专题三 平面向量单元

考纲导读平面向量1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形高考导航知识网络向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明基础过关 1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | | 当0时，的方向与的方向 ； 当0时，的方向与的方向 ； 当0时， () () () 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数使得 4 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 设、是一组基底，则与共线的充要条件是 向量的坐标运算1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 并且| 2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则： 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则 4两个向量(x1、y1)和(x2、y2)共线的充要条件是 向量的数量积1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即 规定零向量与任一向量的数量积为0若(x1, y1)，(x2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于 4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时， ；当与反向时， cos | 5向量数量积的运算律： ； () () () 典型例题例1已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求解：()变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）ADBCABCD解:A 例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标解(1，)，(1, )，即C(1, )变式训练1.若，则= . 变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求 例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x变式训练3.设(k, 1)，(4, 2) ，求k 例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)解:(23)(32)4变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值 课后考点习题 1(广东省惠州市2013届高三第三次调研文5)已知向量，且，则的值为（ ） A B C D 2. (广东省广州市2013年1月高三年级调研理)设向量，则“”是“/”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件 3. (广东省茂名市2013年高三第一次高考模拟理)已知向量,则的充要条件是（）ABCD 4(广东省佛山市2013年普通高中高三教学质量检测一理)已知，若，则A B C D 5.(广东省江门市2013年1月高三调研文)如图2，平行四边形中，是的中点，是的中点，