测量平差[第3部分]

第五讲 平差方法附有参数的条件平差（续） 举例 水准网如图所示： 1、按条件平差列出方程。 2、选高程平差值为参数，列出全部条件方程。 3、选和高程平差值为参数，列出全部条件方程。 1 p 1 p 2 p 第五讲 平差方法附有参数的条件平差（续） 解：1、由图知，n = 5，t = 2，故r = n-t = 5-2 =3。即 三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件： 2、选高程平差值为参数，则有u =1，c = r+u =4,即： ) 3(,0 )2(,0 ) 1 (,0 542542 531531 2121 =+ =+ =+ hhhvvv hhhvvv hhHHvv BA 1 p X )4(,0 ) 3(,0 )2(,0 ) 1 (,0 33 542542 531531 2121 =+ =+ =+ =+ hHXv hhhvvv hhhvvv hhHHvv A BA 第五讲 平差方法附有参数的条件平差（续） 3、选和高程平差值为参数和，则u =2， c=r+u=3+2=5=n，此时有： 由上式（4）、（5）式可得： 1 p 2 p 1 X 2 X )5(,0 )4(,0 ) 3(,0 )2(,0 ) 1 (,0 121 313 542542 531531 2121 =+ =+ =+ =+ =+ hHXv hHXv hhhvvv hhhvvv hhHHvv A A BA )7(, )6(, 313 121 A A HhXv HhXv = = 第五讲 平差方法附有参数的条件平差（续） 将（6）式代入（1）式，得： 将（6）、（7）式代入（2）式，得： 将（8）、（9）式代入（3）式，得： 令： )8(, 222B HhXv+= )9(, 5215 hXXv+= )10(, 414B HhXv+= 55 44 33 22 11 hl Hhl Hhl Hhl Hhl B A B A = = += = += 第五讲 平差方法附有参数的条件平差（续） 则有，令 则有: 上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间相互独 立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。这种简洁的 条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系，我们称这 种关系为误差方程。误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差方 法间接平差。间接平差。下面就来学习这种新的平差方法。 5215 414 313 222 121 lXXv lXv lXv lXv lXv += = = = = = = = = 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , 11 01 01 10 10 , X X X l l l l l lB v v v v v V lXBV= 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差间接平差 一、间接平差原理一、间接平差原理 1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为 式中： 且 = = = = nntnnnn dL dL dL l x x x x tba tba tba B v v v V ? ? ? ? ? ? 22 11 2 1 222 111 2 1 , , 111 = nttnn lxBV tBrk=)( ) ( 1 . XFL n = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 3、基础方程及其解 误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 解只有一组。由于向量V是向量的函数，按数学上求自由极值 的方法有： nn nn LL nn LL PQD = 12 0 2 0 min=PVV T x 02 2 = = = PBV x V PV x V V PVV x PVV TT TT 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 转置后得： 将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为： 基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得法方 程 因为，所以上式有唯一解。 令 0=PVB T 0=PlBxPBB TT = = lxBV PVB T 0 tBrkPBBrk T =)()( PlBWPBBN TT BB =, 基础方程基础方程 法方程法方程 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 则 由上式解出参数后，代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测量和参数的平差值： 二、间接平差的计算步骤二、间接平差的计算步骤 1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、将每个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线 性要将其线性化，列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； 6、计算观测量及参数的平差值 见P104例7-1 WNx BB 1 = x xXXVLL , 0 +=+= xXXVLL , 0 +=+= 111 = nttnn lxBV 0=PlBxPBB TT WNx BB 1 = lxBV= 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 三、误差方程三、误差方程 间接平差的关键是列误差方程，而列误差方程的关 键是选择待估参数（未知数）。 1、待估参数的个数、待估参数的个数 在间接平差中，待估参数的个数等于必要观测的个数t。 2、待估参数的选择、待估参数的选择 选择原则：选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数关 系容易写出来。 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 3、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立 （1）、水准网）、水准网 在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图，选 FE HXHX , 21 = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 于是有：令，则 式中： D C B A HhXv HhXv hXXv HhXv HhXv = = += = = 525 424 3213 212 111 iii xXX 0 += 525 424 3213 212 111 lxv lxv lxxv lxv lxv = = += = = 0 255 0 244 0 2 0 133 0 122 0 111 , , XHhlXHhl XXhlXHhlXHhl DC BA +=+= +=+=+= 例:水准网如图所示，已知 =5.000m， =3.953m， =7.650m。各点的近似高程为： 观测值见下表，试列出误差方程。 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） (m) i h (m) 1234567 0.0501.1002.3980.2001.0003.4043.452 (m) A H B H C H m450. 7 m452. 8 m053. 5 4 0 7 0 2 0 3 2 1 = =+= =+= hHH hHH hHH C A B p p p 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 解：设 于是误差方程为： 0 5 2 0 1 0 3 27 216 325 34 313 12 11 += += += += += += += xv xxv xxv xv xxv xv xv 321 , , 321ppp HXHXHX= 00 i pi HX= 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （2）、）、GPS网三维无约束平差网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点 在WGS84系下的三维坐标、 、可看作已知数据，其余各点 作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、 Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为，因此，可选个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即已知，则t个参数为： i X i Y i Z ) 1(3=mt1m AAA ZYX, DDD CCC BBB ZXYXXX ZXYXXX ZXYXXX , , , , , , 987 654 321 = = = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 于是，误差方程为： CDZADAZ CDYADAY CDXADAX BDZACAZ BDYACAY BDXACAX BCZABAZ BCYABAY BCXABAX ZXXvZZXv YXXvYYXv XXXvXXXv ZXXvZZXv YXXvYYXv XXXvXXXv ZXXvZZXv YXXvYYXv XXXvXXXv CDAD CDAD CDAD BDAC BDAC BDAC BCAB BCAB BCAB += += += += += += += += += 969 858 747 936 825 714 633 522 411 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （3）、三角网）、三角网 在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值 作为待估参数，即t=2m。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 地，角度观测值可由右图 表示，于是有： Li k j h i jh jh jk jk ijhjki L XX YY XX YY Lv = arctan arctan 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选： DDCC YXXXYXXX , , , 4321 = 于是，误差方程为： 8 3 4 88 7 1 2 3 4 77 6 1 2 1 2 66 5 1 2 13 24 55 4 31 42 3 4 44 3 3 4 3 4 33 2 3 4 1 2 22 1 1 2 11 arctanarctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctan arctanarctan L XX YX XX YY Lv L XX YX XX YX Lv L XX XY XX XY Lv L XX XY XX XX Lv L XX XX XX XY Lv L XX XY XX XY Lv L XX YX XX YX Lv L XX YX XX YY Lv B B BA BA BDBA B B B B BDBC B B A A CBCA A A CACD B B DCDB B B A A DBDA A A A A ADAC A A AB AB ACAB = = = = = = = = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （4）、三边网）、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m。一般 地，边长观测值可由下图表示，于是有： Si j k ijkjki SYYXXv+= 22 ) () ( 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 例如在下图，我们选 DDCC YXXXYXXX , , , 4321 = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 于是，误差方程为： 5 2 2 2 15 4 2 2 2 14 3 2 42 2 313 2 2 4 2 32 1 2 4 2 31 ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( LXYXXv LXYXXv LXXXXv LXYXXv LXYXXv BB AA BB AA += += += += += 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （5）、导线网）、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待 定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度误差方程： 再列边长误差方程。 i ij ij ik ik iijiki L XX YY XX YY Lv = arctan arctan ijijii LYYXXv+= 22 ) () ( 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （6）、拟合模型）、拟合模型 a、曲线拟合、曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。 设此曲线为： ?+= 3 3 2 210iiii xaxaxaay 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 由于观测值y有误差，故由上式可得曲线拟合的误差 方程为： b、曲面拟合、曲面拟合 曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将 地面视为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标 的函数，且可用多项式表达为： 由于观测值H有误差，故由上式可得曲面拟合的误差 方程为： iiiii yxaxaxaav+= 3 3 2 210 ?+= iiiiiii yxayaxayaxaaH 5 2 4 2 3210 iiiiiiii Hyxayaxayaxaav+= 5 2 4 2 3210 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） c、标准曲线拟合、标准曲线拟合 对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图 所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数 方程为： 式中：为圆心坐标，R为半径， 这三个参数是圆的基本参数，为第i 点矢径的方位角。所以确定一条圆曲线 的必要观测数为t=3+m。在圆周上观测了 n=2m个点的坐标，则r=m-3（）。于 是，误差方程为： ),( 00 yx ii ii RYY RXX sin cos 0 0 += += i iiy iix yRYv xRXv i i += += sin cos 0 0 3m 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） （7）、坐标变换）、坐标变换 不论是GPS， 还是GIS，还是 RS，都会经常用 到坐标变换。测 量中的坐标变换， 一般采用如图所 示的相似变换。 efigyy qhikxx i i += += 0 0 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 由于两坐标系不是用同一个长度基准定义的，所以长度基准不 一定严格相等，即两坐标系的单位长度之比可能为： 于是坐标系中的长度变换到坐标系中时应乘以尺 度比m。于是： 式中，为待定参数。由于坐标观测值有误差， 于是坐标变换的误差方程可写为： 1= m S S yox xoy sincos sincos 0 0 iii iii xmymyy ymxmxx += += , 00 myx iiiy iiix yxmymyv xymxmxv i i += += sincos sincos 0 0 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 四、非线性误差方程的线性化四、非线性误差方程的线性化 由以上所列误差方程知，角度观测值的误差方程： 边长观测值的误差方程： 圆曲线的误差方程： 以及坐标变换的误差方程 都是非线性误差方程。都必须线性化。下面介绍线性化的方法。 iiiy iiix yxmymyv xymxmxv i i += += sincos sincos 0 0 iiy iix yRYv xRXv i i += += sin cos 0 0 i jh jh jk jk ijhjki L XX YY XX YY Lv = arctan arctan ijkjki SYYXXv+= 22 ) () ( 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 1、变量代换法 对于坐标变换的误差方程： 令 则有： 上式即为坐标变换的线性误差方程。 iiiy iiix yxmymyv xymxmxv i i += += sincos sincos 0 0 sin , cos, , 00 mdmcybxa= iiiy iiix ydxcybv xdycxav i i += += 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 2、线性近似 对于角度观测值的误差方程、边长观测值的误差方 程和圆曲线的误差方程一般都是采用线性近似的方法 线性化。 角度观测值的误差方程： 令： 将 hhhkkkjjj hhhkkkjjj yYYyYYyYY xXXxXXxXX , , , , 000 000 +=+=+= +=+=+= i jh jh jk jk ijhjki L XX YY XX YY Lv = arctan arctan 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 在按台劳级数展开，取至一次项，得 式中： ih jh jh h jh jh k jk jk k jk jk j jh jh jk jk j jh jh jk jk i ly S X x S Y y S X x S Y y S X S X x S Y S Y v + + = )( )( )( )( )()( )()( 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 00 00 00 00 arctanarctan jh jh jk jk ii XX YY XX YY Ll + = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 注意：上式是相对于右图中 三点均为待定点导出的。 1、当图中j点为已知点时， 由于已知点的改正数为零， 即 于是，误差方程变为： 2、当h、k两点为已知点时，由于 Li k j h 0,0= jj yx ih jh jh h jh jh k jk jk k jk jk i ly S X x S Y y S X x S Y v + + = )( )( )( )( 20 0 20 0 20 0 20 0 0= hhkk yxyx 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 则误差方程变为： 3、当h或k点为已知点时，误差方程变为： ij jh jh jk jk j jh jh jk jk i ly S X S X x S Y S Y v = )()( )()( 20 0 20 0 20 0 20 0 ik jk jk k jk jk j jh jh jk jk j jh jh jk jk i ly S X x S Y y S X S X x S Y S Y v + = )( )( )()( )()( 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 或 边长观测值的误差方程： 令： 将 ih jh jh h jh jh j jh jh jk jk j jh jh jk jk i ly S X x S Y y S X S X x S Y S Y v + = )( )( )()( )()( 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 kkkjjjkkkjjj yYYyYYxXXxXX , , , 0000 +=+=+=+= ijkjki SYYXXv+= 22 ) () ( 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 按台劳级数展开，取至一次项，得 式中： 注意：1、若j点为已知点，则上式变为： 2、若k点为已知点，则： 20020000 )()(, jkjkjkjkii YYXXSSSl+= ik jk jk k jk jk j jk jk j jk jk i ly S Y x S X y S Y x S X v + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 ik jk jk k jk jk i ly S Y x S X v + = 0 0 0 0 i k j jk jk j jk jk i ly S Y x S X v = 0 0 0 0 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 圆曲线的误差方程 令 将 按台劳级数展开，取至一次项，得 式中 iiy iix yRYv xRXv i i += += sin cos 0 0 +=+=+=+= 0 0 0 000 0 000 0 00 , , , ii rRRyYYxXX ii ii yiiy xiix lryv lRrxv += += 00 0 000 0 cossin sincos 000 0 00 000 0 00 sin, cos, iiiiy iiiix RYYYYl RXXXXl i i += += 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 课堂作业课堂作业 1、水准网如图，观测高差和路线长度为 ： 已知点高程分别为： 用间接平差求、 点高程平差值。标准答案: kmSSkmSS mhmhmhmh 2,1 505. 0,503. 0,501. 0,003. 1 3241 4321 = = mH mH mH C B A 008.12 500.11 000.11 = = = 1 P 2 P mHmH5083.12 ,0047.12 21 = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 五、精度评定五、精度评定 1、单位权方差的估值 2、的计算 直接计算： 用常数项计算： PVV T 22 22 2 11nn T vpvpvpPVV+=? xWPlllxBPl PVlPVBxPVlxBPVV TTT TTTTT )( )( = = r PVV T = 2 0 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 3、基本向量的协因数矩阵 间接平差中，基本向量为观测向量L，参数向量 ，改正数向量V和观测值的平差值向量。令 X L 0 1 1 1 1 1 1 L EPBBN EPBBN PBN E L PBBN EPBBN PBN E L V x l Z T bb T bb T bb T bb T bb T bb = = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 由协因数传播律得： = = T bb T bb bb LL T bb T bb T bb LLLVLXLL LV VV VX LV LXVXXXXL LL LV XL LL ZZ BPBN EBPBN PBN E Q PBBN EPBBN PBN E QQQQ QQQQ QQQQ QQQQ Q 1 1 1 1 1 1 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 展开得： 于是： = T bbbb T bb T bbLLLL T bb T bbbb T bb T bbLL T bbbbLL ZZ BBNBNBBN BBNQQBBN BNNBN BBNQBBNBNQ Q 111 11 111 111 0 00 0 = tttt t t XXXXXX XXXXXX XXXXXX bb XX QQQ QQQ QQQ NQ 1 21 22221 12111 ? ? ? ? 书P119表7-9 统计不相关VXVL与与 , 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 4、待定点i的点位中误差 的中误差： 的中误差： i点的点位中误差： i X 1212 0 = iii XXX Q iii XXY Q 22 0 = i Y iiii XXXX i QQM 221212 0 += 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 5、参数估值函数的中误差(书P121例7-6，例7-7） 设参数估值的函数为： 将上式全微分，得 式中： 所以 于是 ) , , ( 21t XXX?= = i i X f XFdXdfXdfXdfd tt 2211 =+=? T bb T XX FFNFFQQ 1 = Q 0 = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 小结小结: 1、间接平差原理 2、间接平差步骤 3、误差方程列立 4、非线性方程的线性化 5、精度评定 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 重点重点：平差原理、误差方程、基础方程及其解， 精度评定、应用。 难点难点：测角网、测边网坐标平差和导线网、GPS 网间接平差时误差方程的列立及线性化，求参 数的非线性函数的中误差。 要求：要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平 差原理并能推导全部的公式；求出参数平差值、 单位权中误差和参数函数中误差。 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接平差（续） 主要公式汇编主要公式汇编 函数模型： 随机模型： 误差方程： 法 方 程： 法方程解： 函数模型： 随机模型： 误差方程： 法 方 程： 法方程解： ) ( XFL = 12 0 2 0 =PQD lxBV= 0=PlBxPBB TT PlBPBBx TT1 )( = 第六讲 平差方法第六讲 平差方法间接平差（续）间接