人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义

合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作,读作“圆O”.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.注意 （1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆”指的是“圆周”，而不是“圆平面”.典例剖析例1 下列说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析 确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然已知半径,但P点不是圆心，实际上也只是已知一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，故选A答案 A错因分析导致本题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。类题突破1 以O点为圆心画圆，可以画_ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_个圆.答案 无数 无数点拨 确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧:以A.B为端点的弧记作.读作“圆弧AB”或“弧AB”，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。(3)大于半圆的弧叫做优弧(用弧上的三个点表示)，小于半圆的孤叫做劣弧(用弧上的两个点表示).典例剖析例2 判断:(正确的在括号内画“”.错误的画“)直径不是弦，弦不是直径( )解析 只有准确理解直径的定义:直径是经过圆心的弦，才能顺利地做对此题。答案 。方法指导认真分清直径和弦的区别和联系.类题突破2 下列命题是假命题的是( )A半径不是弦B.等弧所在的圆为同圆或等圆C.圆心相同的圆是同心圆D.圆上任意两点间的部分叫做弧答案 C点拨 圆心相同、半径不相等的圆，才是同心圆.C项忽略了“半径不相等”的条件，其余各选项都正确，因而选C.例3 小丽和小强为了探究中有没有最长的弦,经过大量的测量.通过对比数据，最后得出结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论正确吗?说说你的理由。解析 在中先画一条直径，再任画一条弦(不过圆心)，连接OC,OD,利用三角形两边之和大于第三边即可得他们的结论正确.答案 他们的结论正确.理由是:如下图，连接OC,OD,在0CD中，由三角形任意两边之和大于第三边可得.又因为,所以.因为CD是任意一条非直径的弦，所以直径是圆中最长的弦.方法指导作半径构造三角形，把圆中的问题转化为三角形的三边关系问题.类题突破3 如图所示，在上一点C，在直径AB上一个动点P(P不与A、B重合)，判断线段PA、PC、PB的大小关系并说明理由.答案 (1)如图(1)，当P点与O点重合时，. (2)如图(2)，当P点在OA上时,.理由;连接0C,在POC中，有 (三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边).又,(3)如图(3)，当P点在OB上时,.理由同上.点拨 分类讨论思想是本学段重要的数学思想，易忽略其中的情况，答案不全面，判断时可先量一下三条线段的大小，做到心中有数，再进行说明.探究点3 圆的对称性情景激疑将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合，由此你会得出什么结论?知识讲解圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。注意 (1)圆有无数条对称轴，直径所在的直线是它的对称轴.因为对称轴是直线,而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”.(2)圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形，并且圆还具有旋转不变性。典例剖析例4 下列说法中,不正确的是 ( )A.圆是轴对称图形B.圆的任意一条直径所在直线都是圆的对称轴C.圆的任一直径都是圆的对称轴D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴解析 因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”,所以选项C错误,故选C.答案 C类题突破4 两个同心圆的对称轴 ( )A.仅有1条 B.仅有2条 C.有无数条 D.仅有有限条答案 C点拨 圆的对称轴是经过圆心的直线。探究点4（高频考点） 垂径定理及其推论情景激疑如图，AB是的一条弦作直径CD，使，垂足为E. (1)右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2) 图中有哪些等量关系？说一说你的理由，由此，你能得出什么结论？知识讲解垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂经定理.在这里注意:条件中的“弦”可以是直径。结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.为了运用方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足:过圆心;垂直于弦，那么可推出:平分弦，平分弦所对的优，.平分弦所对的劣弧.进一步，我们还可以得到结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.注意 这里一定要注意:“弦不是直径”这一条件， 因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的。典例剖析例5 如下图，P是内一点，且 OP=3,若的半径为5,试求过点P的最短的弦长。 解析 利用垂直于弦的直径构造直角三角形，应用勾股定理来解决.答案 如图,过点 P最短的弦是过点P且垂直于OP的弦AB.连接OA.在RtAPO中,因为OP=3,0A=5,所以.又因为OPAB,所以.类题突破5 如图，一条公路的转弯处是段圆弧()，点0是所在圆的圆心，其中CD= 600 m,E为CD上一点，且OECD,垂足为F,EF= 90 m,求这段弯路的半径.答案 设弯路的半径为R m,则OF=(R- 90)m.,根据勾股定理，得,即,解得R=545. 这段弯路的半径为545 m.点拨 要求弯路的半径，只要求出OC的长便可以了，因为已知OECD,所以，OF= OE- EF,此时就得到了一个RtCFO.方法提示(1)垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。(2)本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法。这种用代教方法解决几何问题的数学思想方法一定要掌握.探究点5 因心角、弦弧之间的关系知识讲解1.顶点在圆心的角叫做圆心角。注意:(1)圆心角的顶点必须在圆心.(2)角的两边是两条半径所在的直线。2.定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等.所对的优弧和劣弧分别相等.注意 (1)定理和推论都是以“在同圆或等圆中”为前提的，否则都不成立。(2)定理和推论可总结概括为:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等，为了运用方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为:在同圆或等圆中:(1)两个圆心角;(2)两条弧;(3)两条弦;“知一推二”:即(1)(2)(3)已知其中一个条件，就可以推出其余的两个条件.典例剖析例6 如图，MN是的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P,APM=CPM.由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.解析 要说明AB=CD,只要说明它们的一半相等即可，答案 AB=CD.理由:如图，过点O作OE、OF分别垂直于AB .CD,垂足分别为点E、F.APM =CPM，DPO=BPO. OE=OF.连接OD、OB,则OB一OD.RtOFDRtOEB.DF= BE.根据垂径定理可得AB=CD.方法提示运用垂径定理、勾股定理和角平分线定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.类题突破6 如下图，例6中的交点 P在的外部，上述结论是否成立?若成立，加以证明;若不成立，请说明理由.答案 如图，过点O作OEAB，OFCD，垂足分别为点E、F.APM=CPM且OP=OP，PEO=PFO=90.RtOPERtOPF.OE=OF.连接OA、OB、OC、OD.易证，.,即.点拨 在圆中最常用的辅助线有：连接半径；作弦的垂线段.重点难点重难点1 垂径定理的应用(1)在记忆垂径定理及其推论时，只要记住:对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么其他三个也成立:垂直于弦;过圆心;平分弦:平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧，也可以理解为“知二推三”。 (2)垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等，角相等、垂直关系等的重要依据，应结合图形深刻理解、熟练掌握并灵活运用.(3)应用时，要注意以下三点，一是对于重径定理的推论“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”，一定要强调“弦不是直径”这个条件(因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的)；二是定理中的“直径”是指经过圆心的弦，但在实际应用时可以不是直径，如半径，弦心距、过圆心的直线；三是在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化为半径、弦长的一半、弦心距三者组成的直角三角形。例1 如图(1)所示,AB是的一条弦(不是直径)，点C、D是直线AB上的两点，且AC= BD.(1)判断0CD的形状,说明理由；(2)当图(2)中的点C与点D在线段AB上时(即C、D在A、B两点之间).(1)题的结论还存在吗?解析 由图及已知条件AC=BD,我们很容易猜想出OCD是等腰三角形，说明OCD是等腰三角形的方法有两种，一种是连接OA、OB构造三角形全等;另一种方法可以通过作OMAB,根据垂径定理可推知OM所在的直线为CD的垂直平分线.答案 (1)OCD 是等腰三角形.如图(1)所示，过点O作OMAB,垂足为M,则有MA= MB.又AC= BD,AC+MA=BD+ MB,即CM= DM.又OMCD,即OM是CD的垂直平分线，0C= OD.OCD为等腰三角形.(2)当点C、D在线段AB上时，如图(2)所示，同(1)题作OMAB,垂足为M,由垂径定理,得AM- BM,又AC= BD, CM= AM-AC=BM-BD-=MD.OC= OD,OCD为等腰三角形.点拨 此题为结论探究题，在条件不变的情况下，虽然圆形发生了改变，多数情况下结论仍然成立，其证明方法也基本与原来相似.类题突破1 某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换-段新管道。如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?解析 本题相当于知道了弦长是60 cm.拱形高为10 cm，求该圆的半径，可通过作垂直于弦的半径将已知和未知转化到一个直角三角形中就容易解决了。答案 如上图所示，连接OA,过O作OE AB.垂足为E.交圆于F,则AE=AB-=30cm. EF= 10 cm.设的半径为R cm,则OA=R cm. OE=OF- EF=(R-10)cm.在RtAEO中,，即.解得R= 50.因此，修理人员应准备内径为100 cm的管道.方法指导 (1) 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。(2)本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学思想方法一定要掌握。重难点2 弧、弦、圆心角关系的应用 (1)同一-条弦对应两条弧.其中一条是优弧，一条是劣弧.而在本定理和推论中的“弧”是指同为优强或劣弧. (2)正确理解和使用圈心角、弧、弦三者关系三者关系可理解为:在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即:围绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.(3)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分。如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等“在等圆中，相等的弧所对的弦相等”等.例2 如图，已知A0B-90,D.C将三等分、弦 AB与半径OD、0C交于点F、 E,求证:AE=DC=BF. 解析 AE=DC=BF中的DC是圆心角COD所对的弦，而D、C是的三等分点，所以由弧、弦、圆心角之间的关系可知AC=DC=DB，由此知需证AC=AE,BD=BF，而证明等腰三角形，首先考虑“等角对等边”，所以证明ACO=AEC，BDF=BFD即可. 答案 如图、连接AC、BD.OA=OB.A0B-90，2=3-=45.又C、D是的三等分点,AOC=COD=DOB=30.AC=CD=DB,.OA=OC,又,.AE=AC，同理可证:BDBF.AE=DC=BF. 类题突破2 如图，在中，,求证：CD=CE.答案 ,在COD与COE中，CD=CE.点拨 根据，得出AOC=BOC，再由可得OD=OE，根据SAS定理得出，由此可得出结论.易错指导易错点1 不能正确理解弦、弧、圆心角之间的关系例1 如图所示，在中，弦ABCD,OMAB,ONCD,垂足分别为M.N,那么OM与ON的大小关系为 ( )A.OMON B.OM=ON C.OMON D.无法确定错解 A错因分析 产生错误的原因是没有正确理解弦心距与弦之间的关系，在同圆或等圆中，弦越长，所对