应用题的本质是数学建模

应用题的本质是数学建模报告提纲数学分为纯粹数学和应用数学哥德巴赫猜想汉字排版技术小学数学中的纯数学问题和应用数学问题小学的纯粹数学问题：数与运算规则。交换律、分配律，通分质数与合数；无限循环小数；平行线；小学应用性数学问题: 现实的应用：买卖中的货币计算科学的应用：路程、速度、时间的关系模拟的应用：鸡兔同笼纯数学问题与应用问题之间的联系小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则，属于纯粹数学范围，将这些规则和现实相联系，并应用于现实，则是小学应用数学的范围。数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学，体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。应用数学是永存的如果说，应用数学是永存的，那么数学应用题教学也是永存的。只不过要“与时俱进”，不断改革而已。“谁用的好，谁就赢了”（姜伯驹语）。20 世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，计算机技术出现之后，应用数学的一个进展，是对一个个的具体问题建立一个个的数学模型。因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点什么是小学数学应用题？1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。2. 用自然语言表达，即用文字叙述的问题。西方有时把小学应用题称作“文字题（word problem ）”，即用自然语言表达的数学问题。文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式”，然后再用数学方法求解。什么是小学数学应用题？3. 具有比较复杂的情景。应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。什么是数学模型？数学建模是20 世纪下半叶，随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。目前已经成为数学应用的基本模式。数学模型，一般地说，乃是针对或参照某种事物系统的实际特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学内容本身就是一种数学模型自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型。加法是“合并”、“添加”等活动的数学模型分数是平均分派物品的数学模型；元角分的计算模型是小数的运算。鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；模式应用：问：你们学校每个年级几个班？答：2个班；问：每个班大约多少学生？答：40 人问：你们学校一共有多少人？答：400 多人；问：你们学校有没有两个人是同一天生日的？答：我们班里好像没有的，我要到其他班问一问。数学老师：有，一定有。应用题求解与数学模型比较应用题求解：对于一种相对比较复杂的情境，采用形式化的符号语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。建立数学模型的步骤：了解情境分析数量关系形式化符号化的结构用数学方法求解结构中的未知数验证。应用题学习是数学建模的基础每一道小学数学应用题的教育价值，在于能将情境“数学化”；将文字的表述，转换为数学符号或图像的表示；将蕴藏在情景内的数量关系列为算式；用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。这些数学活动，为日后学习更复杂的“数学建模”，做好必要的准备美国式的折腾：“问题解决”的提出美国数学教育界提出的所谓“问题解决”，专指解决“非常规问题”。目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。“问题解决”的借鉴与启示我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得也很不错。但是，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点。在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是，总体上较窄、较难，较偏。问题解决不能代替应用题教学问题解决教学是应用题教学的上位概念。彼此是包含关系。“用问题”的共性，取代了“应用题”的特性问题解决是数学教学全局性理念；应用题教学是数学教学的部分课题。问题解决不能代替应用题教学问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思是强调“探究”、“发现”、“创新”。美国又提出“成功需要基础”，又强调其基础了。所以，应用题教学，不能只强调“探究创新”，还要注意“打好基础”。没有基础怎么创新？应用题的分类小学数学应用题可以有三种分类。1. 按数学模型分类；随机模型，统计模型；四则运算模型；分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程等等。2. 按情景熟悉程度分类。如日常生活情景模型，模拟现实情景模型，科学技术模型等等3. 按特定情境的数量关系分类。如行程问题，工程问题，流水问题，折扣问题等等，应用题的分类与数量关系不是我们要不要分类的主观决定。数学应用题分类是客观世界不同数量关系的反应。行程问题路程= 速度时间工程问题工作量= 工作时间 工作效率价格问题总价格= 单价 数量利息问题利息= 本金 利率利润问题利润= 成本 利润率折扣问题金额= 价格 折扣率百分数问题数量= 总量 百分比这些内容不属于数学范围，但是数学课要教！紧密联系学生的日常生活小学生的日常生活内容十分有限。主要围绕“买东西”活动展开。单价、总数，折扣，差额，比例“卖”的意识也很少。所以成本、利润、效率，都不是日常生活实际能够接近的。国际上有一种“现实数学”，实验失败告终。不能除了超市，就是商场，需要拓展情境内容。应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时路程之间的关系，乃是物体运动的在物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题，完全是一种假想的模拟情景。关于虚拟的“真实”儿童的思维情境，包括客观现实反映和虚拟想象两大部分。虚拟想象中有一部分成为“虚拟真实”。孙悟空，黑猫警长，圣诞老人，白雪公主，魔法石，变形金刚。利用虚拟的真实：外星巨人的手印。过于真实，不利于教学。路程问题：想象在一条直线上，自始至终一一种速度在奔跑。有这样笔直的道路吗？怎样能够使得起跑时速度和到终点的速度一样？鸡兔同笼好？还是三条腿凳子和四条腿椅子好？退位减法，被减数个位不够减，向十位借一，有学生就很贴近生活地说“十位不肯借怎么办？”数学是需要抽象概括的。30 年代，小学数学教材里都有和尚馒头问题：“一共有100 个和尚和100 个馒头。大和尚一人吃三个馒头，小和尚三个人吃一个馒头，问各有大小和尚几人”。现在不见了，如果是因为不能联系学生的实际，那太遗憾了。算术和代数算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。算术模型是一串“数字”的运算流程。代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系或其他结构。从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率，就像人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。算术模型和代数模型的区别算术思维和代数思维思考的方向不一样。打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。算术模型和代数模型的区别很多数学家回忆自己的学习生涯，感觉到小学里用算术方法解决问题培养了自己的能力，尽管这些问题后来用代数变得简单。数学应用题是否要集中教学？数学建模是一种特殊思维活动，有特定内容，需要单独、集中学习领会。一些基本的数学模型反映基本的数量关系，是学生发展的必要基础。需要集中演练，形成技能。解数学应用题，需要将各种数量关系进行比较。集中教学，避免分散割裂。处处都有，有时也容易变成处处都没有。从不会到会，需要什么有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？可能的困难：不会转化百分数与分数？不会计算？不会列方程？不会分析数量关系？还是就是不会做怎样让学生学会？有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：怎样让学生学会？有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？第一次这桶油20 第二次12 千克两次一共这桶油1/2 这桶油20 12 这桶油1/2 怎样让学生学会？有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？对应关系：1 这桶油20 第一次取出1/2 两次取出？第二次取出12 千克怎样让学生学会？有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？列方程设这桶油为x千克；20 x12 1/2x 1/2x 20 x12 怎样让学生学会？有一桶油，第一次取出这桶油的20 ，第二次取出12 千克，两次共取出这桶油的1/2 ，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：对应关系：方程；还有什么