初一数学第一章总结

1 / 18 初一数学第一章总结 知识结构、主要内容： 整式：代数式分为整式与分式，整式分为单项式与多项式，单项式分为系数、次数；多项式分为项数、次数。 运算： 1、去括号 2、合并同类项 同底数幂的法运算：底数不变，指数相加。 幂的法：底数不变，指数相。 积的方：积中各个因数方的积 同底数幂相除：底数不变，指数相减。 单项式多项式 =多项式单项式【乘法分配率】 =多项式 多项式多项式的特例： 1。平方差 (a+b)(。完全平方差 整式的除法：同底数幂的数相除，同底数幂的指数相减，说的结果相加。 重难点： 整式： 1、等式与不等式、分母含有字母的式子，不是整式 1/a， 1+2=3， n， a 大于等于 b 2 / 18 2、互为相反数的偶数幂相等 a+(0 3、互为相反数的奇数仍为相反数 a+(0 4、若底数是互为相反数通过适当方式可交换 (a)(a)5、指数互为相反数，底数互为倒数 (a)(1/a)6、两数和的平方等于两数的平方和 =两数积的 2 倍 (a+b)(a+b)=(a+b)平方 =2ab+ 2初一数学第一章知识总结 第一章有理数 第一节：正数和负数 有理数 1、大于 0的数叫做正数； 2、在正数前面加上负号“”的数叫做负数； 3、一个数前面的“”“”号叫做它的符号； 4、数 0既不是正数 也不是负数； 5、正整数、 0 负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数； 6、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴； 3 / 18 a数轴是一条向两端无限延伸的直线； b三要素：原点、正方向、单位长度； c同一个数轴上的单位长度要统一； d数轴上的点与实数一一对应（与有理数不是一一对应）； 7、相反数：（代数意义）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（几何意义）在数轴上与原点距离相等的两点所表示的两个数是互为相反 数； 8、绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值； 9、正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是 0； 10、比较大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 注意： 1、除 0以外互为相反数的两个数商为 1和为 0； 2、正数 0负数； 3、两个负数绝对值大的反而小； 4、净胜球数进球数失球数。 难点： 1、多重符号的化 简（“”的个数决定化简结果）； 2、比较大小。 4 / 18 知识小结： 1、引出正、负数、有理数的定义； 2、数轴： a数轴是一条向两端无限延伸的直线； b三要素：原点、正方向、单位长度； c同一个数轴上的单位长度要统一； d数轴上的点与实数一一对应（与有理数不是一一对应）； 3、相反数：（代数意义）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（几何意义）在数轴上与原点距离相等的两点所表示的两个数是互为相反数 4、绝对 值； 5、比较大小：利用数轴。 3初一数学第一章知识点总结 一、正数和负数 1、以前学过的 0以外的数前面加上负号“ -”的数叫做负数。 2、以前学过的 0以外的数叫做正数。 3、零既不是正数也不是负数，零是正数与负数的分界。 4、在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。 5 / 18 二、有理数 1、正整数、 0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。 2、整数和分数统称有理数。 3、把一个数放在一起，就 组成一个数的集合，简称数集。 三、数轴 1、规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 2、数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。 3、注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 同一根数轴，单位长度不能改变。 4、性质： (1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2)正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 四、相反数 1、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 2、数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 3、零的相反数是零。 五、绝对值 1、一般地，在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫6 / 18 做数 做 |a|。 2、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。 六、有理数的大小比较 1、正数大于 0， 0大于负数，正数大于负数。 2、两个负数，绝对值大的反而小。 七、有理数的加法 1、有理数的加法法则 (1)号两数相加，取相同的符号，并把绝对 值相加。 (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 (3)互为相反数的两个数相加得零。 (4)一个数同零相加，仍得这个数。 2、有理数加法的运算律 (1)加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a+b=b+a (2)加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 (a+b)+c=a+(b+c) 八、有理数的减法 1、有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。即 a+(九、有理数的乘法 7 / 18 1、有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 (2)任何数同 0 相乘，都得 0。 (3)乘积是 1 的两个数互为倒数。 (4)几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 (5)几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 2、有理数的乘法的运算律 (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因 数的位置，积相等。即 ab=2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 (ab)c=a(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 a(b+c)=ab+、有理数的除法 1、有理数除法法则 (1)除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数。 (2)零不能作除数。 (3)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (4)0除以任何一 个不等于 0 的数，都得 0。 8 / 18 十一、有理数的乘方 1、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 ， a 叫做底数， n 叫做指数，当 作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 3、正数的任何次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是 0。 十二、有理数混合运算的运算顺序 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同极运算，从左到右进行； 3、有括号，先做括号内的运算，按小括号 、中括号、大括号依次进行 十三、科学记数法 1、把一个大于 10 的数表示成 a 10n 的形式 (其中 ，使用的是科学记数法。 2、用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 十四、近似数和有效数字 1、接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。 2、精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精9 / 18 确到哪一位。 3、从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 4、对于用科学记数法表示的数 a 10n，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字。 4 七年级数学上册第 1 章知识重点总结 1、有理数的加法是有理数运算的重点，它比算术中的加法运算复杂，而且容易出错。 (1)有理数加法法则是进行有理数加法的依据，进行加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号？是异号或是有一个零，从而来确定用哪一条法则。求和时，先确定和的符号，然后利用绝对值，把有理数转化为非负数按小学加法或减法求大小，再写出结果。 (2)有理数的加法满足交换律、结合律、进行有 理数的加法运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用加法运算律，使计算简便。 2、有理数的减法 (1)把相反数的概念应用在有理数的减法法则中，就可把减法运算转代为加法运算，所以在有理数中，加减法是统一的。 (2)在算术里做减法运算时，被减数一定要大于或等于减数。现在学了有理数减法法则以后，因为有理数的加法10 / 18 运算算是可以进行的，所以有理数减法运算也总是可以进行的。 3、有理数的加减混合运算： (1)由于减法可以转化为加法，因此加减混合运算 ，都可以统一成加法运算。像这样把加地统一写成加法的式子，叫做代数和。代数和与算术的和的最主要区别就是代数和中的加数可以是负数。 (2)在一个代数和中，加号可以省略不写，即(+3)+(+4)+(+5)+(+2)可以写成 +2，读作加2”。可见在有理数的加减运算中，“ +”“ -”号可以当作运算符号，也可以当作性质符号。 (3)因为有理数加减法呆统一成加法，所以进行有理数的加减混合运算时，可以运用加法交换律与结合律，但要注意在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。 4、有理数的乘法 (1)有理数做乘法运算时，若其中有一个数为零，则其积也为零。若两个不为零的数相乘，则先确定积的符号 (这与小学是不同的 )，然后转化为绝对值相乘 (即利用小的乘法运算 )。 (2)小学学过的乘法运算律，在有理数内仍然适用。 5、有理数的除法 (1)倒数小时已学过“乘积是 1 的两个数互为倒数”，11 / 18 在有理数范围内 仍然这样定义。若两个有理数互为倒数，则符号相同，绝对值乘积为 1。注意：零没有倒数， 1 的倒数是 1， =1的倒数是 (2)由有理数的除法法则知，除法可以转化为乘法，即在有理数中乘除法是统一 6、有理数的乘方： (1)乘方是求相同因数的积的运算，它是特殊的乘法，所以乘方运算的结果幂的符号和有理数乘法的确定符号的方法完全相同。 (2)底数为负数是，乘方运算容易写错，并且容易出现符号的错误，如 (读作的四次方 )，不要忘记括号，否则写成 示 3 的四次方的相反数，或读 的四次方”表示 3 的四次方的相反烽，要注意二者的意义上的区别。 (3)注意分数的乘方的写法，也要加小括号。 (4)单独一个数可以看作这个数本身的一次方 (次数 1省略不写 )。 7、有理数的混合运算：有理数的运算，一般从高级到低级进行。在同一级运算中，按照从左到右的顺序运算。有括号时，括号优先一般从里向外进行。 8、近似数和有效数字： (1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零。如 2。 82。 80不一样，前者精确到十分位，报者精确到百分位。 (2)有效数字的个数是从左连第一 个不是零的数字12 / 18 起，从左到右到精确到的那一位止，这中间的所有数字都包括在内，不管是 0还是有重复的数字都不能漏掉。如 0。 05008是经四舍五入后得到的近似数。它左边第一个不为 0 的数是5，精确到的数位上的数字是 8，那么 5 之间的 5， 0， 0， 8就都是它的有效数字。 (3)精确度有两种形式，一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字。 5 七年级下册数学第 1 章重点知识总结 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a+b)(ab+a+b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1、平方差公式 （ 1）式子： a+b)(（ 2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 13 / 18 1、因式分解时，各项如果有公因式应先提公因 式，再进一步分解。 2、因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （ 1 ） 把 乘 法 公 式 (a+b)2=ab+(=过来，就可以得到： ab+a+b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的 2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把 ab+ 样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （ 2）完全平方式的形式和特点 项数：三项 有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 有一项是这两个数的积的两倍。 （ 3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （ 4）完全平方公式中的 a、 可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 14 / 18 （ 5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式 am+an+bm+四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式 如果我们把它分成两组 (am+ (bm+这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。 原式 =(am+(bm+ a(m+n)+b(m+n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义。但不难看出这两项还有公因式 (m+n)，因此还能继续分解，所以 原式 =(am+(bm+ a(m+n)+b(m+n) (m+n)(a+b)。 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 （六）提公因式法 1、在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，15 / 18 首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候， 要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。 2、运用公式 p+q)x+x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1、必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数。 2、将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤： 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况； 尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。 3、将原多项式分解成 (x+q)(x+p)的形式。 （七）分式的 乘除法 1、把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2、分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。 3、如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公16 / 18 因式、如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。 4、分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如 -( ( (， ( -(。 5、分式的分子或分母带符号的 n 次 方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按 次方为负来处理当然，简单的分式之分子分母可直接乘方。 6、注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减。 （八）分数的加减法 1、通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形。约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来。 2、通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。 3、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准