随机数据处理方法答案第二章.docx

第二章 随机变量及其分布 1对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为，求射击次数的分布律。解：设表示射击次数，由题意知的可能取值为1，2，3，而 所以射击次数的分布律为 1 2 3 2一批零件中有9个合格品与3个废品，安装时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。分析：在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量，要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。解：设表示在取得合格品以前取出的废品数，由题意知的可能取值为0，1，2，3，而 （相当于第一次取到的是合格品） （相当于第二次才取到合格品） 所以，随机变量的分布律为 0 1 2 3 3/4 9/44 9/220 1/220 3设随机变量的分布列为 0 1 2 3 1/5 2/5 3/10 1/10求：（1）的分布函数；（2）；（3）解：（1）由概率分布与分布函数的关系式 得的分布函数 （2）； （3）。4已知的分布函数为。设是某一随机变量的分布函数，求常数。 解：要使是某一随机变量的分布函数，由分布函数的性质知，必有 =1 即，从而解得。 5将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。 分析：某杯中有球个数只有4种可能：3个球都在该杯中；3个球中的两个球放在该杯中；3个球中的一个球放入该杯中；3个球都不在该杯中。因此某杯中有球个数是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3。运用第一章的有关知识可求出取相应值的概率。若将每个球随机地放入4个杯子中，它是否落入某杯中看作一次试验，则它是一贝努利试验。随机地将3个球放入4个杯子中去，即是三重的贝努利试验，因此某杯中有球个数服从二项分布。 解法一：设表示“某杯中有球个数”，则可能取值为：0，1，2，3。而将3个球随机地放入4个杯子中去共有种放法，即3个球随机地放入其它3个杯子中去，共有种放法，所以 同理得 故某杯中有球个数的概率分布列为 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 解法二：设表示“某杯中有球个数”，则服从，的二项分布，即，所以的分布律为 或表示为 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 6自动生产线在调整以后出现废品的概率为，生产过程中出现废品时立即调整。求在两次调整之间生产的合格品的分布律。解：设表示在两次调整之间生产的合格品的个数，由题意知的可能取值为0，1，2，3，而 所以的分布律为 0 1 2 7一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求的概率分布和分布函数。 解：由题意知的一切可能取值为0，1，2，3。为计算方便设： 表示：“汽车在第个路口遇到红灯”，则相互独立，且由条件知。所以 ； 即的概率分布列为 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 的分布函数为 8 设随机变量的分布函数为 求：（1）系数A；（2）随机变量落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）随机变量的概率密度。 分析：本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得（2）及（3）。解：（1）由分布函数的连续性性质得，故分布函数为 （2）由概率密度函数性质知，落在区间（0.3，0.7）内的概率为 （3）由概率密度函数性质知，所求概率密度为 9设随机变量的概率密度为 求：（1）系数；（2）落在区间内的概率；（3）的分布函数。 分析：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数及的分布函数，至于（2）可由的分布函数求得。 解：（1）由归一性， 解得。 （3）由连续型随机变量的定义知的分布函数为 当时，=0； 当时， 当时，故的分布函数为 （2）所求概率为 10 设随机变量的分布函数为 求：（1），；（2）的概率密度。解：（1） （2）随机变量的概率密度为 11 设随机变量的分布密度 ，求分布函数。 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 。故随机变量的分布函数为 12公共汽车站每隔5分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客侯车时间不超过3分钟的概率。解：设表示乘客侯车时间，则，乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 补充1（修订版11）某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，13设随机变量，求；。解： 14设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差具有分布密度 （1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。解：（1） （2）设表示3次独立重复测量中事件出现的次数，则服从二项分布，即,从而问题化为求。 15在电源电压不超过200、和超过240伏三种情况下，某种电子元件埙坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假定电源电压，试求：（1）该电子元件被埙坏的概率； （2）电子元件被埙坏时，电源电压在伏内的概率。 分析：电子元件被埙坏时，电源电压只可能是不超过200、和超过240伏三种情况下之一，因此（1）属于全概率问题；（2）属于条件概率问题。 解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在伏”； ：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。由于，所以 或 由题设,，所以由全概率公式 由条件概率公式 16随机向量的分布密度为 求（1）系数；（2）落在圆内的概率。解：（1）由归一性， 得。（2） 17只取下列数组中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相应的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试列出的概率分布表，并求出关于的边缘分布。解：的概率分布表为 -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0关于的边缘分布为 0 1/3 1 7/12 1/12 1/3 18袋中装有标有号码1，2，2的三只球，从袋中任取一球后不再放回，然后再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上的号码。求和的联合概率分布。解：的所有可能取值为(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得 此外是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 19设的概率密度为求：（1）常数；（2）关于的边缘概率密度；（3）随机变量与是否相互独立，为什么？解：（1）由归一性 解得 （2）所以 所以 （3）由于，故随机变量与相互独立。20设随机向量（，）的分布函数 求：（1）系数、； （2）（，）的分布密度； （3）边缘分布密度。解：（1）由分布函数性质 （1） （2） （3）由（1）得，由（2）得，代入（3）得。故随机向量（，）的分布函数为 （2）由分布函数性质（4）知 （3） 21设二维随机变量（，）的概率分布为 求随机变量和的边缘分布密度、。 分析：二维随机变量（，）关于随机变量和的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。 解：（1）如图2-4，由（2-10）式知，当时 = 其它情形均为零，故的边缘概率密度为 1 = 图2-4 同理，当时 = 其它情形均为零，故的边缘分布密度为 22设的分布密度为 （1）求条件分布密度及；（2）判断是否独立。 分析：条件分布密度及，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关于、的边缘概率分布。 解：（1）的非零取值区域如图2-5阴影部分，由（2-10）式，当时， =其它情况均为零，故关于的边缘分布密度为 由（2-19）式知，当时，的条件分布密度为 1 同理，由（2-11）式 图2-5 =由（2-17）式，时 时， （2）不独立，因为。23随机向量（）在矩形区域，内服从均匀分布。求（）的分布密度及边缘分布密度，并判断是否独立。解：由题意知（）的分布密度为 当， ，其它均为0，故（）关于的边缘分布密度为 同理得（）关于的边缘分布密度为 又由于，所以独立。补充2（修订版23）在习题22中，求及的条件分布密度。解：由上题独立的结论知，当时，有 当时，有 24设，求的分布密度。解： 25设的概率分布为 -2 -1 1 2 3/10 1/10 1/5 2/5求；（1）的概率分布；（2）的概率分布。解：（1）的概率分布为 3 6 3/10 7/10 （2）的概率分布为 -7 0 2 9 3/10 1/10 1/5 2/526设，求：（1）的分布密度；（2）的分布密度。解：（1）由，即解得，故，当时 当时，所以的分布密度为 （2）由分布函数定义，当时，当时 所以的分布密度为 27. 设随机变量的概率密度为是的分布函数。求随机变量的分布函数。分析:先求出分布函数的具体形式，从而可确定 ,然后按定义求的分布函数即可。注意应先确定的值域范围，再对分段讨论.解: 易见，当时，； 当时，。对于，有 。设是随机变量的分布函数. 显然，当时，=0；当时，=1. 对于，有 = =。于是，的分布函数为 注：事实上，本题为任意连续型随机变量均可，此时仍服从均匀分布:当时，=0;当 时，=1;当 0时， = =。28已知随机变量且与相互独立，设随机变量，求的概率分布。 解：本题考查有关正态分布的性质，由正态分布的性质“若与相互独立，且，则仍服从正态分布，即”，再由正态随机变量的线性函数也服从正态分布，即，故 29设与相互独立，都服从0，2上的均匀分布，求。 分析：由条件知、的分布密度分别为 ， ，从而由独立性得与的联合概率分布为 所以由概率分布的性质 。30设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。 1/81/81/61解：由联合分布律与边缘分布律的关系知；由和相互独立性知，即；同理，依此得表中空白处的其它数值见下表： 1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/3131设相互独立，其密度函数分别为 求的概率密度。解：当时， 当时，所以 或： 所以 32. 设的分布密度为 求：（1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立； （2）的概率分布。 分析：由于的分布密度中包含待定常数，故应首先将其确定。解：由归一性, 解得。（1）所以关于的边缘分布密度为 同理得关于的边缘分布密度为 由于,故相互独立。 （2）当时 ； 当时 故的分布函数为 的概率分布为 33已知的概率分布 1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2而且。求：（1）随机变量和的联合分布；（2）问和是否独立？为什么？ 分析：随机变量与的联合分布即为随机向量（，）的概率分布。由于和均为离散型随机变量，所以（，）为离散型随机向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相应的概率。解：（1）依题意，(,)所有可能取值：(-1，0)，(0，0)，(1，0)，（-1，1），（0，1），（1，1），由。易得又由的概率分布与和的联合概率分布间的关系知 因此由归一性（或由边缘分布与联合概率分布间的关系），必有 于是得和的联合概率分布表如下： 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0（2）由联合概率分布表得和的分布列分别为 -1 0 1 1/4 1/2 1/4 0 1 1/2 1/2 显然，故和不独立。34假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。 分析：电路正常工作的时间即三个电子元件无故障工作时间的最小值。 解：设表示“第个元件无故障时间”，且的分布为 而电路正常工作的时间，即 故电路正常工作的时间服从指数分布，其概率分布为。35设和的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：由条件知和的联合概率密度为 32 1 1 2 3 以表