【高考辅导资料】高考数学第二轮热点专题复习——逻辑与推理

高考数学第二轮热点专题复习逻辑与推理考纲指要：掌握常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式，合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容。考点扫描：1常用逻辑用语：（1）命题及其关系；（2）简单的逻辑联结词；（3）全称量词与存在量词2推理与证明：（1）合情推理与演绎推理；（2）直接证明与间接证明考题先知：例1。已知p|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p是q的充分不必要条件p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集又m0不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+点评：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难例2已知函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）当时，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（II）当时，（1）求证：对任意的，的充要条件是；（2）若关于的实系数方程有两个实根，求证：且的充要条件是解：（1）当时， 在（1，1）上为单调递增函数，在（1，1）上恒成立在（1，1）上恒成立（2）设，则ABKFPQlOxy图1复习智略：例3如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.（）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（）请选择椭圆或双曲线之一类比（）写出相应的命题并证明其真假. 解：（）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该该抛物线的方程为 .（）该命题为真命题，证明如下：如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D， PQ是抛物线过焦点F的弦， |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位线， . M是以PQ为直径的圆的圆心，圆M与l相切.（注：也可利用方程及坐标证明）. （）选择椭圆类比（）所写出的命题为：“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”. 此命题为真命题，证明如下： 证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，则0e1，P、Q、M在相应准线l上的 射影分别为A、B、D，； 同理得 .|MD|是梯形APQB的中位线，.圆M与准线l相交. 检测评估：1函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )Aab=0Ba+b=0Ca=b Da2+b2=02 “a=1”是函数y=cos2axsin2ax的最小正周期为“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分条件也不是必要条件3. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，26这26个自然数(见下表)：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526现给出一个变换公式： 将明文转换成密文，如，即变成； ，即变成按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是A lhho Blove CohhlDeovl 4命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是（ ） A有些三角形不是等腰三角形 B所有三角形是等腰三角形 C所有三角形不是等腰三角形 D所有三角形是等腰三角形5、给出如下两个命题：命题A：函数为增函数。 命题B：不等式的解集为。 若命题“A或B”为真命题，而命题“A且B”为假命题，则实数的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、6。把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立：1） 如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。 2）如果两条直线同时垂直与第三条直线，则这两条直线平行。 7。 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里 8.有一个游戏：将分别写有数字1，2，3，4的四张卡片随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请4个人进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片. 结果显示：甲、乙、丙、丁4个人预测的都不正确.那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片依次为 9有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：的充要条件是；的必要条件是；的充要条件是；的充要条件是.其中真命题的序号是 10给出如下4个命题：若、是两个不重合的平面，、m是两条不重合的直线，则的一个充分而不必要条件是，m，且m；对于任意一条直线a，平面内必有无数条直线与a垂直；已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P的逆否命题是假命题；已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果ac，ad，bc，bd，则“ab”与“cd”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是_. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上) 11.角铁是一种工业用钢料(如图), 它成直二面角PQMNRS (PQMN、RSMN是全等的长方形).取MN的中点O,在QP上取点B、B1,在SR上取点A、A1,使MOB=MOA=B1ON=A1ON.为给一物体棱的转角处包上角铁,可沿OA,OA1,OB,OB1切割出OAA1,OBB1,然后将角铁绕内部折叠,将OA与OA1,OB与OB1焊合,并使MON=900.(1)设AB的中点为D, A1B1的中点为D1,证明焊接前M、D、D1、N四点共面;(2)求切割线OA与棱OM所成的角.12已知函数f(x)x4ax3bx2c，在y轴上的截距为5，在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减，又当x0，x2时取得极小值（）求函数f(x)的解析式；（）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;（）设使关于x的方程f(x)2x25恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m，使得不等式m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由点拨与全解：1解析若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(x)=(x)|x+0|+0=x|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b)=f(x)a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件故选D。2解析若a=1,则y=cos2xsin2x=cos2x,此时y的最小正周期为故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2axsin2ax=cos2ax故函数y的最小正周期为,则a=1,故a=1不是必要条件故选A。3由得，故，同理，所以选B。4解：像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题p：“存在使P（x）成立”，p为：“对任意”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故的答案为C。5解：由命题A知：；由命题B知：，而命题A与B中有且只有一个为真命题，所以选A。6。1）一个平面如和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，这结论成立；2)若两个平面同时垂直第三个平面，则这两个平面也相互平行，此结论不成立。7解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.综上，苹果在B盒内.8由丙丁可知甲手中的卡片可能是2或4，再由乙可知，甲手中的卡片只能是4；由甲乙可知丙手中的卡片可能是1或4，从而丙手中的卡片只能是1；又由甲知乙手中的卡片不可能是3，所以只能是2；于是丁手中的卡片是3。综上所述，拿到的卡片依次为4213。910 11 (1)证:过MN在平面MNPQ与平面MNRS间作平面g 使它与平面MNPQ及平面MNRS都成45o角,g与AB交于.作BCMN于C,则ACMN,从而MN平面ACB,故OCC,因此BC、AC分别是二面角gMNB、gMNA的平面角,故BC=45o=AC,这样可知为等腰直角DACB斜边AB的中点,D与重合,因此D在平面g上.同理D1也在平面g上,故M、D、D1、N四点共面. (2)解:设OA与OM成q 角,由条件可知,焊接后OD与O重合,故OD、OM、ON共面,因此COD=NOD1=45o 这样可知DC=CO.而AC=COtanq ,AC=CD,故tanq=.故q=arctan ,即切割线OA与棱OM所成的角为arctan . 12（）解：函数f(x)x4ax3bx2c，在y轴上的截距为5, c5.函数f(x)在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减,x1时取得极大值，又当x0，x2时函数f(x)取得极小值x0，x1， x2为函数f(x)的三个极值点，即f(x)0的三个根为0，1，2，f (x)4x33ax22bx4x(x1)(x2)4x312x28x.a4，b4, 函数f(x)的解析式： f(x)x44x34x25.（）解：若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为xt,则f(t +x)f(tx)对xR恒成立.即: (t +x)44(t +x)34(t +x)25(tx)44(tx)34(tx)25.化简得(t1)x3+( t23 t +2)x0对xR恒成立.t1即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x1.（）解：x44x34x252x25恰好有三个不同的根，即x44x34x22x2=0恰好有三个不同的根,即x2（x24x42）0，x0是一个根，方程x24x420应有两个非零的不相等的实数根