保角映射.doc

4 保角映射的物理应用拉普拉斯方程式为工程数学中最重要偏微分方程式之一，因为它应用于有关重力场、静电场、稳态热传导以及不可压缩流体之流动问题本文所及者皆为二维问题，它们虽原三维空间内之物理系统，但是诸如位势中与空间第三坐标无关，因此拉普拉斯方程为 （1）称曲线常数为等位线定义1对于区域内的实值函数（或），如果其本身以及一阶、二阶偏导数连续而且满足（1），则称在内调和或是区域的调和函数注意：对于定义中调和函数的光滑性要求可以减弱。可以说明调和性是共性映射（保角映射）下的不变性质，因为若是区域到的共性映射，记，不难验证：因此，若在内调和，必有在内调和定义2设和在区域内调和，如果，则称是的共轭调和函数称为的共轭微分理论上说，一个调和函数的共轭函数的存在性虽有待讨论，但其共轭微分总是有意义的定理1若是单连通区域内的调和函数，则其共轭调和函数一定存在，因此为内的解析函数证明 例2 已知调和函数，求其共轭调和函数及解析函数.解 利用C-R方程，所以 .因此，比较两式可得：，有.因此， 。从而得到解析函数 .定义3 设为区域内一调和函数，且为内的“共轭”调和函数，则为解析函数，称此为对应于实位势的复位势说明：应用复位势有两优点其一，就技术层面来说，解析函数较其实部，虚部函数更易处理其二，就物理自身而言，有一很重要意义据保角性，曲线为常数，与等位线为常数相交为直角，因此，具有电力线之方向等意义，故称力线这些力线可表示带电粒子之运动轨迹例1 两平行板之间的位势 求电位分别为和之无穷延伸两平行电板之间的电场的位势解：由实际情况可知仅有有关那么由，可得将边界条件代入，解得，易知的一个共轭调和函数，故复位势力线为轴平行之线例2 共轴圆柱之间的位势解 显然，仅与有关（对称性），而且与无关，因此考虑变量代换，对解更为便利令，则由求偏导的链式法则，不难算得：，因此，（对求导），即。，即，所以，因此可以知道的一个“共轭”函数，故复位势，其力线为经原点的直线例3 非同心轴圆柱间的位势解：这里主要用到两个知识点，其一，同心圆柱之势，如同例2是我们熟识的，因此如何寻找这两个二连通区域之间的共形映射是关键我们前面学到过的分式线性变换可以做到这一点其二，利用调和函数的共形映射不变性映射要求：设，其中合理的要求：。因此， 解（2）得，或（舍去）故由例2，平面上的复位势（为实数），因此实位势由条件时，时，得所以 实位势请诸位根据所得结果，自己注明电力线方向流体运动在平面任一点处，流体具有某固定之速度，可由向量值函数表示，亦可由复变数示之： （1）可以证明在无旋不可压缩之条件下，存在解析函数 （2）使得其流线为常数，而且速度 （3）亦可证明，即 （4）证明：先证滑旋函数设曲线的参数方程为：（以弧长为自然参数）设为在切线方向的分号，因此，则表示流体沿之环流如果是简单闭曲线，由格林公式双重积分内心被积函数称为涡旋函数，记为 （5）如若无旋流，则有 （6）由（6）并格林公式，可知如下定义之为一单位函数而且， （7）在不可压缩条件下，在无源，无汇之区域内，散度 （8）至于散度函数可由读者自行推导查阅相关材料因此将（7）代入（8）即得，这说明是个调和函数取的共轭调和函数，则解析，故，因此 （10）例1 绕过一直角的流动。解 问题的关键在于将一个“非典型”区域保角映射为一个“典型”区域。由于半平面上的流体平行流动较容易算出其复位势，所以通过幂函数将角域保角映射为上半平面。在平面 ，因为在平面流速为常速，故，因此：将第I象限上半平面，故流线常数（双曲线）流速为，即，因此每点的速率为例2 绕过一圆柱体的流动解 如上图，由单位圆外到整个复平面割去裂缝的保角映射为 。如同例1，在平面复位势，因此 ，所以流线 。速度 ，由上式我们可以看出，当点离远点较远时，流速近似于一常数，而方向则近乎沿着水平方向。茹科夫斯基函数我们称函数为茹科夫斯基函数，其一般形式为. （1）当时，。因此， （2）消去参数得， （3）因此，当时，函数将圆周映射为上述椭圆。而当时，故圆周被映射为实轴上一线段。这一函数最先被茹科夫斯基用来构造飞机机翼。 实际上设为圆心在，且经过实轴上，两点的圆周，在茹科夫斯基函数（1）的映射下，被映射为在上半平面的过三点的一段圆弧，而圆周外的区域被映射为整个复平面去掉裂缝的区域。现在考虑另一圆周，它包含圆周并与之相切于点，则在茹科夫斯基函数映射下的像为包含的一闭曲线，且在处出现尖点，这一闭曲线就是茹科夫斯基的机翼剖面曲线。设的圆心到的 圆心的距离为d，则称a, h, d为机翼的翼型参数，分别反映了机翼剖面的宽度、弯度和厚度，是选择翼型的主要参数。热流问题在一均匀材料物体内的热传导由热方程式 （1）决定，其中函数为温度，因此，若问题为稳态的二维的，则（1）简化为 （2）称为热位势，为一调和函数，为复位势的实部例1热传到在上半平面的单位圆内部进行，如果在实轴上时，上半圆周为绝缘体，试求上半单位圆内分布函数解： ，故例2 设时，轴时绝缘时，C，求此上半平面的温度场解 在平面的轴上，这一段是绝缘的，因此满足故，可得之复位，因此，即为此解至于等温线以及热流线，可以将的正交线族，在的映射下，得平面的正交线族，这些正交线族即为等温线，热流线习题51. 证明：由两流动之速度向量依照向量加法而得的流动，其复位势可由此二流动之复位势相加而得。2. 考虑复位势，其中为正实数。证明流速，其中，这意味着此流动为由原点出发直接向外放射，此时原点成为点源头。若为负实数，请说明此时情况。3. 考虑复位势，其中为正实数，证明这是一绕原点反时针方向的流动。4. 若在上半圆周上电位，下半圆周上电位，求