【高考辅导资料】2010年高考试题——理数(全国卷i)(解析版)

绝密绝密启用前启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学( (必修必修+ +选修选修 II)II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第 I I 卷卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式A、B ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径A、B 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p 3 3 4 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一选择题一选择题 (1)复数 32 23 i i (A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13iii 1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析 1】. 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii 【解析 2】 2 3232 2323 iii i ii (2)记,那么cos( 80 )k tan100 A. B. - C. D. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出 了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析 1】,所以 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k 【解析 2】，cos( 80 )k cos(80 )k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k (3)若变量满足约束条件则的最大值为, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析 1】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 . max 1 2 ( 1)3z 【解析 2】，画图知过点是最大， 11 2 22 zxyyxz1, 1 1 213 Max z （4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则 n a 123 a a a 789 a a a 0xy 1 O yx y 20xy x A 0: 20lxy L0 2 2 A = 456 a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析 1】由等比数列的性质知， 3 1231322 ()5a a aa aaaA 10,所以, 3 7897988 ()a a aa aaaA 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5)的展开式中 x 的系数是 353 (12) (1)xx (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【解析 2】=5；=10 123 a a a 3 2 5a 789 a a a 3 8 10,a ， 6333 5284565 505 2aa aa a aa 5.C【解析】 2 124513 353 333322 (12) (1)1 61281 510105xxxxxxxxxx x的系数是 -10+12=2 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门， 若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的 数学思想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有种不 12 34 C C 21 34 C C 同的选法.所以不同的选法共有+种. 12 34 C C 21 34 18 1230C C A B C D A1 B1 C1 D1 O 【解析 2】 333 734 30CCC (7)正方体 ABCD-中，B与平面 AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的 1 D 具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B与平面 AC所成角和DD1与平面 AC所成角相 1 B 1 D 1 D 等,设 DO平面AC，由等体积法得,即.设 1 D 11 D ACDDACD VV 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD DD1=a, 则,. 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以,记 DD1与平面 AC所成角为,则 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D ,所以. 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 【解析 2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC 1, OO 1 O O 1 D 1 B 所成角， 1 D 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD （8）设 a=2,b=In2,c=,则 3 log 1 2 5 A abc Bbca C cab D cba 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,综上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； c= 3 log 3 2 1 log 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge ，cab 1 2 111 5 254 (9)已知、为双曲线 C:的左、右焦点，点 p 在 C 上，p=，则 P 1 F 2 F 22 1xy 1 F 2 F 0 60 到 x 轴的距离为 (A) (B) (C) (D) 3 2 6 2 36 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数 学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】不妨设点 P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 00 (,)xy ，.由余 2 1000 |()12 a PFe xaexx c 2 2000 |)21 a PFe xexax c 弦定理得 cosP=,即 cos, 1 F 2 F 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 0 60 222 00 00 (12)( 21)(2 2) 2(12)( 21) xx xx 解得,所以，故 P 到 x 轴的距离为 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 | 2 y 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 22 60116 cot1 cot322 2 22222 F PF Sbc hhh （10）已知函数 F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (B) (C) (D)(2 2,)2 2,)(3,)3,) 10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b,从而错选 A,这 2 2 2a a 也是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+2b= 1 b a 2 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+). 2 1 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，求 01 1 1 a b ab 01 1 1 x y xy 的取值范围问题，过2zxy 11 2 22 zxyyxz 2 11 1yy xx 点时 z 最小为 3,(C) 1,1(3,) （11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么的PA PB 最小值为 (A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求 法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示：设 PA=PB=,APO=,则x(0)x APB=，PO=，2 2 1x 2 1 sin 1x =| |cos2PA PBPAPB 22 (1 2sin)x 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x ，令，则，即，由是实数，所以PA PBy 42 2 1 xx y x 42 (1)0xy xy 2 x ，解得或.故 2 (1)4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y .此时. min ()32 2PA PB 21x 【解析 2】法一： 设，,0APB 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB P A B O 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 法二：换元：， 2 sin,01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 或建系：园的方程为，设， 22 1xy 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A) (B) (C) (D) 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析 1】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为,则有h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 22 max 2 212 3h . max 4 3 3 V 【解析 2】过 CD 作平面 PCD，AB平面 PCD,交 AB 于 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有 ，当直径通过 AB 与 CD 的中点时，最大， 112 22 323 ABCD Vhh 2 2 212 3 Max h 4 3 3 MAX V 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3。第卷共 l0 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式的解集是 . 2 211xx 13.0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 【解析 1】原不等式等价于解得 0x2. 22 21(1) , 10 xx x 【解析 2】 ， 2 2 22 211 2112110202 11 xx xxxxxxx x (14)已知为第三象限的角，,则 . 3 cos2 5 tan(2 ) 4 14【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 1 7 正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析 1】因为为第三象限的角,所以，又2(2(21) ,2(21) )()kkkZ 0, 所以,于是有, 3 cos2 5 2(2(21) ,2(21) )() 2 kkkZ 4 sin2 5 ,所以. sin24 tan2 cos23 tan(2 ) 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 【解析 2】为第三象限的角， ， 3 cos2 5 3 22 2 kk 在二象限，42243kk2 4 sin2 5 sin(2 )sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan(2 ) 4cos2sin27 cos(2 )coscos2sinsin2 444 1 2 x y=1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa (15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .1y 2 yxxaa 15.(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解 5) 4 法,着重考查了数形结合的数学思想. 【解析 1】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线1y ,观图可知，a 的取值必须满足解得 2 yxxa 1 , 41 1 4 a a . 5 1 4 a 【解析 2】由数型结合知： 15 11 44 aaa (16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，FCBBFCD 且，则的离心率为 .BF2FD uu ruur C 16. 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第 二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图，, 22 |BFbca 作轴于点 D1,则由，得 1 DDyBF2FD uu ruur ,所以, 1 |2 |3 OFBF DDBD 1 33 | 22 DDOFc 即,由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得,整理得.| 2|BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 【解析 2】设椭圆方程为：第一标准形式，F 分 BD 所成的比为 2， ，带入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy xO y B F 1 D D ， 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知的内角，及其对边，满足，求内角ABCVABabcotcotabaAbB C 17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边 角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用. (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为 03 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望XX 18. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分 布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、 化归与转化思想. （19） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . 【命题意图