2010年高考数学全国卷Ⅱ文科全解析.doc

1 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。 考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上 填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置 贴好条形码。 2 每小题选出答案后，用 2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。 第第卷卷 （选择题（选择题 共共 5050 分）分） 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在，每小题给出的四个选项中， 参考公式： 如果事件 a、b 互斥，那么 球的表面积公式 p（a+b）=p(a)+p(b) s=4r2 如果事件 a、b 相互独立，那么 p（a-b）=p(a)-p(b) 一、选择题 （a） （b） （c） （d） 1,4 1,52,42,5 【 【解析解析】 】 c ：本：本题题考考查查了集合的基本运算了集合的基本运算. 属于基属于基础础知知识识、基本运算的考、基本运算的考查查. a=1,3。 。b=3,5， ， ， ， 故故选选 c .1,3,5ab ()2,4 u cab （2）不等式0 的解集为 3 2 x x （a） （b） （c） （d）23xx 2x x 23x xx 或 3x x 【 【解析解析】 】a ：本：本题题考考查查了不等式的解法了不等式的解法 ， ， ，故，故选选 a 3 0 2 x x 23x 2 （3）已知，则 2 sin 3 cos(2 )x （a）（b）（c）（d） 5 3 1 9 1 9 5 3 【 【解析解析】 】b：本：本题题考考查查了二倍角公式及了二倍角公式及诱导诱导公式，公式， sina=2/3， ， 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 （4）函数 y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是 （a）y=-1(x0) (b) y=+1(x0) 1x e 1x e (c) y=-1(x r) (d）y=+1 (x r) 1x e 1x e 【 【解析解析】 】d：本：本题题考考查查了函数的反函数及指数了函数的反函数及指数对对数的互化，数的互化， 函数函数 y=1+ln（ （x-1） ）(x1)， ， 11 ln(1)1,1,1 yx xyxeye (5)若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 1 325 x yx xy （a）1 (b)2 (c)3 (d)4 【 【解析解析】 】c：本：本题题考考查查了了线线性性规规划的知划的知识识。 。 作出可行域，作出目作出可行域，作出目标标函数函数线线，可得直，可得直线线与与 与与的交点的交点为为最最优优解点，解点， yx325xy 即即为为（ （1， ，1），当），当时时 1,1xy max 3z (6)如果等差数列中，+=12，那么+= n a 3 a 4 a 5 a 1 a 2 a 7 a （a）14 (b) 21 (c) 28 (d) 35 【 【解析解析】 】c：本：本题题考考查查了数列的基了数列的基础础知知识识。 。 ， ， 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa （7）若曲线在点处的切线方程是，则 2 yxaxb(0, )b10xy （a） (b) 1,1ab1,1ab (c) (d) 1,1ab 1,1ab 【 【解析解析】 】a：本：本题题考考查查了了导导数的几何意思即求曲数的几何意思即求曲线线上一点上一点处处的切的切线线方程方程 ， ， ， ，在切在切线线， ， 0 2 x yxaa 1a (0, )b10xy 1b （8）已知三棱锥中，底面为边长等于 2 的等边三角形，垂直于底面sabcabcsa 3 ，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为abcsaabsbc （a） (b) 3 4 5 4 (c) (d) 7 4 3 4 【 【解析解析】 】d：本：本题题考考查查了立体几何的了立体几何的线线与面、面与面位置关系及直与面、面与面位置关系及直线线与平面所成角。与平面所成角。 过过 a 作作 ae 垂直于垂直于 bc 交交 bc 于于 e， ，连结连结 se， ，过过 a 作作 af 垂直于垂直于 se 交交 se 于于 f， ，连连 bf， ， 正三角形正三角形 abc， ， e 为为 bc 中点，中点， bc ae， ，sa bc， ， bc 面面 sae， ， bc af， ，af se， ， af 面面 sbc， ，abf 为为直直线线 ab 与面与面 sbc 所成角，由正三角形所成角，由正三角形边长边长 3， ， ， ，as=3， ， se=， ，af=， ， 3ae 2 3 3 2 3 sin 4 abf （9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张， 其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （a） 12 种 (b) 18 种 (c) 36 种 (d) 54 种 【 【解析解析】 】b：本：本题题考考查查了排列了排列组组合的知合的知识识 先从先从 3 个信封中个信封中选选一个放一个放 1， ，2 有有 3 种不同的种不同的选选法，再从剩下的法，再从剩下的 4 个数中个数中选选两个放一个信封两个放一个信封 有有，余下放入最后一个信封，余下放入最后一个信封， 共有共有 2 4 6c 2 4 318c （10）abc 中，点 d 在边 ab 上，cd 平分acb，若= a , = b , = 1 ，cb ca a = 2, 则=bcd （a）a + b （b）a +b （c）a +b （d）a +b 1 3 2 3 2 3 1 3 3 5 4 5 4 5 3 5 【 【解析解析】 】b：本：本题题考考查查了平面向量的基了平面向量的基础础知知识识 cd 为为角平分角平分线线， ， ， ， ， ， 1 2 bdbc adac abcbcaab ， ， 222 333 adabab 2221 3333 cdcaadbabab （11）与正方体 abcda1b1c1d1的三条棱 ab、cc1、a1d1所在直线的距离相等的点 （a）有且只有 1 个 （b）有且只有 2 个 （c）有且只有 3 个 （d）有无数个 【 【解析解析】 】d：本：本题题考考查查了空了空间间想象能力想象能力 到三条两垂直的直到三条两垂直的直线线距离相等的点在以三条直距离相等的点在以三条直线为轴线为轴，以正方体，以正方体边长为边长为半径的半径的圆圆柱面上，柱面上， 三个三个圆圆柱面有无数个交点，柱面有无数个交点， a b c s e f 4 （12）已知椭圆 c：（ab0）的离心率为，过右焦点 f 且斜率为 22 22 1 xy ab 3 2 k（k0）的直线于 c 相交于 a、b 两点，若。则 k =3affb （a）1 （b） （c） （d）223 【 【解析解析】 】b： ：， ， ， ， ， ， ， ，设设， ， 1122 ( ,), (,)a x yb xy 3affb 12 3yy 3 2 e 2 ,3at ct ， ， ，直，直线线 ab 方程方程为为。代入消去。代入消去， ， bt 222 440xyt3xsyt x ， ， ， ， 222 (4)2 30systyt 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ，解得，解得， ， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k （13）已知 是第二象限的角,tan=1/2，则 cos=_ 【 【解析解析】 】 ：本：本题题考考查查了同角三角函数的基了同角三角函数的基础础知知识识 2 5 5 ， ， 1 tan 2 2 5 cos 5 (14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_ 【 【解析解析】 】84：本：本题题考考查查了二了二项项展开式定理的基展开式定理的基础础知知识识 ， ， ， ， 9 19 1 ( ) rrr r tc x x 923,3rr 3 9 84c (15)已知抛物线 c：y2=2px（p0）的准线 l，过 m（1,0）且斜率为的直线与 l 相交 于 a，与 c 的一个交点为 b，若，则 p=_ 【 【解析解析】 】2：本：本题题考考查查了抛物了抛物线线的几何性的几何性质质 设设直直线线 ab： ：，代入，代入得得，又，又 33yx 2 2ypx 2 3( 62 )30xp x ， ， ，解得，解得，解得，解得（舍去）（舍去） ammb 1 2 2 xp 2 4120pp2,6pp （16）已知球的半径为 4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共omnabmn 弦，若，则两圆圆心的距离 。4ab 3omonmn 【 【解析解析】 】3：本：本题题考考查查球、直球、直线线与与圆圆的基的基础础知知识识 5 on=3，球半径，球半径为为 4， ， 小小圆圆 n 的半径的半径为为， ， 小小圆圆 n 中弦中弦 7 长长 ab=4，作，作 ne 垂直于垂直于 ab， ， ne=，同理可得，同理可得 3 ，在直角三角形，在直角三角形 one 中，中， ne=， ，on=3， ， ， ， ， ， 3me 3 6 eon 3 mon mn=3 三、解答题；本大题共三、解答题；本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 10 分） 中，为边上的一点，求abcadbc33bd 5 sin 13 b 3 cos 5 adc 。ad 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础础知知识识。 。 由由与与的差求出的差求出，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角的正弦，在三角 adcbbadbad 形形 abd 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 ad。 。 （18） （本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等比数列，且 n a ， 12 12 11 2()aa aa 345 345 111 64()aaa aaa （）求的通项公式； n a （）设，求数列的前项和。 2 1 () nn n ba a n bn n t 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了数列通了数列通项项、前、前项项和及方程与方程和及方程与方程组组的基的基础础知知识识。 。 n （ （1） ）设设出公比根据条件列出关于出公比根据条件列出关于与与的方程求得的方程求得与与，可求得数列的通，可求得数列的通项项公式。公式。 1 a d1 a d （ （2）由（）由（1）中求得数列通）中求得数列通项项公式，可求出公式，可求出 bn 的通的通项项公式，由其通公式，由其通项项公式化可知其和可分成两公式化可知其和可分成两 o m n e a b 6 个等比数列分个等比数列分别别求和即可求得。求和即可求得。 （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 abc-a b c 中，ac=bc， aa =ab，d 为 bb 的中点，e 为 ab 11111 上的一点，ae=3 eb 11 （）证明：de 为异面直线 ab 与 cd 的公垂线； 1 （）设异面直线 ab 与 cd 的夹角为 45,求二面角 a -ac -b 的大小 1111 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了立体几何中直了立体几何中直线线与平面、平面与平面及异面直与平面、平面与平面及异面直线线所成角与二面角的基所成角与二面角的基础础 知知识识。 。 （ （1）要）要证证明明 de 为为 ab1 与与 cd 的公垂的公垂线线，即，即证证明明 de 与它与它们们都垂直，由都垂直，由 ae=3eb1，有，有 de 与与 ba1 平行，由平行，由 a1abb1 为为正方形，可正方形，可证证得，得，证证明明 cd 与与 de 垂直，取垂直，取 ab 中点中点 f。 。连结连结 df、 、fc， ，证证明明 de 与平面与平面 cfd 垂直即可垂直即可证证明明 de 与与 cd 垂直。垂直。 （ （2）由条件将异面直）由条件将异面直线线 ab1， ，cd 所成角找出即所成角找出即为为fdc， ，设设出出 ab 连长连长，求出所有能求出的，求出所有能求出的 边长边长，再作出二面角的平面角，根据所求的，再作出二面角的平面角，根据所求的边长边长可通可通过过解三角形求得。解三角形求得。 （20） （本小题满分 12 分） 如图，由 m 到 n 的电路中有 4 个元件，分别标为 t ，t ，t ，t ，电源能通过 1234 t ，t ，t 的概率都是 p，电源能通过 t 的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。 1234 已知 t ，t ，t 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。 123 （）求 p； 7 （）求电流能在 m 与 n 之间通过的概率。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了概率中的互斥事件、了概率中的互斥事件、对对立事件及独立事件的概率，立事件及独立事件的概率， （ （1） ）设设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 t1， ，t2， ，t3 至少有一个能通至少有一个能通过电过电流流 用基本事件表示并求出概率即可求得用基本事件表示并求出概率即可求得 p。 。 （ （2）将）将 mn 之之间间能通能通过电过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=x -3ax +3x+1。 32 （）设 a=2，求 f（x）的单调期间； （）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了了导导数在函数性数在函数性质质中的中的应应用，主要考用，主要考查查了用了用导导数研究函数的数研究函数的单调单调区区间间、极、极值值 及函数与方程的知及函数与方程的知识识。 。 （ （1）求出函数的）求出函数的导导数，由数，由导导数大于数大于 0，可求得增区，可求得增区间间，由，由导导数小于数小于 0，可求得减区，可求得减区间间。 。 （ （2）求出函数的）求出函数的导导数数，在（，在（2， ，3）内有极）内有极值值，即，即为为在（在（2， ，3）内有一个零点，即可根据）内有一个零点，即可根据 ( )fx( )fx ，即可求出，即可求出 a 的取的取值值范范围围。 。 (2)(3)0ff （22） （本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 c：相交于 b、d 两点，且 bd 22 22 1(0,0) xy ab ab 的中点为 m（1.3） （） （）求 c 的离心率； （） （）设 c 的右顶点为 a，右焦点为 f，|df|bf|=17 证明：过 a、b、d 三点的圆 与 x 轴相切。 8 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了了圆锥圆锥曲曲线线、直、直线线与与圆圆的知的知识识，考，考查查学生运用所学知学生运用所学知识识解决解决问题问题的能力。的能力。 （ （1）由直）由直线过线过点（点（1， ，3）及斜率可得直）及斜率可得直线线方程，直方程，直线线与双曲与双曲线线交于交于 bd 两点的中点两点的中点为为（ （1， ，3），可），可 利用直利用直线线与双曲与双曲线线消元后根据中点坐消元后根据中点坐标标公式找出公式找出 a,b 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （ （2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|fa|fb|=17，用含，用含 a 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 a， ，则则 a 点坐点坐标标可得可得 （ （1， ，0），由于），由于 a 在在 x 轴轴上所以，只要上所以，只要证证明明 2am=bd 即即证证得。得。 2010 年高考湖南卷理科数学全解全析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 9 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合，则1,2,3m 2,3,4n a b mnnm c d2,3mn 1,4mn 【答案】c 【解析】故选 c. 1,2,32,3,42,3mn 【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题.来源:学#科#网 2下列命题中的假命题是 a， b，rx 1 20 x nx 10x 2 c， d，rx lg x1rx tan2x 【答案】b 【解析】对于 b 选项 x1 时，故选 b.10x 2 = 10 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。 7.在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为 a10 b.11 c.12 d.15 【答案】b 【解析】与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 2 4 c6（个） 11 【命题意图】本题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合 的能力，属中档题。 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分把答案填在答题卡对应题号后的横 线上。 9.已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210 g 之间，若用 0.618 法安排试验，则第一次试 点的加入量可以是_g. 【答案】171.8 或 148.2 【解析 】根据 0.618 法，第一次试点加入量为 110（210110）0.618171.8 或 210（210110）0.618148.2 【命题意图】本题考察优选法的 0.618 法，属容易题。 p t o a b 图 1 12 10.如图 1 所示，过外一点 p 作一条直线与交于 a，b 两点，已知 pa2，点 p 到oaoa 的切线长 pt 4，则弦 ab 的长为_.oa 【答案】6 【解析】根据切线长 定理 2 2 16 ,8 2 pt ptpa pb pb pa a 所以826abpbpa 【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。 11.在区间上随机取一个数 x，则1 的概率为_. 1,2|x 【答案】 2 3 【解析】p（1）|x 1 ( 1)2 2( 1)3 【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。 13 【解析】抛物线的焦点坐标为 f（0，） ，则过焦点斜率为 1 的直线方程为， 2 p 2 p yx 设 a（） ，由题意可知 1122 ( ,), (,)x yb xy 21 xx 12 0,0yy 由，消去 y 得， 2 2 2 p yx xpy 22 220xpxp 由韦达定理得， 2 1212 2 ,xxp x xp 所以梯形 abcd 的面积为： 12211221 222 1212 2 11 ()()()() 22 11 3()4344 22 3 2 syyxxxxp xx pxxx xppp p aa 所以 2 3 212 2,0,2ppp又所以 【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考察 考生的运算能力,属中档题 15若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样 n ann m m an 的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，m() n a () n a n a1,2,3 , n ， 则数列是已知对任意的，则 () n a 0,1,2,1,n ，nn 2 n an 5 ()a 14 ， () ) n a 【答案】2， 2 n 【解析】因为，而，所以 m=1,2,所以2.5 m a 2 n an 5 ()a 1 234 56789 10111213141516 ()0, ()1,()1,()1, ()2,()2,()2,()2,()2, ()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3, a aaa aaaaa aaaaaaa 因为 所以1, 4，9，16， 1 () )a 2 () )a 3 () )a 4 () )a 猜想 2 () ) n an 【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力， 属难题。 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 0312 33 (0)0.90,729, (1)0.1 0.90,243p xcp xc 2233 33 (2)0.10.90,027, (3)0.10,001p xcp xc 故随机变量 x 的分布列为 x0123 p0.7290.2430.0270.001 x 的数学期望为 ex30.30.1 【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。 属中档题 18 （本小题满分 12 分） 如图 5 所示，在正方体 abcda1b1c1d1中，e 是棱 dd1的中点。 （）求直线 be 与平面 abb1a1所成的角的正弦值； ()在棱 c1d1上是否存在一点 f，使 b1f/平面 a1be？证明你的结论。 【解析】 a d b c a1 d1 b1 c1 e 图 5 16 所以，取n. 1 , 2 xz yz2,z 得(2,1,2) 设 f 是棱 c1d1上的点，则 f（t,1,1）(0t1)，又 b1（1，0，1） ，所以 111 (1,1,0),a beb ftb f 而平面，于是 n 111 b f/ /a beb f a 平面0(1,1,0) (2,1,2)02(1) 10tt a 这说明在在棱 c1d1上是否存在一点 f（） ， 11 1 c d 2 tf 为的中点。 11 c d的中点 使 b1f/平面 a1be 解法 2 如图（a）所示，取 aa1的中点 m，连结 em，bm，因为 e 是 dd1的中点，四边 形 add1a1为正方形，所以 em/ad。 又在正方体 abcda1b1c1d1中。ad平面 abb1a1，所以 emabb1a1，从而 bm 为 直线 be 在平面 abb1a1上的射影，ebm 直线 be 与平面 abb1a1所成的角. 设正方体的棱长为 2，则 emad2，be，于是 212 2213 在 rtbem 中， 2 sin 3 em ebm be 17 19 （本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 a，b 两点各建一个考察基 地视冰川面为平面形，以过 a，b 两点的直线为 x 轴，线段 ab 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系（图 6） 在直线的右侧，考察范围为到点 b的距离不超过km2x 6 5 5 的区