【高考辅导资料】2011年高考数学二轮考点专题突破检测(二)：三角函数与平面向量

专题达标检测二一、选择题1点P是函数f(x)cos x(其中0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是，则函数f(x)的最小正周期是 ()A B2 C3 D4解析：函数f(x)的对称中心是，对称轴为x，kZ，即|，T4，故选D.答案：D2定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6则|ab|等于 ()A8 B8 C8或8 D6解析：ab|a|b|cos cos sin ，|ab|a|b|sin 258.答案：A3函数y2sin，x0，的增区间是 ()A. B.C. D.解析：y2sin2sin，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故函数y2sin，x0，的增区间是，故选C.答案：C4(2010全国)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin的图象()A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位解析：ysinsin，ysinsin，故应向右平移个长度单位答案：B5(2010天津)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若a2b2bc，sin C2sin B，则A ()A30 B60 C120 D150解析：sin C 2sin Bc2b，a2b2bca2b2c2bcc2b2c2a2c2bc，cos A，在ABC中，A30.答案：A6(2009浙江理)已知a是实数，则函数f(x)1asin ax的图象不可能是 ()解析：图A中函数的最大值小于2，故0a1，而其周期大于2，故A中图象可以是函数f(x)的图象，图B中，函数的最大值大于2故a应大于1，其周期小于2，故B中图象可以是函数f(x)的图象，当a0时，f(x)1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2，而图象中的周期大于2，故D中图象不可能为函数f(x)的图象答案：D二、填空题7已知函数f(x)2sin x，g(x)2sin，直线xm与f(x)，g(x)的图象分别交M、N两点，则|MN|的最大值为_解析：构造函数2sin x2cos x2sin，故最大值为2.答案：28曲线y2sincos与直线y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，则|P2P4|等于 ()A B2 C3 D4解析：y2sincos2sincos2sin21cos1sin 2x，|P2P4|恰为一个周期的长度.答案：10有下列命题：函数y4cos 2x，x不是周期函数；函数y4cos 2x的图象可由y4sin 2x的图象向右平移个单位得到；函数y4cos(2x)的图象关于点对称的一个必要不充分条件是(kZ)；函数y的最小值为24其中正确命题的序号是_解析：中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数；因为中函数y4sin 2x的图象向右平移个单位得到y4sin 2，即y4cos 2x的图象，不是y4cos 2x的图象；把点代入函数y4cos(2x)，有4cos0，则k(kZ)，所以k(kZ)，又|k(kZ)，所以正确；函数y(2sin x)4，如果它的最小值为2 4，那么(2sin x)210，而(2sin x)2的最大值为11，故不正确答案：三、解答题11(2010天津)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值解：(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin，所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x) 2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0从而cos .所以cos 2x0coscoscossinsin.12(2010福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10，此时v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0AC.且对于线段AC上任意点P，有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A、C之间(包含C)的任意位置相遇设COD(090)，则在RtCOD中，CD10tan ，OD.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30).从而，3090.由于30时，tan 取得最小值，且最小值为.于是，当30时，t取得最小值，且最小值为.解法三：(1)同解法一或解法二(2)设小艇与轮船在B处相遇依据题意得：v2t2400900t222030tcos(9030)，(v2900)t2600t4000. 若0v30，则由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0得v15.从而，t，v15，30()当t时，令x，则x0,15)，t，当且仅当x0即v15时等号成立()当t时，同理可得.若v30，则t；综合、可知，当v30时，t取最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇13向量m(sin xcos x，cos x)(0)，n(cos xsin x,2sin x)，函数f(x)mnt，若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为，且当x0，时，函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在ABC中，若f(C)1，且2sin2Bcos Bcos(AC)，求sin A的值解：(1)f(x)mmtcos2xsin2x2cos xsin xtcos 2xsin 2xt2sin(2x)t.依题意f(x)的周期T3，且0，T3.，f(x)2sint.x0，s