变形监测网非线性二类动态优化设计中观测权解算方法.doc

变形监测网非线性二类动态优化设计中观测权的解算方法胡召玲摘要根据变形监测网非线性二类动态优化设计的数学模型,本文从一个简单的网形入手,导出测边网非线性二类动态优化设计数学模型的具体形式,并提出了采用非线性优化设计技术的方法投影梯度算法解算这种模型,从而将这种解算方法推广到求解任意网形的监测网非线性二类动态优化设计中的观测权。关键词变形监测网; 非线性; 优化设计; 投影梯度中国图书资料分类号P221Solution Method of Observational Weight to the Nonlinear Second Dynamic Optimal Design of Deformation Monitoring NetworkHu Zhaoling(China University of Mining and Technology, Xuzhou, 221008)AbstractAccording to the mathematical model for the nonlinear second order dynamic optimal design of deformation monitoring network, a specific mathematical model of nonlinear second order dynamic optimal design of distance network is derived from a simple network. And gradient projection algorithm that is a kind of nonlinear optimal design technique method is put forward using solving the type of model. Thereby the solution method is popularized to solve observation weight of nonlinear second order dynamic optimal design of any deformation monitoring network.Key wordsDeformation monitoring network; Nonlinear; Optimal design; Gradient projection0引言变形监测的主要目的,是对变形参数的探测。近年来用于变形监测的仪器和监测方法都有很大发展,对变形体的变形研究也越来越精细,因此对变形监测网的设计、观测和数据处理提出了更高的要求,变形监测网具有观测周期长、费用高的特点,研究监测网的优化设计具有更重要的意义。而监测网的二类设计就是观测精度的选择和各类观测值权的确定问题。由于变形观测的精度要求高及其特殊要求,监测网的二类设计显得更有实际意义。国内外学者对变形监测网的优化设计已作过一些研究,但共同的作法都是采用线性规划设计方法。众所周知,在变形监测系统的优化设计模型中,客观上存在的绝大多数函模型关系都是非线性的,传统的作法是将非线性函模型按泰勒级数展开,略去二次及二次以上高次项,化为线性函数模型,用线性规划方法解算。但这是建立在近似值与其真值充分接近的基础上,研究表明,该条件难以满足,因而线性化必然会影响到非线性函数模型的真实性,得不到满意的结果。科学发展到今天,有必要研究和应用非线性优化设计,尤其是非线性动态优化设计的函数模型及其解算方法。衡量变形监测网的质量准则,一般包括:精度、灵敏度、可靠性和观测费用。文献1根据精度要求直接构造了以变形参数精度为质量准则的非线性二类动态优化设计模型。针对这种模型,本文从一个简单的网形入手,导出二类优化设计数学模型的具体形式,并提出了采用非线性优化设计技术投影梯度算法解算这种模型,从而将这种解算方法推广到求解任意网形的监测网非线性二类动态优化设计。1变形监测网非线性二类动态优化设计的数学模型设有n个独立观测值L为某周期观测值,其改正数为V,观测值对角型权阵为P,以相对于前周期的位移量d作为未知参数。将每个观测值的平差值都表达成未知参数d的非线性函,即(1)用矢量表示:V=f(d)-L(2)1.1目标函数以位移量d的协方差Kdd作精度准则。观测值L为随机向量,其协方差矩阵为KLL=P-1,在间接平差中,未知参数d是根据观测值L来计算的,则得未知参数d的协方差矩阵Kdd为(3)为了计算d/L,需引用d=(L)函数式,为此,由最小二乘原理VTPV最小的必要条件为(VTPV)/d=0令(4)对(4)式求微分得:(5)为了根据(4)式计算,将h(d)写成,其中(6)y是n维向量,YT是kkn的矩阵,是nk的矩阵,fs是nk维向量,令雅克比矩阵,则代入(5),(3)式得(7)取目标函数为:变形参数位移的协方差最小,即:(8)因为变形参数位移的协方差最小相当于它的协因数最小,也相当于它的权矩阵的最大,所以目标函也可变为:(9)1.2约束条件由文献1,灵敏度约束为:(10)其中0是单位权方差,0是非中心化参数,可由显著水平,检验功效从有关诺谟图中查取,g是给定的方向向量,d0是设计时预先要求或预先给定在某一方向g上要监测的最小位移量。(10)式也可变为:(11)令Ag=K,则(11)式变为:(12)采用矩阵的Hadamard积*,并将矩阵按对角线拉值后得:(KT*KT)pW(13)令B=(KT*KT),得监测网二类设计的灵敏度约束:BpW(14)根据文献2,监测网二类设计的可靠性约束:b(1)Dpb(2)(15)其中,D为系数矩阵,b(1),b(2)为常数向量,可根据实际网形和单位权以及可发现的观测值粗差的最小值确定。监测网二类设计的费用约束为:Spw(16)其中,S=(1 1 1),w为一给定的限值。由式(9),(14),(15),(16)得变形监测网非线性二类动态优化设计的数学模型。2测边网数学模型如图所示,在固定点A、B、C的三角形插入一点T,使待定点T的协方差阵最小(相当于点位误差最小),A、B、C的坐标值及T的经一类优化设计后的坐标值列于表中。采用边长观测法,共测得三条边,观测值分别为S1,S2,S3,求监测网非线性二类动态优化设计的结果P1,P2,P3。图1测边监测网表1各点的坐标点X坐标Y坐标A1400m100mB1400m1600mC100m840mT950m850m令A、B、C、T点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),(xC,yC),(x1,y1),则得平差值方程为: 雅克比矩阵A为:因此(17)令,可以求得令,可以求得(18)令(19)其中, 由(17)、(19)式得目标函数为:F=-trHTN-1H=min(20)其中H,N均为22阶的函数矩阵,Hij,Nij为p1,p2,p3的函数。因为约束条件均属线性约束,令其为:GTpb(21)其中,p=(p1,p2,p3)T,G,b分别为约束系数矩阵和常数项。当观测值个数为n,坐标未知数个数为k时,相应地,式(20)中的H,N均为kk阶的函数矩阵,Hij,Nij为p1,p2,pn的函数。3算法根据变形监测网纯量精度准则F最优,要使QF=-fTHTN-1Hf=min,其中f是变形参数d的线性化函数的系数向量。因此令F=QF,变形监测网非线性二类动态优化设计的数学模型为目标函数F=QF=-fTHTN-1Hf=min(22)约束条件GTpb(23)这是仅带有线性约束条件的最优化问题。令x=(x1,x2,xn)T,f(x)=F,利用投影梯度法进行迭代求解x。投影梯度法是求解线性约束的非线性优化问题最有效的方法之一,它的基本思想是产生一个可行点列x(k),满足f(x(k+1)f(x(k),使得x(k)收敛于约束问题的极小点(或KT点),或者使得x(k)的任意聚点为一KT点。因此在x(k)处的搜索方向不仅要是一个下降方向,而且要是一个可行方向。而对于线性约束问题,过边界点的任一方向在边界上的投影,都是可行方向,而负梯度方向的投影,将是一个下降方向。根据文献3,当f(x)连续可微,且任意可行点处有效约束的系数向量线性无关,则算法或者终止于一个KT点,或者生成一个无穷序列x(k),其任意聚点为一KT点。目标函数f(x)的梯度为:其中,因为NN-1=I,I是单位矩阵,将此式的两边同时对xi求偏导得于是有利用投影梯度法求解优化模型的迭代步骤如下:(1) 给出初始可行点x(1),令k=1;(2) 确定x(k)处q个有效约束的法向量gi所构成的nq矩阵Gq由式Pq=I-Gq(GTqGq)-1GTq计算投影矩阵Pq,若q=0,则令Pq=I;(3) 令p(k)=-Pqf(x(k),若p(k)=0则转(5),否则转(4);(4) 计算,求k使令x(k+1)=x(k)+kp(k),转(6);(5) 计算=(GTqGq)-1GTqf(x(k),若0,则x(k)为KT点,停。否则,求i=mini0,从Gq中取掉对应于i的向量gi,得Gq-1,由式Pq-1=I-Gq-1(GTq-1Gq-1)-1GTq-1计算投影矩阵Pq-1,令p(k)=-Pq-1f(x(k),转(4);(6) 令k=k+1,转(2)。4算例如图2所示的某跨断层地壳形变监测网(测边),网中数据取自文献2。此处仅用该网说明非线性优化设计结果比单纯的线性优化设计结果更精确。由已知资料分析,断层两侧的变形点将以不同的速率沿南偏西方向(=215)产生位移,设计要求所布设的监测网能够在方向发现3mm以上的变形。各测回中误差看成相等,取MS=4mm,0=5%,0=80%,0=2.8,按给定数据进行观测方案设计。按式(22)、(23)组成数学模型,采用投影梯度法。设计结果列于表2中。表2两种优化权结果的比较边号(i)1234567891011121314pi线性优化(pi)11165231151257655512128非线性优化(pi)14206201651595875612148图2地壳形变监测网表中第二行为线性优化的观测权值,第三行为非线性优化的观测权值,从表中可以看出,除个别观测权值外,非线性优化结果的观测权值比线性优化结果的观测权值大,这是因为目标函数是非线性的,它与监测网的实际设计要求是相符合的,而线性优化只是实际情况的一种近似,因而,非线性优化结果比线性优化结果精确。5结论本文讨论的变形监测网的非线性二类动态优化问题可转化为一般的带有线性约束条件的非线性优化问题,它的求解要比线性优化求解复杂得多,但是,采用非线性优化设计,结果要比线性优化设计结果精确得多。由于采用投影梯度算法即梯度型算法求解非线性优化模型,因此要求目标函数是可微且梯度是能够求取的,本文导出了目标函数的梯度。算例证明了非线性优化设计结果比线性优化结果精确,从而进一步说明了非线性优化设计的必要性和有效性。由于非线性优化设计数学模型的组成是很复杂的,本文只讨论了测边网数学模型的具体形式,而对测角网,边角同测网的数学模型的具体形式也是适用的。编者按:此文是山东矿业学院测量工程系与俄罗斯学者合作研究项目。作者简介:胡召玲女,1998年7月