关于Lewy定理与Lewy反例的研究.doc

豆丁网精品论文关于lewy定理与lewy反例的研究吴小庆(西南石油大学 成都 四川610500）e-mail:wuxiaoqing_摘 要：我们证明了当 f (t ) c1 (i ) , f (t ) h ( i ) 时，存在一个关于 ( x, y, t ) 的 c1函数 u 在原点的某个实心邻域 满足方程(1)。从而lewy定理的结论“若存在一个关于( x, y, t ) 的 c1 函数 u 在原点的某个邻域满足方程 (1) ，那么 f (t ) 关于 t 在原点附近是解析 的”是不成立的。同时我们证明了hans lewy 1 对lewy方程 (9) “构造 f c ，得到在任何一个邻域 n= n ( p , q , y0 ) 中无 h 1 解”的结论也不成立。j j j 1关键词：lewy方程；解析；连续开拓引言1957 年 h.lewy 用反例试图来说明具有 c 系数也并非总是有解的甚至无广义解的例子hans lewy 给出的 lewy 例子是一个著名的反例。这个例子打破了 cauchy-kovalevskaya 定理的推论在光滑类仍然成立的希望。而且 harold jacobowitz1,2,3找到了大量的相同性质的例子。这个陈述如下：在 r c ，存在一个复值函数 f(t, z) 使得微分方程在任何一个开集上无解。lewy构造的函数 f 引用如下的结论：假设 u (t, z) 是一个 r c c 函数，且在原点的邻域内满足方程uu= iz= (t )(c)zt其中 是一个一阶导数连续的函数,那么 一定是在某一邻域内是实解析的。当 仅仅是一个光滑函数(不解析)时，方程连广义解都不存在。lewy 例子得出了方程uu= iz= f(t, z)(b)zt在 r c 上是不可解的结论。证明的方法用到了baire category 的观点，认为在某一精确意义下，几乎所有这种形式的方程都是不可解的。豆丁网精品论文lewy 方程不可解的结论是基于 lewy 定理的结论。我们仔细分析 lewy 定理及定理的证明思想：h.lewy的例子是定义在 r3 上的微分算子l = x+ i y 2i( x + iy) t定理（lewy）：设 f 是仅依赖于 t 的实值连续函数，若存在一个关于 ( x, y, t ) 的 c1 函数u 在原点的某个邻域满足方程lu = u + i u 2i( x + iy) u = f (t )(1)xyt那么 f (t ) 关于 t 在原点附近是解析的。 我们简述4关于lewy定理的证明：设u c 1 在集合( x, y, t ) | x2 + y2 2 ,| t | 0) 中满足方程 lu = f , z = x + iy, ，也可以写成极坐标形式 rei，其中 s = r 2 = x2 + y 2 , = arctan y ，定义xv (t, s) = |z|= ru( x, y, t )dz(2)应用green公式得到了如下公式：v = i u + i u ( x, y, t )dxdy z r x y = i + i ( cos , sin , t ) d dr 2u u0 0 x y 于是v = i 20 u + i u (r cos , r sin , t )rdt xy = u + i u ( x, y, t)r dzz = r xy zv + i v= f (t ) (3)ts即豆丁网精品论文再令tf (t ) = f ( )d(4)0则u (t, s) 满足：u (t, s) = v (t, s) + f (t )u + i u = 0(5)(6)ts又由u (t, 0) = f (t )(7)得到f (t ) = f (t ) (8)也是解析的。并利用上述结论，hans lewy 1 ,对方程( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = f( x, y, t )(9)构造 f( x, y, t ) c ，得到任何一个邻域 nj = n ( p j , q j , t0) 中无 h 1 解的结论。构造f ( x, y, t) = c j (t + 2q x 2 p y)(10) j j j jj =1f( x, y, t ) = f ( x, y, t ) c( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = (t + 2q j x 2 p j y)(11)j在 n 中没有 c 1 解。考虑变换：x = x p j ,其逆变换为：x = x + p j ,y = y q j ,y = y + q j ,t = t + 2q j x 2 p j yt = t 2q j x + 2 p jy即有 x = ( x ) + 2q j ( t ) ,将 (11) 式转化成 y = ( y ) 2 p j ( t ) , t = tlu ( x ) i ( y ) + 2i( x + iy ) ( t )u = (t )(12)如果 (11) 在 n j 中有 c 解，那么在将 n j 中心转化后的邻域 n j 中 (12) 有 c 解，1 1其中心为x = y = 0,t = t0 = t0 (pj )但这里表明对于 (t ) 而言，解应该在t0 处解析，这与关于 的假设是相反的。我们来讨论其结论是否成立。符号说明rm 表示m维实向量的欧几里得空间 ，h () = u | u在解析, rm 或 e m ,h * (b) = u | u (t, s)在 关于 t + is解析。实心邻域 : = ( x, y, t ) | x2 + y 2 2 , t i , i= t | t | 。去心邻域 * : * = ( x, y, t ) | 0 x2 + y2 2 , t i 。c (e n )表示e n上的无限次可微复函数全体，e n 表示n维复向量的欧几里得空间4。k 表示e n上的无限次可微且支集有界的复函数全体，k 表示 k 上的线性连续泛函全体4,l()表示上绝对可积的函数全体。d = ( x, y, t ) | ( x, y, t ) r3 , ( x, y, t ) (0, 0, t),d* = ( , , t ) | ( , , t ) e 2 r, ( , , t ) (0, 0, t )。 = (t, s) | s | 2 , | t | ,+ = (t, s) | 0 s 2 , | t | , = (t, s) | 2 s 0, | t | ,lewy方程的cauchy问题a： u + i u 2i( x + iy) u = f( x, y, t ) xuyt= g ( x, y)（13） t =0主要结果对于lewy方程的cauchy问题a，我们由算子级数法获得了其解的表达式8 。下面引入 可逆变换证明如下结论：定理1 若 f c (e 2 r)且 g ( x, y) c (e 2 ) ，则lewy方程的cauchy问题a有解 u c (d) ， 且可表为u = g ( x + t, y +t ) +1 t t t f( x +, y +, )d（14）2iz2z 2iz 02iz 2z证明 引入复变换d* d* ( , , t ) d* 6 ( , , t ) d* ) = + = +t2i( +ti )其逆变换t = t2( + i )（15） = = t = t即有t2i( + i )t2( + i )（16） = x + = y +t = t和 x = t2iz t2 zt（17） y = t = t即有2i( + i )t2( + i )（18）u( x, y, t ) = u( t , t , t) w ( , , t )（19）2i( + i ) 2( + i )其中* = ( x, y, t ) | ( x, y) r 2 , | t | i , 0 x2 + y 2 。u( x, y, 0) = u( , , 0) = w ( , , 0) = g ( , )（20）w = u (tx12i( + i ) + u (y12( + i ) + ut= (1 ) u + i u + u2i( + i ) xyt= (1 )2i( x + iy) u f( x, y, t ) + u2i( + i ) tt+= u1 f( x, y, t ) + ut2i( + i ) t=1 f( x, y, t )2i( + i )( + i = x + iy)f( x, y, t ) = f( t, t, t ) p( , , t )（21）2i( + i ) 2( + i )w =t12i( + i )p( , , t )（22）lewy方程的cauchy问题a有解等价于 w方程（22）的cauchy问题b t=12i( + i )p( , , t )（23）wt =0= g ( , )有解。易知cauchy问题b有解w c (d* ) ，且可表为w ( , , t ) =1tp( , , )d + g ( , )（24）2i( + i ) 0于是lewy方程的cauchy问题a有解 u c (d) ，且可表为u( x, y, t ) = w ( , , t ) =1tp( , , )d + g ( , )2i( + i ) 0= g ( x + t, y +t ) +1 t t t f( x +, y +, )d （25）2iz2z 2iz 02iz 2z附注1：lewy方程（9）有解u c (d) ，且可表为u = g ( x + t, y +t ) +1 t t t f( x +, y +, )d ，其中 g ( x, y) 为 c (e 2 ) 中的2iz2z 2iz 02iz 2z任意函数。即我们得到了lewy方程(9)在 c (d) 中的通解表达式。适当地选取 g ( x, y) 可以消去解 u 在 z = 0 处的奇性，而获得 c (r3 ) 中的解。推论1-1：若 f c (r),且 (s) h (e), s = x2 + y 2 , ，则lewy方程(1)的cauchy问题c lu = u + i u 2i( x + iy) u =f (t )xyt（26）u t =0= 12iz (s), s = x2 + y2 ,有解 u c (d) , 且可表为u = u1 + u2（27）其中u1 ( x, y, t ) =12iz ( x2 + y 2 it )（28）u ( x, y, t ) = 1tf (t ), f (t ) = f ( )d（29）2 2iz 0定理2：若 f (t ) h (i ),则lewy方程(1) 在原点的实心邻域 内存在解u c () c1 () ， 且可表为u = 1 f (is + t ) f (t ), s = x2 + y 22iz（30）若 f (t ) h (r),则 u c (r3 ) c1 (r3 ) 。证明 由推论1-1, 任意 h (e),lewy方程(1)的cauchy问题c有解u c (d) c1 (d),且可表为 u = u+ u ,其中:k1 2u1 ( x, y, t ) =1 ( x2 + y2 it ) =1 ak ( x2 + y 2 it )k , a= ( k ) (0)(31)2iz2iz k =0 k !u ( x, y, t ) =1 ak ( x2 + y 2 it )k + a+ a ( x2 + y 2 it )12izk0 1k !k = 2= 1 akc p ( x2 + y2 )k p (it ) p + a+ a ( x2 + y 2 it )2iz k 0 1k !k = 2 p =0= 1 akkk !c p ( x2 + y2 )k p (it ) p + a+ a ( x2 + y 2 it )2iz k 0 1k = 2 p =01 a k 1p k p p k 2 2k k 0 1=2iz k (k = 2 k !cp =0( x2 + y 2 )(it )+ (it ) + a+ a ( x + y it )1 a k 1p k p p 1 a k= k ( c( x2 + y 2 ) (it ) + k (it )2izk =1 k !p =02iz k =0 k != w( x, y, t) +1 ak (it )k(32)2iz k =0 k !k1 ak 1p k p pw( x, y, t ) = k ( c( x2 + y 2 ) (it ) (33)c p =2izk !k =1 k !p =0k p !( k p )!u = w( x, y, t ) +1 ak (it )k 1f (t )2iz k =0 k ! 2iz= w( x, y, t ) +12iz ak (it )k f (t )k =0 k !(34) f (t ) h (i), f (t ) = ak t k , t i ,令a = a ik ,即有k =0 k !ak (it )k = f (t )，t i, 且u = w( x, y, t ) c（）;k !k k kk =01 ak 1p k p pw( x, y, t) = k ( c( x2 + y 2 ) (it) 2izk =1 k !p =0= 1 ik a kk c p ( x2 + y 2 )k p (it ) p (it )k k2izk =1 k !p =0= 1 ak (i( x2 + y 2 ) + t )k t k 2izk =1 k != 1 ak (is + t )k ak t k 2izk =1 k !k =1 k != 1 f (is + t) f (t )2iz(35)推论2-1：若 f (t + is) (t, s) c 2 (+ ),lim f (t + is) = f (t ) ，+s 0lim f (t + is) = f (t), lim f (t + is) = f (t ) ，则lewy方程(1) 在原点的实心邻域 内存在s 0+s 0+解 u c1 () ， 且可表为u = 1 f (is + t ) f (t ), s = x2 + y 22iz（36）证明：lim u =z 0lim u =z 0limz 012izf (is + t ) f (t ) =0， u c()(37) u =t1 f (is + t ) f (t )2iz(38)lim u = lim zlim f (is + t ) f (t )z 0 tz 0 2i s 0 s= lim zlimf (is + t) f (t )z 0 2i s 0= 0, u c ();tu = 2xi f (is + t ) +1 f (is + t ) f (t )(39)x2iz2iz 2u = 2 yi f (is + t ) +i f (is + t ) f (t )(40)y2iz2iz 2 lim 2 xi f (is + t ) = f (t ),z 0 2izlim 1 f (is + t ) f (t )z 0 z 2= lim z lim f (is + t ) f (t )z 0 z s 0 s= limf (is + t ) f (t )s 0= 0 u c ()x同理 u c ()。又yu + i u = f (is + t )(41)xy2iz u ( u + i u ) = f (t) = f (t )(42)txy即(36)中u c1 ()且满足lewy方程(1)。定义 设 u (t, s) h * (+ ) ,若存在u * (t, s) c (), 使 u * (t, s) = u (t, s), (t, s) + ;则称u * (t, s) 为u (t, s) 的连续开拓。引理3-1：设 u (t, s) h * (+ ) ,若存在u * (t, s) h * (), 使u * (t, s) = u (t, s), (t, s) + ; 则 k u k ulim , lim , k = 1, 2, 3, 必存在。s 0+t ks 0+sk证明 若存在u * (t, s) h * () u * (t, s) c ( k u *) , k u *, k = 1, 2, 3, 必存在 k u k ut ksk lim , lim , k = 1, 2, 3, 必存在。s 0+t ks 0+sk ku引理3-2：若u (t, 0) = f (t ) ,则 lim= f ( k ) (t ), k = 1, 2, 3,s 0+t k当 f c (i), u * (t, s) h * ( ) 。引理3-3：存在 f (t ) : r 6 r的 实值连续函数,f (t ) c 2 (i) , f (t ) h (i ) ,有u (t , s),v (t , s), f (t ) 在 + = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 同时满足(1)-(7), 且 lewy方程（1）有解 u c1 () 。证明 lewy方程(1)中 令7 4f (t ) =t 3 , t 0(56)tsv + i v= f (t ), s 0(57)t3ulims= lim7 4 12 2 (t + is) 3 =28 t 3(58)s 0+t 3s 0+ 3 3 3 27由 lims 0+3ut 33u=t 3(t, 0) =28 t27 23 , 即知3ut 3(0, 0) 不存在。由引理3-2，任意u * h * () ，由u * (t, 0) = f (t ) 得不到 f (t ) 解析的结论。事实上f (t ) 不解析。引理3-4：由 u c1 () , 且 u (t , s),v (t , s), f (t ) 在+ = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 0 ；u (t , s),v (t , s), f (t ) 在 + = (t, s) | 0 s 2 ,| t | 0 。f (t + is) = exp(t + is)4 ), t + is 0, lim exp(t + is)4 ) = 0 ，t +is 0lim f (t + is) = f (t ) ，s 0u = 1 f (t + is) f (t )2iz= 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )2iz(59)lim u = lim1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 ) = 0(60)z 0z 0 2iz即有 u c ();u =t1 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 4t 5 exp(t 4 )2iz(61)limu = lim z lim4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 4t 5 exp(t 4 )z 0 tz 0 2 s 0 is= lim z lim20(t + is)6 exp(t + is)4 ) + 16(t + is)10 exp(t + is)4 )z 0 2 s 0= 20t 6 exp(t 4 ) + 16t 10 exp(t 4 )lim z = 0z 0 2(62)u c (), 又tu = 2ix 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )x2iz2iz 2(63)u = 2iy 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 1 exp(t + is)4 ) exp(t 4 )y2iz2 z 2(64)u + i u = 4(t + is)5 exp(t + is)4 )(65)xy同理可证 u c (), u c (), 则u c1 (),xy2iz u ( u + i u ) = 4t 5 exp(t 4 ) = f (t )(66)txy即lewy方程（1）有解 u c1 () 。v (t, s) = exp(t + is)4 ) exp(t 4 )(67)lim v (t, s) = 0s 0+(68)v = 4(t + is)5 exp(t + is)4 ) 4t 5 exp(t 4 )t(69)v = i 4(t + is)5 exp(t + is)4 )s(70)v + i v= 4 t 5 exp(t 4 ) = f (t)(71)tsu (t, s) = exp(t + is)4 )(72)v (t, s) = u (t, s) f (t )(73)u + i u = 0(74)tsu (t, 0+ ) = f (t )(75)u (t , s),v (t, s), f (t ) 在 + = (t, s) | 0 s 2 , | t | 同时满足(1)-(7)。定理3：lewy定理的结论“若存在一个关于 ( x, y, t ) 的 c1 函数 u 在原点的某个邻域满足lewy方程（1），那么 f (t ) 关于 t 在原点附近是解析的”是不成立的。 证明：引理3-4.引理 4-1：当 f c (r3 ) ，则 f k ， lewy 方程（9）有解 u k （广义解总是存在的）,且可表为8t i +t + +t u( x, y, t) =1 f( x , y , )e 2i ( +i ) 2( +i ) d d d d d （76）8 2iz0 r4引理4-2：当 c (e ) ，则lewy方程(11)( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = (t + 2q j x 2 p j y)存在解 u c1 (r3 ) ，且可表为u =1 (t + 2q x 2 p y + i( x + p )2 + ( y + q )2 ) (t + 2q x 2 p y)j j2i( x + p ) + i( y + q ) j j j j j j（77）证明：考虑变换：x = x + p j ,y = y + q j ,t = t + 2q j x 2 p j y,u( x, y, t ) = u( x p j , y q j , t 2q j x + 2 p j y) w ( x , y , t )将 (11) 式转化成 (12) ( x ) i ( y ) + 2i( x + iy ) ( t )w = (t )由推论2-1， lewy方程(12)存在解w c (r3 ) ， 且可表为w =1 (t + i( x 2 + y 2 ) (t )2i( x + iy )（78）lewy方程(11) 存在解 u c (r3 ) ， 且可表为u =1 (t + 2q x 2 p y + i( x + p )2 + ( y + q )2 ) (t + 2q x 2 p y)j j2i( x + p ) + i( y + q ) j j j j j j（79）易验证 当 c (r), u = (t + 2q j x 2 p j y)2i( x + p j ) + i( y + q j )是方程 (11) 在d = ( x, y, t ) | ( x, y, t ) r3 , ( x, y, t ) ( p, q, t )jjj中的 c 解：u =u =t (t + 2q j x 2 p j y)2i( x + p j ) + i( y + q j ) (t + 2q j x 2 p j y)2i( x + p j ) + i( y + q j )（80）(81)u = 2q j (t + 2q j x 2 p j y) (t + 2q j x 2 p j y)(82)j j j jx2i( x + p ) + i( y + q ) 2i( x + p ) + i( y + q )2u + i u = 2q j (t + 2q j x 2 p j y) 2ip j (t + 2q j x 2 p j y)(83)xy2i( x + p j ) + i( y + q j ) 2i( x + p j ) + i( y + q j )2iz u ( u + i u )txy2iz (t + 2q x 2 p y) 2q (t + 2q x 2 p y) 2ip (t + 2q x 2 p y)=j j j j j +j j j2i( x + p j ) + i( y + q j ) 2i( x + p j ) + i( y + q j ) 2i( x + p j ) + i( y + q j ) (t + 2q x 2 p y)=j j2i( x + p j ) + i( y + q j )(2iz 2qj + 2 p j i)(84)u = 2 p j (t + 2q j x 2 p j y) i (t + 2q j x 2 p j y)= (t + 2q x 2 p y)j j j jy2i( x + p ) + i( y + q ) 2i( x + p ) + i( y + q )2j j(85)uuu即有 2izt ( + i ) = (t + 2q x 2 p y)xyj j。即得引理 4-3：当 c (r) ，lewy 方程 (11)( / x) i( / y) + 2i( x + iy)( / t )u = (t + 2q j x 2 p j y)在 n j 中有 c解， 且可表为 (t + 2q j x 2 p j y)u =2i( x + p j ) + i( y + q j )（86）其中 n= ( x, y, t ) | ( x p)