假设检验考试知识

八、假设检验这一部分，“数学一”和“数学三”的考试大纲、考试内容和要求完全一致“数学二”不考概率论与数理统计，“数学四”不考数理统计、考试大纲要求 考试内容考试大纲规定的考试内容为：显著性检验 假设检验两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 考试要求(1) 理解“假设”的概念及其类型，理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，会构造简单假设的显著性检验；(2) 理解假设检验的两类错误，并且对于较简单的情形，会计算两类错误的概率；(3) 了解正态总体参数的假设检验、考试内容提要统计估计和统计检验是统计推断的两类基本问题统计估计，是根据样本估计总体参数或分布统计检验，首先提出关于总体参数（或概率分布）某种“假设”，然后根据样本来检验所提“假设”是否成立 假设的概念和类型 “假设”指关于总体的论断或命题、猜测或推测、设想或假说为便于叙述，常用字母“H”表示假设假设可以分为：基本假设（原假设）与备选假设，参数假设与非参数假设，简单假设与复合假设1、基本假设与备选假设 两个二者必居其一的假设H0和H1，其中一个称为基本假设，而另一个则称为备选假设一般，用H0表示基本假设，而用H1表示备选假设基本假设亦称为原假设或零假设，备选假设亦称为对立假设对于两个相互对立的假设，一般把欲重点考察而且统计分析便于操作和处理的的假设视为基本假设，并且在统计分析的过程中始终假定基本假设成立例如，以表示不合格品率，以表示给定的值，则H0：基本假设，H1 ：备选假设；H0：两个地区人口的性别比相同基本假设，H1：两个地区人口的性别比不同备选假设LL2、简单假设与复合假设 完全决定总体分布的假设称为简单假设，否则称为复合假设例如，关于某事件概率的假设，：简单假设，而：复合假设；：总体服从标准正态分布简单假设，：总体服从正态分布复合假设3、参数假设与非参数假设 参数假设，是在总体分布的数学形式已知的情况下，关于其中未知参数的假设非参数假设，又称做无分布假设，是在总体分布的数学形式未知（或不确知）的情况下，关于总体的一般性假设例如，已知总体服从正态分布时，关于其均值或方差的假设是参数假设；“H：总体X服从正态分布”、“H：两个总体同分布”是非参数假设有些假设虽然用一个或若干个参数表述（例如，H：），但是当总体分布的数学形式未知时，也属于非参数假设的范畴不过习惯上类似的假设仍按参数假设对待有时把不能用有限个参数表示的假设称做非参数假设注意，假设类型的区分并不是绝对的，而在一定意义上是描述性的然而，需要了解假设类型的区分，因为对于不同类型的假设，处理的方式有所不同 显著性检验 统计假设的检验，指按照一定规则根据样本判断所作假设的真伪，并作出接受还是否定假设的决定决定假设取舍的规则，称做检验准则，简称为检验显著性检验是基于“小概率原则”的一种检验1、显著性水平 按照“小概率原则”：对于根据检验问题的要求，选择的一个 “充分小”的数（01）, 当事件的概率时，就认为是“实际不可能事件”，而称做显著性水平显著性水平的选取要根据实际问题要求而定，常选=0.001, 0.01, 0.05, 0.10等2、显著性检验的基本步骤(1)明确基本假设 把欲考察的问题以基本假设的形式提出，并且在作出最后的判断之前，始终在“假设成立”的前提下进行分析(2) 规定显著性水平（01或：2 (至少两部有质量问题，包括=2,3,4,5)例8.3(两类错误概率) 关于泊松随机质点流的强度 (每分钟出现的随机质点的期望数) 有两个二者必居其一的假设，：=0.5和：=1以表示十分钟出现的随机质点数设检验规则为：当7时否定接受，则检验的第一类错误概率= ；检验的第二类错误概率= (只要求写出表达式) 分析 由于服从参数为10的泊松分布，则例8.6（否定域） 假定总体X，关于总体X的数学期望的假设；基于来自总体X的容量为9的简单随机样本，得样本均值则假设H0的水平0.05的否定域为： 分析 在已知=1的情况下，假设的检验的统计量因此假设H0的水平=0.05的否定域为例8.10 假设总体X服从正态分布；是来自总体X简单随机样本，是已知常数，是样本均值考虑的形如的水平为0.05的否定域，则其中的未知常数 分析 检验的统计量因此，有；由此可见选择题例8.11(两类错误概率) 假定总体X，关于总体X的数学期望有两个假设：设是来自总体X的简单随机样本，是样本均值；以表示标准正态分布水平双侧分位数；则在4个选项所列举的H0的水平=0.05的否定域中，第二类错误概率最小的否定域是(A) (B) (C) (D) C 分析 应选(C)由于总体的方差等于1已知，可见假设检验应使用统计量显然，由于都是简单假设，可见检验的第一类错误概率；第二类错误概率为经计算，得注意，该题的计算量是很大的不过，解选择题时应尽量避免计算，要发挥“直观判断力”统计量的值实质上反映与0的差异，因此当其值大于某个临界值时否定最合理例8.13（检验）考虑正态总体和相互独立，其中4个分布参数都未知设和是分别来自和的简单随机样本，样本均值分别为和，样本方差相应为和，则检验假设H0：使用检验的前提条件是(A) (B) (C) = (D) C 分析 因为检验使用统计量， 只有当选项（C）即=成立时才能导出统计量的抽样分布分布，并且根据分布来构造检验解答题 例8.15(两类错误概率) 设新购进五部移动电话机，关于其质量有如下假设：最多一部有质量问题采用如下检验规则：若在随意取出的两部中发现其中有存在质量问题者，则否定试就假设和备选假设的各种可能情形，求此检验的两类错误概率解 以表示随意取出的两部中有质量问题的件数，则是假设的否定域以表示有质量问题的电话机部数；记当有质量问题电话机为部时否定的概率，其中易见，对于=0和=1，是第一类错误概率；对于=2,3,4,5，是第二类错误概率，其中因此，有将计算结果列在下面的表中例8.13的计算表假 设有质量问题部数 0 1 2 3 4 5第一类错误概率 0 0.4第二类错误概率 0.3 0.1 0 0例8.16(构造t检验) 假设总体服从正态分布，其中参数和未知；关于数学期望有如下假设：=，其中是已知常数试根据来自总体简单随机样本，建立假设的显著性检验的水平否定域解 分别以和S表示样本均值和样本标准差由(6.15)式知统计量服从自由度为=n1的t分布因此，有，其中是自由度为=n1的t分布水平0.05双侧分位数于是，是假设的显著性水平为的否定域例8.17（检验） 假设某种钢筋的抗拉强度X服从正态分布现在从一批新产品钢筋中随意抽出了10条，测得样本标准差kg，抗拉强度平均比老产品的平均抗拉强度多20 kg问抽样结果是否说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高？解 需要检验假设，其中表示老产品的平均抗拉强度由题的条件知，样本容量n=10，样本标准差=30；=20，其中表示10条钢筋的抗拉强度算术平均值样本均值检验的统计量服从自由度为9的t分布对于=20，=30和n=10，得统计量t的值为2.1082；由附表2可见=2.262，在显著性水平0.05下应否定，即说明新产品的抗拉强度比老产品有明显提高例8.18(t检验) 环境保护条例的标准规定，在排放的工业废水中有害物质A的含量不得超过1按制度每周随机抽样化验4份水样，以表示4份水样中有害物质A的含量的算术平均值()假设化验结果，试求在水平0.05下可以认为“有害物质A的含量超标”的的临界值C解 问题可以化为假设：=1对假设：=1的检验问题，属于表8.1的情形2，假设的水平0.05否定域为该式中即所要求临界值，其中=1，20.10，是4次化验结果的样本标准差，=2.353是自由度为3的分布水平0.10双侧分位数将有关数据代入后得=1+1.177S，即当时，否定假设：=1，认为“有害物质A的含量超标”如4份水样中有害物质A的含量的算术平均值=0.12，标准差S =0.05，则= 1.06例8.19(检验和检验) 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均净重500g，标准差不大于10g现在从要出厂的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的净重，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15假设这种袋装食品每袋的重量服从正态分布试在显著性水平=0.05下，检验这一批袋装食品每袋平均净重和标准差是否符合标准（取显著性水平0.10）解 问题的要求检验假设：=500和假设：10样本容量为；经计算可得=503.64，=123.43(1) 检验假设：=500，属于表8.2中的情形1，用t检验，有由表8.2知的否定域为V=由(6.20)式知统计量服从自由度为=n1=13的分布将=14，=503.64，代如上式，得=1.23由附表4查出自由度为13的t分布水平0.20和0.30的双侧分位数：=1.771由于=1.230.77时认为机床的精度降低了