人教版九年级数学下第四讲相似三角形的性质与判定复习导学案

第四讲 相似三角形的性质与判定一、知识精讲1.比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：、或（4）合比性质：（5）分比性质： （6）合分比性质：（7）等比性质：（其中为正整数，） ，当时2.成比例线段及相关概念概 念1两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比2成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，叫做成比例线段，记作或3比例中项：若，则称是，的比例中项4黄金分割点：如图，点把线段分成两条线段和（），若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即 注意：线段的黄金分割点有两个 3.平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图1，所示，如果，则，推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例如图2，所示，若，则有，如图3，若，则有图图 图4.相似图形的相关知识定 义示例剖析相似图形：形状相同的图形叫做相似图形两个正方形是相似图形相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形放大后的图形和放大前的图形是相似多边形相似三角形： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比；（需要证明） 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方若，则（为相似比），3.相似三角形的判定相似三角形的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似.由得到 任何两个等边三角形都相似; 任何顶角相等的两个等腰三角形都相似; 三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似; 一个锐角相等的两个直角三角形相似二、典例解析题型一：线段成比例【例1】 若，则（ ） A B C D 已知，则下列等式中不成立的是（ ）A BC(且) D 已知，则 在比例尺为12019的地图上测得AB两地间的图上距离为5，则AB两地间的实际距离为 m 已知b是a、c的比例中项，且，则 _.【解析】 D D ， 100；.【例2】 在中，交于，交于，下列不能成立的比例式是（ ）A B C D 如图，已知，则若，则 cm，若的周长为16cm，则的周长为 如图，中有菱形，如果，则的值为 如图，已知，现得到下列结论：其中正确比例式的个数有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】 D； ；4；24； ； B.题型二：相似的相关计算【例3】 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A B C D 如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，在AB上取一点F，使，则BF的长是（ ）A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8如图，点D、E分别在AB、AC上，且ABC=AED若DE=4，AE=5，BC=8；则AB的长为 【解析】 D. C. D. 10题型三：相似三角形的判定【例4】 如图，点D在ABC的边AC上，要判断ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）AABD=C BADB=ABCC D 给出以下条件：的两个角分别是和，的两个角分别是和.的两边长分别为和，夹角为，的两边长分别为和，夹角为.的边长分别是、，的边长分别是、.中，中，.其中能判定和相似的条件有（ ）A1个 B2个 C3个 D4 个【解析】 或或（答案不唯一）； D.【例5】 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：，其中中，与三角形相似的是（ ）ABCD 如图，在已建立直角坐标系的44正方形方格纸中，是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是 ，则 【解析】 B；、. 【例6】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E为底AD上一点，将ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F(1) 求证：ABGBFE；(2) 设，当四边形EFCD为平行四边形时，求BC的长度 【解析】 (1) 证明：ADBC；AEB=EBF；由折叠知EABEGB，AEB=BEG，EBF=BEF；FE=FB，FEB为等腰三角形；ABG+GBF=90，GBF+EFB=90；ABG=EFB；在等腰ABG和FEB中，BAG=FBE；ABGBFE；(2) 四边形EFCD为平行四边形， EFDC；由折叠知，DAB=EGB=90，DAB=BDC=90；又ADBC，ADB=DBC；ABDDCB；AD=4，AB=3，BD=5；即BC=.【练1】如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC、CD于点M、F，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H(1) 求证：ABEECF；(2) 找出与ABH相似的三角形，并证明；(3) 若E是BC中点，求EM的长【解析】(1) 证明：四边形ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90AEB+BEA=90，BAE=CEF，ABEECF(2) ABHECM证明：BGAC，ABG+BAG=90，ABH=ECM，由(1)知，BAH=CEM，ABHECM(3) 解：作MRBC，垂足为R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，MER=45，CR=2MR，【练2】 如图，直角梯形中，点在上，点在上，求证：当，点、分别是、的中点时，求直角梯形的面积【解析】 在梯形中，又是的中点，是的中点 直角梯形的面积.【练2】 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整(1) 如图1，在ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若，求的值(2) 拓展迁移：如图2，梯形ABCD中，DC/AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F若，则的值是_(用含a，b的代数式表示) 【解析】 (1)作EHAB交BG于点H，则AB=CD，EHABCD，CG=2EH(2) ，过点E作EHAB交BD的延长线于点H【练3】 如图所示，是的中线，点在上，是的延长线与的交点 如果是的中点，求证：； 由知，当是的中点时，成立，若是上任意一点（如图所示，与、不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由 如图所示，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，求的值 【解析】 过点、作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题如图所示，过点作的平行线，交于点由可得，由可得，则；结论依然成立，解法同上 如图所示，过点作的平行线交于点因为，则而，故又因为，则.三、课堂检测1.如图，在中，延长到，在上取，连结与交于，求证：【解析】 过作交于在中，有， ，在中，由得2.如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形面积是（ ）A B C D【解析】 C3.如图，、是的边、上的点，且， 求证：.4.梯形中，、分别为AB与BC中点求证： ； ，求的长【解析】 为的中点，且又四边形是平行四边形又 由知由5.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）D【解析】 B四、课后练习1.已知：，则= ；= .2.如图，平行四边形中，E是AB延长线上一点，连接DE，交BC于F，交于，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）对. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【解析】 B.3.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且 求证： 若，求的长【解析】 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形又 在中，5、 第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：已知线段AB，在直线AB上有一点C，若AC与BC之间具有特殊的比例关系，则将点A、B、C称为线段AB的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点；过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；基本相似模型为“A字型”和“8字型”.【探究1】如图，一条直线与ABC的边AB、AC及BC的延长线交于D、E、F三点.若，试说明：D是AB的中点.【分析】结论AD=BD，我们可视A、B、D为线段AB的三个不同的分点；条件，我们可视A、E、C为线段AC的三个不同的分点.两者结合可得：A为公共分点，过A作BF的平行线交FD的延长线于点G.图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；类似地：过点A作DF的平行线交BF的延长线于点H，我们可以得到两个“A字型”的基本构图，如下图所示；【探究2】已知：如图，在ABC中，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F.求.【分析】由可知：A、D、B为线段AB的三个分点；由CE=DE可知：C、D、E为线段CD的三个分点；由可知：B、C、F为线段BC的三个分点，故此共有三个公共分点：点D、点B、点C