例题与探究（5.2.1复数的加法与减法）

高手支招3综合探究 复平面上的轨迹问题. 求复平面上的轨迹问题通常有两种途径:一是设z=x+yi(x,yR）,依据条件转化为关于x与y的方程,从而得出所求轨迹.在平时,我们常见的用复数表示的基本轨迹方程如下(设动点Z、定点Z1、Z2所对应的复数分别为z、z1、z2,r、r1、r2、a0,Z0为定点,对应复数为z0).(1)复平面上两点Z1、Z2的距离公式:d=|z1-z2|;(2)方程|z-z0|=r表示:是以点Z0为圆心,以r为半径的圆;(3)式子|z-z0|r表示:是以点Z0为圆心,以r为半径的圆的内部;(4)式子r1|z-z0|r2表示:是以点Z0为圆心,以r1为半径的圆和以点Z0为圆心,以r2为半径的圆之间的部分,不含边界;(5)方程|z-z1|+|z-z2|=2a表示:当Z1Z22a时,点Z无轨迹.(6)方程|z-z1|-|z-z2|=2a表示:以定点Z1、Z2为焦点,以2a为实轴长的双曲线;(7)方程|z-z1|=|z-z2|表示:线段Z1Z2的中垂线.二是结合“基本轨迹方程”,充分考虑复数的整体性,运用条件及有关性质(如模、共轭复数的性质等),探求轨迹上的点所对应的复数z具有的特征及满足的方程(解析几何代入法是求轨迹的常用思想方法).高手支招4典例精析【例1】 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z1z2=i,求z1、z2的值.思路分析:根据两复数的关系z1z2=i来设复数z1、z2可以减少未知数的个数,从而使式子简化便于求解.解:由z1z2=i是纯虚数,且|z1|=|z2|=1,可设z1=abi,z2=-abi(a,bR).且a2b21,于是由(abi)(-abi)=i.可得b=,a=.z1=i,z2=i,或z1=i,z2=i.【例2】 解方程3+z=5+4i.思路分析:设z=x+yi(x,yR),由复数相等将问题转化为实数方程问题,或由减法定义,转化为求两数的差.解:设z=x+yi(x,yR),则将方程变形为3+x+yi=5+4i,则有:z=2+4i.【例3】 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点分别是一个正方形的三个顶点A、B、C,如右图.求这个正方形ABCD的第四个顶点D对应的复数.思路分析:利用=或者,求点D对应的复数.也可利用正方形的性质,对角线相等且互相平分,相对顶点连线段的中点重合,即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解.解法1:设正方形的第四个顶点D对应的复数为z=x+yi(x,yR),则=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i,=,(x-1)+(y-2)i=1-3i,即故点D对应的复数为2-i.语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。解法2:设正方形的第四个顶点D对应的复数为z=x+yi(x,yR),点A与点C关于原点对称,原点O为正方形的中心.点O也是B与D点的中点,于是由(-2+i)+(x+yi)=0,x=2,y=-1,点D对应的复数为2-i.高手支招5思考发现与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。1.在解决复数的问题时,如果能用上复数的几何表示,结合几何图形来分析,经常能使过程简化,是数形结合的体现.2.由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应复数时,通常由其对应关系,列出方程(组)或不等式(组)来解决.3.复平面内两点间距离公式的复数表示式,由复数减法的几何意义,可得复平面同两点间距离公式:d=|z1-z2|.我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。其中z1,z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数,d表示Z1和Z2之间的距