二倍角的正弦、余弦、正切公式的教学.doc

二倍角的正弦、余弦、正切公式的教学上海中学数学?2011年第3期二倍角的正弦,余弦,正切公式的教学324007浙江省衢州市衢江区大洲中学毛渭泉数学课堂要最大程度地调动学生的学习积极性,充分体现以学生发展为本的教学理念,需要教师精心地进行教学设计,并且对教学设计作进一步的思考,通过反复修改,不断优化教学设计来提高教学效益.笔者非常荣幸地参加了中学数学核心概念,思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践衢州市课题组工作,并负责对二倍角的正弦,余弦,正切公式这节课进行教学设计,随后两次施教,反复修改教学设计,实践后思考,思考后实践.下面从宏观和微观两个层面,紧紧围绕公式核心和思想方法核心,对二倍角的正弦,余弦,正切公式一课进行结构化设计,使学生在掌握有关概念和公式的同时,领悟其所蕴含的数学思想方法,发展学生的数学能力,提升探索,自我发现.例:求值:1)cos20.cos40.cos80.;2)sin20.sin40.sin80.:3)tan20.tan40.tan80.不难用积化和差,倍角公式等得到结果.引导观察角与20.的内在联系(寻求特殊关系).发现:60.:40.+20.,40.一6o.一20.,cos20.cos40.1cos80.:=cos20.cos(60.一20.)cos(60.+20.)o1=cos(3?20.).探索上述2)3)两题是否也有类似的结果?再进一步探索上述三题成立是否与2o.有关?让学生尝试coso.cos50.cos70.,通过实践发现,它与角度2o.无关.启发学生大胆猜想:11)cos口cos(60.一a)cos(60.+a)=cos3口;12)sinasin(60.-a)sin(60.+d)一sin3;13)tanatan(60.一)tan(60.+a)一tan3a.其证明完全与原题的解法类同,于是得到三角的第二套三倍角公式.数学大师玻利亚说数学素养.一,二倍角的正弦,余弦,正切公式教学设计的宏观思考1.本课内容的地位和作用二倍角的正弦,余弦,正切公式是在研究了三角函数的两角和与差公式的基础上,进一步研究具有二倍角关系的正弦,余弦,正切公式,它既是两角和与差公式的特殊化,又为以后三角函数的求值,化简,证明提供了非常有用的理论工具,它的推导方法也体现了三角变换只变其形,不变其质的变换实质.二倍角公式是进一步学习半角公式,和差化积,积化和差公式的理论基础,它在解三角形,向量,立体几何,解析几何等数学的其他内容中有着广泛的应用,过,没有一道题可解得十全十美,总剩下些工作要做,经过充分探讨,总结,总会有点滴发现.告诉学生本例题还可推广拓展,使课堂教学中的探索向课外延伸.3.自我反思.培养评价能力引导学生反思,在反思中看到转变思维的方向,方式,方法和策略,缩小探索的范围或者简化探索的过程,可以尽快获得发现的成功.这种成功无疑是发展学生思维,培养创新能力的一种很好的体验和进步.反思可以有:1)结果可信吗?2)计算有无错误?3)推理是否严密?4)有无遗漏?5)哪些事忘做了?6)繁简如何?7)方法上能否改进?8)能变式吗?9)能否推广?10)分别用到哪些知识?l1)运用了哪些思想?12)有哪些经验和教训?13)评价(优劣)等.数学教学的本质是思维过程,更确切地讲是展示和发展思维的过程.这一思维过程就是对数学知识和方法的形成的规律性进行理性认识的过程.数学课堂教学中的导就是要让学生成为规律和方法的探索者,发现者,从求深,求广,求异中引导学生培养创新思维方法和独立实践能力,让课堂焕发出生命的活力.上海中学数学?2011年第3期9为提高学生的推理运算能力提供了新的平台,从而使三角变换的内容更详实,思路更宽广,方法更多样.2.对教材的整体把握本节课应在函数的宏观视野里展开教学,建立起二倍角公式,两角和与两角差公式,三角函数,函数之间的本质联系,让学生在已有的知识框架下扩展出新的知识:二倍角公式的概念,推导及应用.因此这节课的教学应充分尊重教材,努力体现教材编写者的编写意图,创造性地应用教材,把二倍角公式讲深讲透,并渗透换元,从一般到特殊,转化与化归等数学思想.在不断完善学生认知结构的同时,将多维的课程目标细化,串联,深化,落实在具体的教学流程中,既要对已学知识进行整理和概括,又要为后续的知识作铺垫性渗透,提高课堂的连贯度和光滑度,使课堂具有高度的全局意识,从中折射出对整个数学教学目标的宏观视野与整体把握.二,二倍角的正弦,余弦,正切公式的微观框架设计本节课的教学流程可设计为六个环节:课题引入,概念构建,巩固探究,拓展应用,总结提炼和目标评价.这种微型结构性的教学框架是探究性的数学课堂教学需要的,有利于数学教学活动的展开,使教学设计更精致,更完美,更高效.(一)课题引入这是一节二倍角公式的推导和应用课,要引导学生跨越什么是二倍角公式?,二倍角公式怎么推导与记忆?,二倍角公式怎样应用?三大学习障碍,成功构建知识网络图.为了公式的自然生成,设计了以下两个问题:问题1前面刚学过三角函数的和角公式,差角公式,已感受到通过它们给解决问题带来的方便,下面请同学们默写这六个公式.设计意图:通过复习和角公式,差角公式,让学生明确差角公式可由和角公式经特殊化处理(以一换)而得到,为二倍角公式的推导做好知识和方法上的铺垫.师生活动:教师带领全体同学一起默写六个公式,让一位基础较差的学生板演,让学生领会从一般到特殊的推导方法.问题2讨论sin2a一2sina是否成立?cos2d一2cos口是否成立?tan2a一2tam是否成立?设计意图:提出问题,引发学生认知冲突,放手让学生质疑讨论,举出反例,产生强烈的求知欲.师生活动:让学生畅所欲言,举出一个个反例,教师及时引导点评,为揭开二倍角公式的庐山真面目设置悬念.教后思考:良好的开端是成功的一半,课堂教学也是如此.若新课导入没有上好,学生就会兴味索然,整堂课的教学效率就会大打折扣.教师一定要讲究导课的艺术,以旧弓l新,顺水推舟地把学生的思维拉进课堂,使学生产生强烈的,欲罢不能的学习欲望.(二)概念构建数学概念是数学对象本质属性的抽象概括,学好概念是学好数学至关重要的一环.教师要引导学生打破思维习惯,在比较,分析,讨论,理解,感悟中完成从具体到抽象的概念构建.问题3你能利用s,c.,t推导出sin2,cos2,tan2a的公式吗?设计意图:引导学生在和角公式的基础上,尝试以替代j9得出二倍角公式:sin2a一2sinacosa(s2),cos2a:cosasin口(c2),tan2a一(t2.),让学生深刻领会从一般到特il-di1a殊的数学思想.师生活动:让学生自行尝试,探究,讨论和交流后给出正确答案,教师给予点评.问题4能对公式cos2acosdsina作进一步的变形吗?设计意图:进一步引导学生推导出c2.的变形公式:cos2acosdsina一2cos.a一1=12sina,循循善诱,层层深入,整个推导过程如行云流水,一气呵成.师生活动:教师鼓励学生趁热打铁,一鼓作气地推导出c的变形公式.问题5如何理解二倍角公式中的倍的含义?设计意图:引导学生理解倍是描述两个数量之间关系的,并对二倍角的相对性有一定的认识,这里蕴含着换元的思想.师生活动:请学生举出实例,如2a是a的二倍,.是告的二倍,詈是孚的二倍等情况,进一厶厶步类比得出三倍角,四倍角等概念.教后思考:从学生已有的知识出发,一脉相承地设计了以上三个问题,浅入深出,循序渐进,自始至终让学生自主探究,相互讨论,合作70上海中学数学?2011年第3期交流,让学生有充足的思考时间和感悟空间,加深学生对二倍角公式的理解与记忆.(三)巩固探究问题6二倍角公式中a的取值范围分别是什么?设计意图:使学生明确s,g.中的a可以为任意角,但te中的.应为忌+詈且.譬+t,kz,注意n的限制条件.士问题7能否画一张二倍角公式与和(差)角公式的内在联系图?设计意图:引导学生画出如图1的联系图:1使学生理清二倍角公式与和(差)角公式的内在联系,加强新旧知识的对比,联系,增强学生学习的主动性和创造力,欣赏联系图的对称美,内在美.问题8如何理清二倍角公式中二倍角与二次的关系?设计意图:二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值,从而有升幂公式:1+cos2ff一2cos.,lcos2a一2sin.a.降幂公式:sinea-1-cos2a,c.szd一1+cos2a.引导学生观察公式的特征,搞清楚二倍角与二次的关系(升角降次,降角升次).教后思考:问题是数学的心脏,通过问题链13的设计,揭示数学知识问的内在联系,教师要对教材进行再加工,深挖掘,使问题的提出,数学规律的发现符合学生的心理需要和认知特点,以期学生的思维有效地展开,拓宽学生思维的宽度,广度及深度.(四)拓展应用例1(公式的正用)一(1)已知sing一号,<a<丌,求sin2a,cos2a,tan2a的值.(2)已知cos詈一一,8<d<127r,求sin詈,cos号,tan号的值.设计意图:设计以上正用型例题,加强学生对二倍角公式的记忆和理解.例2(公式的逆用)求下列各式的值:(1)sin22.30cos22.30;(2)2cos一1;62tan30.设计意图:逆用公式解题是训练学生逆向思维及灵活思维的重要手段和有效途径,也可以训练学生正难则反的思维方法.例3(公式的变用)(1)化简c号一si号.(2)在abc中,cosat-,tanb一2,求tan(2a+2b)的值.(3)求cos20.cos40.cos60.cos80.的值.设计意图:设计这些变用型例题,培养学生思维的广阔性和灵活性.教后思考:通过例1例3的分析探究,由浅入深,丝丝入扣,让学生感受公式的正用,逆用和变用,感悟学以致用.(五)总结提炼本节课采用问题式小结:1.什么是二倍角公式?它与和(差)角公式的关系是什么?怎样推导二倍角公式?2.怎样进行二倍角公式的正用,逆用,变用?3.本节课你学习了哪些数学思想方法?4.本节课对下一节课简单的三角恒等变换有何帮助和影响?设计意图:师生共同小结,揭示本节课的重点,难点,关键和数学方法,浓缩知识,概括提炼.教后思考:编筐编篓,重在收口,小结虽小,意义重大.通过课堂小结,引领学生透过现象看本质,形成新的知识结构,促进新的知识内化,完成知识由厚到薄的提炼过程.(六)目标评价布置以下检测性作业:91.(2010全国卷,文)已知sina一,则cos(z一2a)一a.一3b.一丢c.百1d.3上海中学数学?2011年第3期高效课堂,创新设计226008江苏省南通市新桥中学程薇新课程背景下的数学新授课的一般模式是,首先通过引人人胜,激发兴趣的图片影音等资料引入课题,接着是生生互动,师生互动的合作探究,然后是课堂知识的应用举例,最后是学生的巩固训练,这种模式可以概括为情境引入合作探究应用举例巩固训练四段式.人教九年级数学锐角三角函数第一节的主要内容为正弦,余弦,正切等锐角三角函数的概念,大纲规定为6课时.在设计这一节第一课时的教学时,如果按照传统的四段式进行教学,不仅课堂节奏慢,而且教学板块凌乱,很难做到有效达到高效.因此,在进行教学设计时,笔者力求突破教材的限制和四段式的束缚,作了些创新.一,研读教材.合理整合叶圣陶老先生说:教材只能作为教课的依据,要使学生受益,还要靠教师的善于运用.所谓善于运用,也就是教师要变教教材为用教材教,要用活教材.在确定本节课的教学内容时,笔者没有将正弦函数作为惟一的教学重点,而是打破了教材的原有设置,将正弦,余弦和正切这三个锐角三角函数一并新授.同时,将要求学生运用有关概念去解决简单的直角三角形中边角关系的计算作为本节课的教学重点之一.通过这样的处理,不仅科学合理地划分了教学板块,而且明晰了教学主线,突出了教学重点,强化了学习目标,缩短了教学课时,为取得课堂的高效奠定了基础.2.深入探究:(1)用sin0表示sin30;(2)用cos0表示cos30.3.(2006全国卷i,理)abc的三个内角为a,b,c,求当a为何值时c.sa+2c.s下b+c取得最大值,并求这个最大值.设计意图:引导学生运用二倍角公式进行三角恒等变换,解决各种数学问题,让学生体验新旧知识的联系.二,改变模式.环节前置新授时,基于班级学情,笔者没有采用传统的四段式进行,而是将涉及到锐角三角函数概念的一些基础知识(如正弦,余弦,正切的定义,表示方法,基本的边角计算等)通过预习案的形式在课前由学生自主预习完成.课堂教学时,首先开门见山的由学生相互阐述预习成果,提出质疑,采用兵教兵的形式进行,对预习中不能解决的问题再加以引导解决.然后围绕运用概念进行简单的直角三角形中边角关系的计算深入探究,举一反三.最后通过一组边角关系的计算题进行课堂测评.事实证明,这样的处理培养了学生自主学习的习惯,凸显了学生的主体地位,增进了师生之间的交流合作,加大了课堂教学的容量,减少了作秀环节,加快了课堂节奏,确保了课堂的高效.三,问题变式,层层深入数学课的教学设计,从本质上讲就是数学问题的设计.高质量,富有数学味的问题链不仅是数学课堂教学中引领学生思维的有力抓手,更是构建高效数学课堂的有效途径.由于课堂教学环节的整体前置,因此锐角