 3 23 yx yxx 2 1 5 3 23 yx yxx 解得：,或, 1 1 0 3 x y 2 2 3 5 32 9 x y 3 3 5313 6 85313 18 x y 4 4 5313 6 85313 18 x y 当点 P 的坐标为（0，-3） ， （，） ， （，） ， （ 5 3 32 9 5313 6 85313 18 ，）时，BDP 的面积等于BOE 的面积. 5313 6 85313 18 类型四类型四 与图形面积函数关系式、最值有关与图形面积函数关系式、最值有关 针对演练针对演练 1.（15 安顺 26 题 14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+与直线 AB 交于点 A(-1,0), 5 2 B(4,52).点 D 是抛物线 A,B 两点间部分上的一个动点（不与点 A,B 重合） ，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C，连接 AD,BD. (1)求抛物线的解析式； （2）设点 D 的横坐标为 m，ADB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式， 并求出当 S 取最大值时的点 C 的坐标. 2. （15 岳阳模拟）如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（- 3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理 由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最 大？若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由 3. （15 永州模拟）如图，已知平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 的 对称轴为 x=0，点 A（m，6） ，B（n，1）为两动点，其中 0m3，连接 OA，OB，OAOB （1）求证：mn=-6； （2）当 SAOB =10 时，抛物线经过 A，B 两点且以 y 轴为对称轴，求抛物线对 应的二次函数的关系式； （3）在（2）的条件下，设直线 AB 交 y 轴于点 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，问是否存在直线 l，使 SPOFSQOF =13？若存在，求出直线 l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由. 答案答案 1.解：解：（1）由题意得，（2 分） 5 0 2 55 164 22 ab ab 解得，（4 分） 1 2 2 a b .（6 分） 2 15 2 22 yxx (2)设直线 AB 为，则有，ykxb 0 5 4 2 kb kb 解得，（7 1 2 1 2 k b 分） 直线 AB 的解析式为.（8 分） 11 22 yx 则，（9 分） 2 1511 ( ,2),( ,) 2222 D mmmC mm 2 1511 (2)() 2222 CDmmm .（10 分） 2 13 2 22 mm 11 (1)(4) 22 ACDBCD SSSmCDmCD 2 1 5 2 113 5 (2) 222 CD mm . （11 分） 2 515 5 44 mm 0, 5 4 抛物线开口向下 故当 m时，S 有最大值. （12 分） 3 2 当 m时，, 3 2 111315 222224 m 点 C（，）. 3 2 5 4 当 S 取最大值时的点 C 坐标为（，）.（14 3 2 5 4 分） 2. 解：解：（1）将 A（1，0） ，B（-3，0）代入 y=-x2+bx+c 中， 得, 10 930 bc bc 2 3 b c 抛物线解析式为:y=-x2-2x+3； （2）存在. 理由如下：由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 x=-1 对称， 直线 BC 与 x=-1 的交点即为 Q 点，此时AQC 的周长最 小， y-x2-2x+3, C 的坐标为（0，3） ， 直线 BC 的解析式为 y=x+3. 将 x=-1 代入 y=x+3 中，解得 y=2, Q(-1,2). （3）存在. 理由如下： B(-3,0),C(0,3)， 水平宽 a =xC-xB =0-(-3)=3. 设点 P（x,-x2-2x+3）(-3x0)， 过 P 点作 PEx 轴交 x 轴于点 E，交 BC 于点 F，则 F 点坐标为（x，x+3） ， 铅垂高 h=yP-yF-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x， S =ah= (-x2-3x)=- (x2+3x+-) 1 2 3 2 3 2 9 4 9 4 =-（x+）2+， 3 2 3 2 27 8 当 x=-时，BPC 的面积最大，最大为， 3 2 27 8 当 x=-时，-x2-2x+3 =, 3 2 15 4 点 P 的坐标为（-，）. 3 2 15 4 3. （1）证明：证明：作 BCx 轴于点 C，ADx 轴于点 D， A，B 点坐标分别为（m,6）,(n,1), BC=1,OC=-n,OD=m,AD=6, 又 OAOB， 易证CBODOA， , CBCO DODA ， 1 6 n m mn=-6. （2）解：解：由（1）知，CBODOA， ,即 OAmBO， 1OBBC OAODm 又SAOB10， OBOA10，即 OBOA20， 3 2 mBO 2=20, 又 OB 2=BC 2+OC 2=n2+1, m(n2+1)=20, 又mn=-6, m=2,n=-3, A 坐标为（2，6） ，B 坐标为（-3，1） ， 易得抛物线解析式为 y=-x2+10. (3)解：解：存在.理由如下： 直线 AB 的解析式为 y=x+4，且与 y 轴交于点 F（0，4） ， OF4， 假设存在直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，使 SPOFSQOF=13,如解图所示， 则有 PFFQ =13，作 PMy 轴于点 M，QN y 轴 于点 N， 设 P 坐标为（x,-x2+10） ，PM -x,OM -x2+10， 则 FM =OM-OF=(-x2+10)-4=-x2+6, 易证PMF QNF, , 1 3 PMMFPF QNFNQF QN 3PM =-3x,NF =3MF =-3x2+18, ON =NF OF =-3x2+18-4=-3x2+14, Q 点坐标为（-3x,3x2-14）, Q 点在抛物线 y=-x2+10 上， 3x2-14=-9x2+10, 解得：x1=,x2=-,22 P 1（,8）,Q 1(-3,-8),22 P 2(-,8),Q 2(3,-8)22 易得直线 PQ 的函数关系式为 y=2x+4 或 y=-2x+4.22 类型五类型五 与线段、周长最值有关与线段、周长最值有关 针对演练针对演练 1. 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 O、B 两点,其中 O 为原点,且 OB=6, 抛物线的顶点为 A,若点 M(1,)是抛物线上一点 20 9 (1)求抛物线的解析式; (2)若 N 为抛物线对称轴上一个动点,当 NO +NM 的值最小时,求点 N 的坐标. 2. （15 枣庄 10 分）如图，直线 yx+2 与抛物线 yax2+bx+6（a0）相交于 A（，）和 B（4，m）两点，点 P 是线段 AB 上异于 A，B 的动点，过点 P 1 2 5 2 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C. （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的点 P，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由； （3）当PAC 为直角三角形时，求点 P 的坐标. 3. （15 沈阳 14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 2 24 2 33 yxx x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧)，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D. (1)填空：点 A 的坐标为(_，_)，点 B 的坐标为(_，_),点 C 的坐标为 (_，_)，点 D 的坐标为(_，_); (2)点 P 是线段 BC 上的动点(点 P 不与点 B、C 重合). 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，若 PE=PC，求点 E 的坐标； 在的条件下，点 F 是坐标轴上的点，且点 F 到 EA 和 ED 的距离相等，请 直接写出线段 EF 的长； 若点 Q 是线段 AB 上的动点(点 Q 不与点 A、B 重合)，点 R 是线段 AC 上的动 点(点 R 不与点 A、C 重合)，请直接写出PQR 周长的最小值. 温馨提示：可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答. 答案答案 解：解：(1)由对称性得抛物线与 x 轴的交点为 O(0，0)，B(6，0)， 设抛物线的解析式为 y=a(x-0)(x-6)， M(1，)是抛物线上一点， 20 9 =a1(-5)，a=-， 20 9 4 9 抛物线的解析式为 y=-x2+x. 4 9 8 3 (2)抛物线对称轴为：x=3，点 O、B 关于对称轴对称， 连接 MB 交对称轴于 N，如解图，这时 NO +NM 的值最小. 设 MB 的解析式为：y=k1x+b1， 将 B（6，0） ，M(1，)代入 MB 的解析式中， 20 9 得，解得， 11 11 06 20 = 9 kb kb 1 1 4 - 9 8 3 k b 易得直线 MB 的解析式为， 48 - 93 yx 当 x=3 时，y =， 4 3 N(3，). 4 3 2.解：解：（1）B(4,m)在直线 y=x+2 上， m=4+2=6, B(4,6)， 点 A(,),B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6 上， 1 2 5 2 ，解得， 2 2 115 ( )6 222 4466 b ab 2 8 a b 抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6. （3 分） (2）设动点 P 的坐标为（n,n+2） ，则点 C 的坐标为(n，2n2-8n+6)， PC =(n+2)-(2n2-8n+6) =-2n2+9n-4 =-2(n-)2+. 9 4 49 8 当 n=时，线段 PC 取得最大值. 9 4 49 8 存在这样的