二元矩阵有理插值函数的构造.doc

二元矩阵有理插值函数的构造第27卷第3期2011年6月大学数学coliegemathematicsvo1.27.no.3jufi.2o11二元矩阵有理插值函数的构造杜伟伟(安徽教育出版社,安徽合肥230601)摘要一般构造矩阵值有理函数的方法是利用连分式给出的,其算法的可行性不易预知,且计算量大.本文对于二元矩阵值有理插值的计算,通过引入多个参数,定义一对二元多项式:代数多项式和矩阵多项式,利用两多项式相等的充分必要条件通过求解线性方程组确定参数,并由此给出了矩阵值有理插值公式.该公式简单,具有广阔的应用前景.关键词二元矩阵值;有理插值;参数;方程组中图分类号o241.3文献标识码a文章编号16721454(2011)03011005l引言设<z<<z;.<<<,给定矩阵插值节点阵(1z,y,)及相应矩阵).(一0,1,n;j0,1,).所谓二元矩阵值有理插值,就是寻求矩阵值有理函数肌一,使之满足条件一a(,)(1)r(z,.y)=:一a(一.,1,=.,1,z),(2)其中n(x,)是矩阵多项式,d(x,)是实系数多项式,aa(z,).文献1给出了二元thiele型矩阵值有理插值的有关结果,也可以利用矩阵的行向量列展开概念,将二元向量值有理插值结果应用到矩阵值有理插值情形,给出二元矩阵值有理插值的算法.上述结果虽然很好,但不便于实际应用.,定义1若矩阵值有理插值函数r(z,)一篆等(其中n(,)一(口(z,)是一个dxdz矩阵多项式,d(x,)是代数多项式)满足a口1,i一1,d;一1,dz,且存在某个(i.,j.)(1i.,1j.d),使得3n一z,ad(1z,)一(3表示多项式次数),则称r(,)具有z,型.记()一(z一370)(x-.7c1)(z),叫()一(0)(1)(y),今叫(z)一兰一(zz.)(z一-z一)(zzit)(x-:v.)(o,1,2),(3),27.()=y-yo).(y-yj-1)(y-yj+i).(y-y.)(产o1,(4)显然叫()是次多项式,wj()是次多项式.记(,-y)一叫(-z)().收稿日期20080515第3期杜伟伟:二元矩阵有理插值函数的构造111定义2对给定的(z,y)及相应的矩阵aa(,y)(一0,1,;一0,1,).记d(x,)一(叫()(训(),n(x,)一aow(,.y).显然d(x,)是n+次二元代数多项式,n(x,)是+次矩阵多项式.记(x,y)一.通过直接验证知f1.忌一i.z,(xk,y一io,或z.2二元矩阵值有理插值公式的构造定理1对于给定的插值节点(.z,y)及相应的矩阵aa(lz,y)(i一0,1,n;一0,1,),由(5),(6)式定义的d(x,)和n(x,)构成的矩阵值有理函数一一i=oj妻=o(5)(6)(7)(8)满足插值条件,r(x,)一a(i一0,1,;一0,1,),且d(x,)是+次二元代数多项式.通过观察,容易看出这种构造方式类似于二元lagrange插值.下面通过例子给出算法的具体步骤.例l已知给定节点(xi,yj)及相应的矩阵值a(i,yj)如表1.求r(,)一等,使之满足插值条件r(x,y)一a(z,yj)(一0,1,2;一0,1).表1xo.二一il一0x21yo一0(:)/o10,(:.1:)ioo一1j,o一1o,(:)(:)yl一1lo1oj解由(3)式知0(z)一(1z一1)一z.一z,叫1()一(z+1)(一1)一z.一1,叫2()一x(x+1)一.+z.由(4)式知叫0()一y一1,wl()=y.由(5)式知d(x,)=(w.()(叫()一(3x21)(2y一1)=6xy一3x22y1,一0j一02ln(x,)一a(x,)(,)=0,=0z一+z+2z一2z一z+1-z.+1lz+xy3x一iz一2y2x.y-xy+x+y-1j直接验证知112大学数学第27卷r(z,)一:a(xl,yj)(o,1,2;一0,1).显然,由(8)式构造的二元矩阵值有理插值函数次数较高.为了降低次数,引入参数a(i一0,1,;j一0,1,),重新定义并仍记d(x,),n(x,)和(z,).d(x,)=a(z,),n(x,)一a7a)(z,y)a(x,yj),(9)()一譬,(1o)肫一=i=o=0fl,j(.下面给出降低分母多项式d(x,)次数的方法.由(9)式知d(x,)最高次项为口y(盘为常数),如果要降低1次,由多项式相等的充分必要条件,可令y项系数为零,便得方程(a为未知量)a.+a.+a.十+a加+十a一0.(12)方程(12)一定存在非平凡解.求出一个解向量,记为(a盎,0/ol,a),将它代人(11)式,便得到r(x,)一等等满足插值条件.由此便得定理2.定理2对于给定的节点(,y,)及相应的矩阵值a(x,y)(一0,1,;一0,1,),贝【l满足插值条件r(x,y)一a(z,yj)(一0,l,;一o,1,),且d(x,)的类型和次数可根据需要确定.注意,在构造二元矩阵值有理插值函数r(,)时,如果求解过程中存在i.,j.使得a.一0,则r(,>在该点(z.),)处可能不会插值了;如果a均为非零实数,则该r(x,3,)必插值所有节点.例2已知条件同例l,求(,)一篆,使之满足插值条件r(,):a(,),其中d(x,)=+1.解在例1中,如果要降低分母次数,希望d(x,)一z+一4.由分析知d(x,)一(0/o0+a01+口1o+a11+口20+口21)z+(一一o1+2o+0/21)xy-t-(一o0一a10一2o)-t-(10一a)+(0/oo-0/2o)z+0/1o,故只要a.,满足解得代入公式(9),得a0o-t-a01+a1o+口n-t-2o-t-a210,一.0一01-t-a2o十a210,一a一d1o200,一alo一口n一1,aood2o一1,a10=一4.a.一号,a.一一2,.一一4,一3,a.一_耋_,az一一1.第3期杜伟伟:二元矩阵有理插值函数的构造113d(z,)一+y一4,n,一f导cz.2一z十z,一.+丢2一丢z+4一号z一4-xzy-xy.1一z.y-xy4x.+2z一65z一4x-hxy-4yq-4j直接验证知r(xiyj)一一a(xi,yj)(o,1,2;一0,1).需要指出的是,本文只给出了降低有理函数分母多项式次数的方法.分子是矩阵多项式,如何降低其次数是值得深入研究的.例3就例1已知条件,判断分母形如d(x,)一-z+1的二元矩阵值有理插值函数是否存在.解与例2类似,考虑方程组解得代入公式(9),得n(z,)一口0o+ol+1o+a11+2o+a2l一0,一a00一口01+口2o+口2l=0,一口ood10一a200,一oll0一a】11,ao0一ol201,a1o一1.一o,一丢,a.一1,一一2,一一,一_耋i.d(x,)一z+y+1,0一1z一1xy-y+z+1号z2+_差_3z2t,3z一7x2一号zy+4一522一号z+z.+一1但是发现一o时,r(z,)不能插值其所对应的节点(z.,.),而在其他点满足插值条件.由定义1易知,由(5),(6)和(8)式定义的矩阵值有理插值函数是+,+型的,由文献1中方法构造的矩阵值有理插值函数是m+,2型(z表示不大于z的最大整数).显然,本文所构造的有理插值函数无论是分子还是分母,其次数都比文献1低得多.就例1来说一2,一1,本文构造的函数是3,3型的,文献1构造的函数是5,4型的.3结束语本文所构造的二元矩阵值有理插值函数类似二元lagrange插值函数,其构造只考虑节点,不必关心所给的矩阵值.文中构造二元矩阵有理插值方法,具有直观,简单的特点,并且还可根据需要降低分母多项式的次数.以往的二元矩阵有理插值计算大多数是从连分式人手,从而构造出二元thiele型矩阵有理插值,并且次数较高.本文在计算中都是使用简单的代数知识,便于实际应用.参考文献1zhugw,tanjq.anoteonmatrix-valueddrationalinterpolantj.computeapplmath,1999,110:129140.23schneiderc,wernew.somenewaspectsofrationalinterpolationj.mathcomput,1986,47:285299.3顾传青,陈之兵.矩阵有理插值及其误差公式j.计算数学,1995,(1):7377.4蒋尔雄.线性代数i-m.北京:人民教育出版社,1979.is王仁宏,朱功勤.有理函数逼近及其应用m.北京:科学出版社,2004.114大学数学第27卷methodofconstructing.bivariatematrix-valuedrationalinterpolationfunctionsdu肌iwei(anhuieducationpress,hefei,anhui230601,china)abstract:thewellknownalgorithmsofconstructingmatrix-valuedrationalinterpolationsusecontinuedfractions.theirapplicabilityisnoteasilyforecastandtheyneedalargeamountofcalculation.inthispaper,forcalculationofbivariatematrix-valuedrationalinterpolations,multiparametersareintroducedandgroupofpolynomialswithtwoelements,thatisanalgebraicpolynomialandmatrix-valuedpolynomials,aredefined.byusingthenecessaryandsufficientconditionsforpolynomialsidentity,linearequationsaresolv