2011年北京高考数学：解析几何(理,学生)上.doc

1 解答解答 5 解析几何解析几何(5+5+13 分分) 数学秘籍 解析几何通法：一设，二联立，三判别，四韦达 1. 化简的“救命稻草”点在曲线上，把点代入圆锥曲线方程上 2. 直线与曲线相交联立方程组，利用韦达定理的根与系数关系 例.联立方程组22 (1) 1 43 yk x xy ，消去y得 2222 (34)84120kxk xk 设 1122 ( ,), (,)a x yb xy，则 22 1212 22 8412 , 3434 kk xxxx kk 3. 向量对应坐标成比例，向量模的关系 4. 等分点构造向量，得出对应坐标成比例，向量模的关系 5. 面积, 2 1 abhs a kab 2 1， 22 00 ba cbyax h 6. 垂直令 k k 1 7. 对称、倾斜角互补、斜率互为相反数令kk 8. 对称点 0000 ,yxayxa为 9. 几何意义 （1） 22 )()(byax表示点),(yx到点),(ba的距离； 或表示以),(ba为圆心，半径不确定的同心圆 （2） ax by 表示点),(yx到点),(ba的斜率 （3）表示与直线平行，截距不确定的直线yxb 202 yx （4）ax表示x到a的距离 10. 分类讨论，讨论谁为直角？斜率是否存在？曲线是否完整？ 2 11. 征兆：当计算时能消去高次项、消去很多项时，预示着 “沿着一条路一直走下去，是黑暗又有什么关系呢？” shy “当你被繁杂的事情迷乱双眼的时候，请回想起最当初的“点在曲线上” 。 在整个高中数学里，最能寻找自信心的地方，就在这里。虽然这条路很坎 坷不堪，可是我知道在路的尽头一定是阳光。 maple 知识归纳：直线与圆 一、直线斜率，点k),( 00 yx 1. 斜率公式： 21 21 yy k xx tanxf 2211 ,yxbyxa， 2.直线方程 (1)点斜式: 11 ()yyk xx (直线l过点 111 ( ,)p x y，且斜率为k) (2)斜截式:ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). (3)一般式:0axbyc(其中 a，b 不同时为 0). 3. 平行、垂直：(1) 121212 |,llkk bb (2) 1212 1llk k 4.点到直线的距离： 00 22 |axbyc d ab (点 00 (,)p xy，直线l：0axbyc). 两平行直线间的距离： 12 22 | cc d ab 11 :0laxbyc（, 22 :0laxbyc） 二、圆圆心，半径),(bar 1. 圆的方程： 222 ()()xaybr 2. 圆心与点 a 的距离： 22 00 ()()daxby 3 3. 圆心到直线 的距离： 22 ba cbbaa d .l 题型 1：直线与圆的位置关系 垂径定理 例 1. 与（1）判断位置关系（2）求弦长01: yxl1 22 yxc： 例 2.（同步练习）直线被圆截得弦长 04 yx222 22 yx 例 3. 圆到距离为的点有 个821 22 yxc：01 yx2 例 4. 直线与曲线有一个公共点，求的范围kxy 2 1yxk 例 5.（同步练习）两圆相交于两点（1，3）和，两圆的圆心都在直) 1,(m 线上，则的值为 0cyxcm 例 6.在圆上，与直线 ：距离最小的点 4 22 yxl01234 yx 例 7.直线与圆在第一象限内有两个不同交点，mxy 3 3 1 22 yx 则的取值范围是 m 例 8.圆，点 a（-1，0） ，b（1，0） ，点 p 是圆 c143: 22 yxc 的一个动点，求最大值、最小值以及对应的 p 点坐 22 pbpad 标。 （答案：，）) 5 24 , 5 18 (,74),( 1max pyxf) 5 16 , 5 12 (,34),( 2min pyxf 例 9.若实数满足求及取值范围yx,3 2 xy 3 1 x y myxb 2 （答案：， ） 6 213 , 6 33 m15, 32b 例 10.（同步练习）某圆形拱桥的水面跨度 20m，拱桥高度 4m，现有一船， 宽 10m，水面以上高 3m，这船能否从桥下通过？ （答案：，可以通过）)40( 5 . 14 5 . 10 2 2 2 yyx1 . 3y 参考答案 4 （答案：1.相交， 2. 3.3 个 4.或 5.3 2221 , 1k2 6. 7.） 5 6 5 8， 3 32 1， 精题训练（北京卷） 1.（10，东城一模，文）经过点（2，3）且与直线垂直052 yx 的 直线方程为 2.（10，西城，期末）若直线与圆01 yx012 22 axyx 相切，则 a 3.（10，北京一模,文）已知圆的方程为0862 22 yxyx，那么 该圆的一条直径所在直线的方程为 4.（10，崇文一模，文）若与圆相切，则为( )yxb 22 2xyb a. b. c. d.4222 2 5.（10，西城二模，文）圆心在x轴上，且与直线xy 切于（1，1）点 的圆的方程为 6.（10，海淀二模，文）已知直线 12 :10,:10lxylxy ，则 12 ,l l之 间的距离为 7.（10，东城，期末）若直线与圆相切，5120xym 22 20xxy 则 m 8.（05,北京,文）从原点向圆=0 作两条切线，则该2712 22 yyx 圆 夹在两条切线间的劣弧长为 9.（10，海淀期末，文）若直线l与直线7, 1xy分别交于点qp,， 且线段pq的中点坐标为) 1, 1 ( ，则直线l的斜率为 10.（10，东城二模，文）若曲线的一条切线 与直线 2 2yxl 5 084yx 垂直，则切线 的方程为 l 参考答案 1. 2.2 3.012 yx 4.b 5. 280xy22 2 2 yx 6.2 7.8 或-18 8.2 9. 3 1 10.420xy 知识归纳：椭圆 一、椭圆： 1.定义：平面内的动点 p 与两定点 f1，f2距离和等于定长a2 21f f 2.标准方程：1 2 2 2 2 b y a x )0( ba 谁大谁为a （1）定义域：aaxaxx或 （2）值 域：byy或byb （3）长轴长： 12 a a =2a 半长轴长： aoaoa 21 （4）短轴长： 12 b b =2b 半短轴长： bobob 21 （5）焦 距： 1 2 ff =2c 半焦距： cofof 21 （6）离心率：10e a c e （7）准线方程： c a x 2 （8）焦准距： c b2 （9）通 径： 2 2b a 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦 （10）焦半径： 0201 ,exapfexapf （11）焦点弦：通过焦点的弦 2 min 2b l a 为为为为为为 6 （12）弦长： 2 ab12ab12 2 ab 1 lxx1kyy1 k = a k 2 1 3. 焦点三角形 21f pf （1） 1 pf+ 2 pf=2a （2） 21f f=2c （3） 222 cba （4）10e a c e （5）在 21f pf中，则 21pf f 2 tan 2 21 bs pff （6）参数方程： sin cos by ax （7）切线方程 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 00 (,)p xy处切线: 00 22 1 x xy y ab 7 题型 1：离心率、斜率、焦点三角形第一定义 精题训练（北京卷） 1.（07,北京,文）椭圆的焦点为，两条准线 22 22 1(0) xy ab ab 1 f 2 f 与轴的交点分别为，若，则离心率的范围是( )xmn， 12 mnff a b c d 1 0 2 ， 2 0 2 ， 1 1 2 ， 2 1 2 ， 2.（10,西城一模，文）若椭圆上存在点，使得点到两个焦点的距离pp 之比为 2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） a b cd 3 1 , 4 1 2 1 , 3 1 ) 1 , 3 1 () 1 , 3 1 3.（10，东城一模，文）点 p 是椭圆上一点，f1，f2是椭圆两1 1625 22 yx 个焦点，且pf1f2内切圆半径为 1，当 p 在第一象限，p 点的纵坐标为 4.（10，海淀一模，文）直线与圆相交于 a,b12byax1 22 yx 两点（其中是实数） ，且是直角三角形(o 是坐标原点)，则点ba,aob p与点之间距离的最大值为（ ）),(ba) 1 , 0( a b. c. d. 12 2212 提示：，即，于是点 p与点 2 2 2 1 22 ba d lo为 1 2 2 2 b a),(ba 8 为) 1 , 0(2 2 2 1 2 2 bba 参考答案: 1.d 2.d 3. 4.a 8 3 精题训练（全国卷） 1.（10，安徽，理）设曲线的参数方程为（为参数） ，c 23cos 1 3sin x y 直线 为，则曲线上到 距离为的点的个数( )l320xycl 7 10 10 a.1 b.2 c.3 d.4 2.（09，全国 i，理）已知椭圆的右焦点为,右准线为 ， 2 2 :1 2 x cyfl 点，线段交于点，若,则=( ）alafcb3fafb |af a. b. 2 c. d.3 23 3.（10，全国，理）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，fcb 线段的延长线交于点，且，则的离心率为 bfcdfdbf2c 4.（08.全国 i.理数）在中，若以abcabbc 7 cos 18 b 为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ab，ce 5.（10，全国 ii，理）已知椭圆 22 22 :1(0) xy cab ab 的离心率为 3 2 ， 过右焦点f且斜率为(0)k k的直线与c相交于ab、两点若 3affb ，则k 6.（08，山东，理）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为 26. 1 c 13 5 x 9 若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲 2 c 1 c 线的标准方程为（ ） 2 c a. b. c. d. 1 34 2 2 2 2 yx 1 513 2 2 2 2 yx 1 43 2 2 2 2 yx 1 1213 2 2 2 2 yx 参考答案: 1.b 2.a 3. 4. 5.2 6.a 3 3 3 8 题型 2：轨迹几何意义 1.（同步练习）和轴相切，并和圆外切的动圆的圆心轨迹方程x1 22 yx 是 2.（同步练习）若圆的弦长为 2，则弦的中点轨迹方程912 22 yx 为 3.（同步练习）若圆，求过点 a（1，2）所作的弦的中点 p 的轨9 22 yx 迹 （提示：垂径定理） 4.（必修 2，课本 p104，b 组第 2 题）求与两定点的距离)2 , 3()2 , 1(ba， 的比为的点的轨迹方程.（答案：）23227 22 yx 5.（05，江苏，文）圆与圆的半径都是 1，过动点 p 分 1 o 2 o4 21 oo 别作圆、圆的切线 pm、pn（m、n 分别为切点） ，使得 1 o 2 o 。试建立适当坐标系，求动点 p 轨迹方程.（答案：pnpm2 ）33)6( 22 yx p o1o2 n m 10 6.（07,北京,文）如图，矩形的两条对角线相交于点，abcd(2 0)m， 边所在直线的方程为点在边所在直线ab360xy( 11)t ，ad 上 （i）求直线方程；ad （ii）求矩形外接圆的方程；abcd （iii）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动p( 2 0)n ，abcd 圆的圆心的轨迹方程p d t n o a b c m x y （答案：（i）（ii）（iii）动圆的圆320xy 22 (2)8xyp 心的轨迹方程为 ） 22 1(2) 22 xy x 7.（09，海南，理）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在cxoy 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.x （）求椭圆的方程；c （）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，pcmpx ，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 op om m （答案：（）椭圆的标准方程为c 22 1 167 xy （），其中。 2222 (169)16112xy4,4x （i）时。化简得，点的轨迹方程为 3 4 2 9112y m 11 ，轨迹是两条平行于轴的线段 4 7 ( 44) 3 yx x （ii）时， 3 4 22 22 1 112112 16916 xy 4,4x （1）当时，点的轨迹为中心在原点，实轴在轴上的 3 0 4 my 双曲线满足的部分（2）当时，点的轨迹为44x 3 1 4 m 中心在原点.长轴在轴上的椭圆满足的部分；（3）当x44x 时，点的轨迹为中心在原点.长轴在轴上的椭圆 ）1mx 题型 3：对称、斜率互为相反数、倾角互补令kk 1 （08，天津，理/文）已知圆c的圆心与抛物线 2 4yx的焦点关于直线 yx对称，直线4320xy与圆c相交于ab，两点，且6ab ， 则圆c的方程为 2.（09，宁夏，理/文）已知圆 1 c： 2 (1)x+ 2 (1)y=1，圆 2 c与圆 1 c关于 直线10xy 对称，则圆 2 c的方程为（ ） a. 2 (2)x+ 2 (2)y=1 b. 2 (2)x+ 2 (2)y=1 c. 2 (2)x+ 2 (2)y=1 d. 2 (2)x+ 2 (2)y=1 3.（10，蒋叶光，编写）直线与圆交于1 kxy04 22 mykxyx 两点，且关于直线对称，求的值nm,nm,0 yxkm 4.（08，北京，理）过直线上的一点作圆的两yx 22 (5)(1)2xy 条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ 12 ll， 12 ll，yx ） a. b c d30456090 5.经典(10,崇文二模，文)已知圆的方程，过作 22 25xy( 4,3)m 12 直线与圆交于点，且关于直线对称，则直,ma mb,a b,ma mb3y 线的斜率等于 ab 参考答案 1. 2.b 3.0 4.c 5. 22 (1)18xy 3 4 题型 4：定点、定值产生原因：对称点 0000 ,yxayxa为 恒过定问题：，恒过定点)( 00 xxkyy 00, y x 1.恒过定点 2 kxy 2.恒过定点 1kkxy 3.恒过点 032 yx 化成一般式，合并同类项，令每项都为 0 即可 4.若,则直线恒过点 0 22 ba0 byax 5.恒过点 （提示：化成）0mymx0) 1(yxm 6.，为轴上的动点，为圆的两条切线，切1) 1( 22 yxqxbqaq, 点为 a,b，证明：直线 ab 过定点，并求出定点坐标。 （提示：设，于是满足）) 0 , (mq0 ymx 7.圆恒过定点 0) 1( 222 bybxyx （提示：令）0)1 (2 22 byyxyx02, 01 22 yxyxy 8.(09，海淀二模，理)若直线与直线关于点（2，1）对)4(: 1 xkyl 2 l 13 称，则直线恒过定点 2 l 9.（10，蒋叶光，编写）直线恒过定点 034kykx 参考答案 1.（0，2） 2.（1，1） 3.（0，0） 4.（0，0） 5.（-1，0） 6.（0，0） 7.（-2，1）与（0，1） 8.（0，2） 9.)3, 4( 精题训练 1.（10，崇文一模，文）椭圆短轴端点， 22 22 10 xy ab ab 0, 3d 过作直线 与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于 1 2 e dlmxa 原点） ，点关于轴的对称点为，交轴于点omxndnxb （）求椭圆的方程； （）求证为定值 oboa （ 答案：（） （） = 22 1 43 xy oa ob 4 33 4 3 k k 结论：过短轴端点作直线交椭圆于 a，作其关于轴的对称点 b，), 0(bx 则这线在轴的截距乘积为x 2 a 2.（09，北京，理）已知双曲线的离心率为 22 22 :1(0,0) xy cab ab 14 ，右准线方程为3 3 3 x （）求双曲线的方程；c （）设直线 是圆上动点处的切线，l 22 :2o xy 0000 (,)(0)p xyx y 与双曲线交于不同的两点，证明：的大小为定值 lc,a baob （答案：（i）（ii）的大小为.） 2 2 1 2 y x aob90 为定值 aob900oboa1 oboa kkoboa 3.经典（10，东城期末，理）已知椭圆的中心在原点，一个焦点c ，且长轴长与短轴长的比是(0, 2)f2 :1 （）求椭圆的方程；c （）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为 ，过点作倾斜角互cp1p 补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，papbca ，求证：直线的斜率为定值；bab （）求面积的最大值pab y o x b a p f1 f2 （答案：（i）（ii）：，设 22 1 42 yx pb2(1)yk x ，则，令(,) aa a xy(,) bb b xy 2 2 2 22 1 2 bb kk xx k 15 得，为定值kk 2 2 2 22 2 a kk x k 2 ab ab ab yy k xx （iii）当且仅当时取等号，面积的最大值为 ） 2m pab2 4.经典（09，辽宁，理）椭圆 c 过点 a 3 (1, ) 2 ，焦点（-1，0） ， （1，0） （1）求椭圆 c 的方程； （2）e,f 是椭圆 c 上两个动点，如果直线 ae 的斜率与 af 的斜率互为 相 反数，证明直线 ef 的斜率为定值 ，并求出这个定值 （答案：（1） 22 1 43 xy 直线 ef 的斜率为定值，其值为 1 2 6.（10，东城一模，文） 椭圆离心率为，)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x c 2 3 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与相切 02 yx （1）求椭圆 c 的方程； （2）设 p（4，0） ，m，n 是椭圆 c 上关于轴对称的任意两个不同的点，x 连结 pn 交椭圆 c 于另一点 e，求直线 pn 的斜率的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：直线 me 与轴相交于定点.x （ 答案：（1）（2）因为不符合题意， . 1 4 : 2 2 y x c0k （3）令）. 6 3 00 6 3 kk或. )( , 0 12 122 2 yy xxy xxy 得 7.（10，东城一模，理）椭圆的离心率为， 22 22 :1 xy c ab (0)ab 1 2 以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切60xy （）求椭圆的方程；c （）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，(4,0)pabcx 16 连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点；pbceaexq （）在（）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，qcmn 求的取值范围om on (答案：（i）（ii）设点，则 22 1 43 xy 11 ( ,)b x y 22 (,)e xy ，直线的方程为，直线与 11 ( ,)a xyae 21 22 21 () yy yyxx xx ae 轴相交于定点（iii）斜率存在时，设为，x(1,0)qmn(1)ym x ， mnmn om onx xy y 2 22 512533 4344(43) m mm 2 22 512533 4344(43) m mm ，当斜率不存在时， ，故 5 4,) 4 om on 5 4 om on 5 4, 4 探究：恒过定点的条件：过点 p作直线交于 b、c 点，作 b 点关于) 0 , ( 2 a 轴的对称点 a,连接 ac，则直线 ac 恒过(1,0)x 10.经典（07，山东，理）已知椭圆 c 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴 上，椭圆 c 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1 （）求椭圆 c 的标准方程； （）若与椭圆 c 相交于 a，b 两点（a，b 不是左右顶mkxyl： 点） ，且以 ab 为直径的圆过椭圆 c 的右顶点。求证：直线 过定点，l 求坐标. (答案：（） （）直线 过定点，定点坐标为) 22 1 43 xy l 2 ( ,0). 7 11.经典（10,四川,理）定点 a(1，0)，f(2，0)，定直线，不 2 1 :xl 在轴上的动点 p 与点 f 的距离是它到直线 的距离的 2 倍.设点 p 的轨xl 17 迹为 e，过点 f 的直线交 e 于 b、c 两点，直线 ab、ac 分别交 于点 m、nl （）求 e 的方程； （）试判断：以线段 mn 为直径的圆是否过点 f，并说明理由. (答案:（i）x2=1(y0)(ii)当直线 bc 与 x 轴不垂直时,m 点的 2 3 y 坐标为()，= 1 1 31 , 2 2(1) y x 2 12 12 93 () 22(1)(1) y y fm fn xx a 0，当直线 bc 与 x 轴垂直，方程为 2 2 22 22 81 4 3 4349 4(1) 33 k k kk kk x2，0综上0，即 fmfn， 2 333 ()() 222 fm fn afm fn a 故以线段 mn 为直径的圆经过点 f.) 12.蝴蝶定理 (03.北京.理) 如图，椭圆的长轴 a1a2与 x 轴平行，短轴 b1b2在 y 轴上，中心为 m（0，r） （).0 rb （）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （）直线交椭圆于两点直线xky 1 );0)(,(),( 22211 yyxdyxc 交椭圆于两点xky 2 ).0)(,(),( 44433 yyxhyxg 求证：； 43 432 21 211 xx xxk xx xxk （）对于（）中的 c，d，g，h，设 ch 交 x 轴于点 p，gd 交 x 轴于点 q. 求证：|op|=|oq|. （证明过程不考虑 ch 或 gd 垂直于 x 轴的情形） （答案：（i）椭圆为焦点为, , 1 )( 2 2 2 2 b ry a x ),( 22 1 rbaf 18 离心率),( 22 2 rbaf. 22 a ba e （ii）分别联立方程组：直线 cd 的方程代入椭圆方程，得xky 1 整理得,)( 222 1 222 barxkaxb 根据韦达定理，得 . 0 )(2)( 22222 1 22 1 22 bararxakxkab ,故 2 1 22 2222 21 2 1 22 2 1 21 , 2 kab bara xx kab rak xx rk br xx xx 1 22 21 21 2 将直线 gh 的方程代入椭圆方程，同理可得，xky 2 rk br xx xx 2 22 43 43 2 由，得所以结论成立. 21 212 22 21 211 2xx xxk r br xx xxk （）证明：设点 p（p,0） ，点 q（q,0） ，由 c、p、h 共线， 得解得， , 22 11 2 1 xk xk px px 2211 2121 )( xkxk xxkk p 由 d.q.g 共线，同理可得 , )( 43 432 21 211 3221 3221 xx xxk xx xxk xkxk xxkk q 由 变形得，即 4211 41 3221 32 xkxk xx xkxk xx 4211 4121 3221 3221 )()( xkxk xxkk xkxk xxkk 所以. |,|oqopqp即 题型 5：垂直平分线pbpa 垂直圆的直径（令）1 21 kk0oboa k k 1 1.（10，西城二模，文）已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x c的离心率为 3 6 ，椭圆 c 上任意一点到椭圆两个焦点