初三圆的知识点总结

1 / 24 初三圆的知识点总结 一、圆 1、垂径定理及推论：如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”。 C 几何表达式举例： 、平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等。几何表达式举例： 3、“角、弦、弧、距”定理： (同圆或等圆中 )“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等 (优，劣 )弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”。几何表达式举 例： (1) D(2) D 、圆周角定理及推论： (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； (2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (如图 ) (3)“等弧对等角”“等角对等弧”； (4)“直径对直角”“直角对直径”； (如图 ) 2 / 24 (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (如图 )(1)(2)(3)(4)几何表达式举例： (1) 1 (2) 0 (3) 0 直径 (4) D= 。圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。几何表达式举例： 圆内接四边形 C+ A=180 6、切线的判定与性质定理：如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理。 (1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 几何表达式举例： (1) (2) 弦 平 分 弦 平 分 劣 弧 半径垂直 (2)圆的切线垂直于经过切点的半径； (3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 / 24 (3) 7、切线长定理：从圆外一点引圆的 两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何表达式举例： 切线 B 切角定理及其推论： (1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； (2)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； (3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 (如图 )几何表达式举例： (1) 2) 切线 交 弦定理及其推论： (1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； (2)如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。几何表达式举例： (1) C (2) 直径 A 割线定理及其推论： (1)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 4 / 24 (2)从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等。几何表达式举例： (1) 切线， 割线 2=) C 关于两圆的性质定理： (1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； (2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。 (1)(2)几何表达式举例： (1) B (2) 1、 2 相切 A、 点一线 正多边形的有关计算： (1)中心角 n，半径 心距 长 角 n，边数 n； (2)有关计算在 公式举例： (1) n= (2)=几何 B 级概念： (要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题 )一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心5 / 24 角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆 的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内 (外 )公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角。 二、定理： 1、不在一直线上的三个点确定一个圆。 2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 3、正 n 边形分为 2 三、公式： 1、有关的计算： (1)圆的周长 C=2 R； (2)弧长 L=180 (3)圆的 面积 S= (4)扇形面积 S 扇形 =； (5)弓形面积 S 弓形 =扇形面积 如图 ) 2。圆柱与圆锥的侧面展开图： (1)圆柱的侧面积： S 圆柱侧 =2 (r：底面半径；h：圆柱高 ) (2)圆锥的侧面积： S 圆锥侧 =(L=2 r， 24 锥母线长； 四、常识： 1、圆是轴对称和中心对称图形。 2、圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3、三角形的外心 边中垂线的交点 角形的外接圆的圆心；三角形的内心 内角平分线的交点角形的内切圆的圆心。 4、直线与圆的位置关系： (其中 中 r 表示圆的半径 )直线与圆相交 d r；直线与圆相切 d=r；直线与圆相离 d r。 5、圆与圆的位置关系： (其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中 R、 r)两圆外离 dR+r；两圆外切 d=R+r；两圆相交 d R+r；两圆内切 d=圆 内含 d 6、证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线。 、关于圆的常见辅助线： 知弦构造弦心距。知弦构造 知直径构造直角。 知切线连半径，出垂直。 外角转化为圆周角。 造垂径定理。 造相似形。 圆内切，构造外公切线与垂直。7 / 24 01圆内切，构造外公切线与平 行。 圆外切，构造内公切线与垂直。 圆外切，构造内公切线与平行。 圆同心，作弦心距，可证得B。 圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线。造双垂图形和全等。 交弦出相似。 且构造弦切角。 且构造圆周角。 垂出相似，并且构造直角。 则图形折叠出一对全等，一对相似。的外切四边形对边和相等。 D 结 80，即 A、 O、 B 三点一线。 构造相似形。 内切圆半径：r=2。 221)22;。221)22; 圆心， 切线，构造双垂、 圆心，等弧出平行和相似。 证出： 2九年级数学知识点总结： 圆 一、圆的基本性质 1、圆的定义 (两种 ) 2、有关概念：弦、直径；弧、等弧、优弧、劣弧、8 / 24 半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆。 3、“三点定圆”定理 4、垂径定理及其推论 5、“等对等”定理及其推论 5、与圆有关的角：圆心角定义 (等对等定理 ) 圆周角定义 (圆周角定理，与圆心角的关系 ) 弦切角定义 (弦切角定理 ) 二、直线和圆的位置关系 1、三种位置及判定与性质： 2、切线的性质 (重点 ) 3、切线的判定定理 (重点 )。圆的切线的判定有 9 / 24 4、切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1、五种位置关系及判定与性质： (重点：相切 ) 2、相切 (交 )两圆连心线的性质定理 3、两圆的公切线：定义性质 四、与圆有关的比例线 段 1、相交弦定理 2、切割线定理 五、与和正多边形 1、圆的内接、外切多边形 (三角形、四边形 ) 2、三角形的外接圆、内切圆及性质 10 / 24 3、圆的外切四边形、内接四边形的性质 4、正多边形及计算 中心角： 内角的一半： (右图 ) (解 求出相关元素，、等 ) 六、一组 计算公式 1、圆周长公式 2、圆面积公式 3、扇形面积公式 4、弧长公式 5、弓形面积的计算方法 11 / 24 6、圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1、作三角形的外接圆、内切圆 2、平分已知弧 3、作已知两线段的比例中 项 4、等分圆周： 4、 8； 6、 3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1、作半径 12 / 24 2、见弦往往作弦心距 3、见直径往往作直径上的圆周角 4、切点圆心莫忘连 5、两圆相切公切线 (连心线 ) 6、两圆相交公共弦 3初三数学上册知识点总结：圆 一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面 内，线段 它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 定的端点 O 叫做圆心，线段 2、圆的几何表示 以点 O”，读作“圆 O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (如图中的 (2)直径。 13 / 24 经过圆心的弦叫做直径。 (如途中的 直径等于半径的 2 倍。 (3)半圆。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧 都叫做半圆。 (4)弧、优弧、劣弧。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“”表示，以 A， ，读作“圆弧 “弧 大于半圆的弧叫做优弧 (多用三个字母表示 )；小于半圆的弧叫做劣弧 (多用两个字母表示 ) 三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1： (1)平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 14 / 24 过圆心垂直于弦。 直径平分弦知二推三。 平分弦所对的优弧。 平分弦所对的劣弧。 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 六、圆周角定理及其推论 15 / 24 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 七、点和圆的位置关系 设 r，点 的距离为 d，则有： d d=r 点 dr 点 八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分16 / 24 线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质 (四点共圆的判定条件 ) 圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的 结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： (1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； (2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果 r，圆心 O 到直线 d，那么： 直线 O 相交 d 直线 O 相切 d=r； 直线 O 相离 dr； 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的17 / 24 切线。 2、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 18 / 24 如果两个圆有两 个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 圆内切 d=r) 两圆内含 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公 共弦。 十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 19 / 24 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正 条对称轴都通过正 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正 多边形。 十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式 n的圆心角所对的弧长 、扇形面积公式 20 / 24 其中 n 是扇形的圆心角度数， R 是扇形的半径， l 是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 其中 4华师大版数学九年级下册圆知识点总结 1圆的认识 （ 1）当一条线段 在平面内旋转一周时，它的另一个端点 到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点 “圆O”，记为“ O”。 （ 2）线段 是圆的半径，线段 直径。 （ 3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段 C、 中的弦。 （ 4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线 别记作 =627;=627;中像弧=627;样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧 =627;样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 （ 3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如 2圆的对称性 （ 1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、21 / 24 所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （ 2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。 4圆周角 （ 1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （ 2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90（直角）。 90的圆周角所对的弦是圆的直径。 （ 3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 （ 4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5点与圆的位置关系 22 / 24 设 O 的半径为 r，点圆心 O 的距离为 d，则（ 1）点在圆外 =659;02;（ 2）点在圆上 =659;01;（ 3）点在圆内 =659;00; 6 （ 1）过一点可以画无数个圆；过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （ 2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 （ 3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7直线与圆的位置关系 （ 1）如果一条直线与一个圆没有 公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。（ 2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点 （ 3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线 如上图，设 O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，从图中可以看出：若 02;=659;直线 l 与 O 相离；23 / 24 若 01;=659;直线 00;=659;直线 8切线 （ 1）判定