20182019学年陕西省西安二十三中九年级（上）开学数学试卷（解析版）

2019-2019学年陕西省西安二十三中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1若2x+1与2x1互为倒数，则实数x为（）AB1CD2若一元二次方程式x28x311=0的两根为a、b，且ab，则a2b之值为何？（）A25B19C5D173若m是关于x的方程x2+nxm=0的解，且m0，则m+n的值是（）A1B0.5C0.5D14关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）Am=0，n=0Bm=0，n0Cm0，n=0Dm0，n05若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为（）A360B540C720D9006若方程ax2+bx+c=0（a0），a、b、c满足a+b+c=0和ab+c=0，则方程的根是（）A1，0B1，0C1，1D无法确定7如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）ABCD不确定8若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx2Cx1Dx29将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB=3，则BC的长为（）A1B2CD10如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则SBEF为（）A8B12C16D24二、填空题（共4题，每题3分，共12分）11当t 时，关于x的方程x23x+t=0可用公式法求解12若实数a，b满足a2+abb2=0，则= 13以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是 14用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中BAC= 度三、解答题（本大题共6小题，共58分）15（6分）先化简，再求值：，其中x=216（10分）解下列方程（1）（x+3）2=（12x）2（2）2x210x=317（12分）已知方程x22ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？18（10分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？19（10分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元若童威将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案20（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明2019-2019学年陕西省西安二十三中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1若2x+1与2x1互为倒数，则实数x为（）AB1CD【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解【解答】解：根据2x+1与2x1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x1）=1；整理得4x21=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=故选：C【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”本题开方后要注意分母有理化2若一元二次方程式x28x311=0的两根为a、b，且ab，则a2b之值为何？（）A25B19C5D17【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=3，然后计算代数式a2b的值【解答】解：（x11）（x+3）=0，x11=0或x+3=0，所以x1=11，x2=3，即a=11，b=3，所以a2b=112（3）=11+6=17故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）3若m是关于x的方程x2+nxm=0的解，且m0，则m+n的值是（）A1B0.5C0.5D1【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值【解答】解：把x=m代入方程x2+nxm=0得m2+mnm=0，又m0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故选：A【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零4关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）Am=0，n=0Bm=0，n0Cm0，n=0Dm0，n0【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值范围【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或m，因为两根中只有一根等于0，则得到m0即m0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m0，n=0故选：C【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程5若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为（）A360B540C720D900【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60，可知对应内角为120，很明显内角和是外角和的2倍即720【解答】解：该正多边形的边数为：36060=6，该正多边形的内角和为：（62）180=720故选：C【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键6若方程ax2+bx+c=0（a0），a、b、c满足a+b+c=0和ab+c=0，则方程的根是（）A1，0B1，0C1，1D无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是1则方程的根是1，1故选：C【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等7如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）ABCD不确定【分析】过P点作PEAC，PFBD，由矩形的性质可证PEACDA和PFDBAD，根据和，即和，两式相加得PE+PF=，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和【解答】解：法1：过P点作PEAC，PFBD矩形ABCDADCDPEACDAAC=BD=5同理：PFDBAD+得：PE+PF=即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是法2：连结OPAD=4，CD=3，AC=5，又矩形的对角线相等且互相平分，AO=OD=2.5cm，SAPO+SPOD=2.5PE+2.5PF=2.5（PE+PF）=34，PE+PF=故选：A【点评】根据矩形的性质，结合相似三角形求解8若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）Ax1Bx2Cx1Dx2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；【解答】解：由题意可知：解得：x2故选：B【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型9将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB=3，则BC的长为（）A1B2CD【分析】根据题意可知，AC=2BC，B=90，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长【解答】解：AC=2BC，B=90，AC2=AB2+BC2，（2BC）2=32+BC2，BC=故选：D【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用10如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则SBEF为（）A8B12C16D24【分析】要求SBEF只要求出底边EF以及EF边上的高就可以，高可以根据ABC的面积得到，EF=AC，根据勾股定理得到AC，就可以求出EF的长，从而求出EFG的面积【解答】解：SABC=86=24又E、F是AC上的三等分点SBEF=SABC=8故选：A【点评】本题运用了勾股定理，已知直角三角形的两直角边，求斜边上的高，这类题的解决方法是需要熟记的内容二、填空题（共4题，每题3分，共12分）11当t时，关于x的方程x23x+t=0可用公式法求解【分析】关于x的方程x23x+t=0可用公式法求解，则=b24ac0，即=3241t=94t0，解不等式即可【解答】解：关于x的方程x23x+t=0可用公式法求解，=b24ac0，即=3241t=94t0，t故答案为【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根12若实数a，b满足a2+abb2=0，则=【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值【解答】解：a2+abb2=0=b2+4b2=5b2a=b故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值13以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则BEC的度数是30或150【分析】分等边ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得【解答】解：如图1，四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形，AB=BC=CD=AD=AE=DE，BAD=ABC=BCD=ADC=90，AED=ADE=DAE=60，BAE=CDE=150，又AB=AE，DC=DE，AEB=CED=15，则BEC=AEDAEBCED=30如图2，ADE是等边三角形，AD=DE，四边形ABCD是正方形，AD=DC，DE=DC，CED=ECD，CDE=ADCADE=9060=30，CED=ECD=（18030）=75，BEC=36075260=150故答案为：30或150【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键14用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中BAC=36度【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABC=108，ABC是等腰三角形，BAC=BCA=36度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质n边形的内角和为：180（n2）三、解答题（本大题共6小题，共58分）15（6分）先化简，再求值：，其中x=2【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，【解答】解：原式=把x=2代入得：原式=【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型16（10分）解下列方程（1）（x+3）2=（12x）2（2）2x210x=3【分析】（1）先移项得到（x+3）2（12x）2=0，再利用平方差公式把方程左边因式分解得到（x+3+12x）（x+31+2x）=0，则原方程转化为两个一元一次方程x+3+12x=0或x+31+2x=0，然后解一元一方程即可；（2）先把方程变形为一般式，再计算出，然后根据一元二次方程的求根公式求解即可【解答】解：（1）（x+3）2（12x）2=0，（x+3+12x）（x+31+2x）=0，x+3+12x=0或x+31+2x=0，x1=4，x2=；（2）2x210x3=0，a=2，b=10，c=3，=（10）242（3）=431，x=，x1=，x2=【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程变形为ax2+bx+c=0（a0），再把方程左边因式分解，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一元一方程即可得到一元二次方程的解也考查了因式分解的方法和公式法解一元二次方程17（12分）已知方程x22ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【分析】（1）根据0恒成立即可证明（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答（4）令x=0代入方程求解即可【解答】解：（1）方程x22ax+a=4，可化为：x22ax+a4=0，=4a24（a4）=4+150恒成立，故方程必有相异实根（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a0，x1x2=a40，解得：a4（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a0，x1x2=a40，解得：a0（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x22ax+a=4，得：a=4【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q18（10分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价=总价单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据题意得：3=，解得：x=8，经检验，x=8是分式方程的解答：第一批饮料进货单价为8元（2）设销售单价为m元，根据题意得：200（m8）+600（m10）1200，解得：m11答：销售单价至少为11元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式19（10分）用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板现准备购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块（x为整数）（1）求A、B型钢板的购买方案共有多少种？（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元若童威将C、D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案【分析】（1）根据“C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块”建立不等式组，即可得出结论；（2）先建立总利润和x的关系，即可得出结论【解答】解：设购买A型钢板x块，则购买B型钢板（100x）块，根据题意得，解得，20x25，x为整数，x=20，21，22，23，24，25共6种方案，即：A、B型钢板的购买方案共有6种；（2）设总利润为w，根据题意得，w=100（2x+100x）+120（x+3003x）=100x+10000240x+36000=140x+46000，1400，当x=20时，wmax=14020+46000=43200元，即：购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意得出正确的等量关系是解题关键20（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用