(好资料)2007年高考“数列”题--(文科)高考数学试题全解

2007年高考“数列”题1(全国) 等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_。解：等比数列的公比，已知，成等差数列，即，解得的公比。设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，. (12分)（）求、的通项公式；（）求数列的前n项和。解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且 解得，所以，（），得，2(全国II) 已知数列的通项，则其前项和 解：已知数列的通项，则其前项和=设等比数列的公比，前项和为已知，求的通项公式解：由题设知，则 由得，因为，解得或当时，代入得，通项公式；当时，代入得，通项公式3（北京卷）若数列的前项和，则此数列的通项公式为解：若数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=数列中，, （是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以4（天津卷）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）2 4 6 8解：是与的等比中项可得(*)，由为等差数列，及代入(*)式可得.故选B.【解析】由等差数列且，得，又是与的等比中项，则有即：得，解之得（舍去）在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）证明不等式，对任意皆成立本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力满分12分（）证明：由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解：由（）可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和（）证明：对任意的， 所以不等式，对任意皆成立5(上海卷) 数列中， 则数列的极限值（）等于等于等于或不存在解：，选B。近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34% 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%） （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ， 则2006年全球太阳电池的年生产量为 (兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则解得 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到如果有穷数列（为正整数）满足条件，即（），我们称其为“对称数列” 例如，数列与数列都是“对称数列” （1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列求前项的和 解：（1）设数列的公差为，则，解得 ， 数列为 （2） 67108861 （3） 由题意得 是首项为，公差为的等差数列 当时， 当时， 综上所述，6（重庆卷）1在等比数列an中，a18，a464，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）8解：由可得选A。设的等比中项，则a+3b的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4解： 的等比中项，则令 则：选B。已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足S11，且（）求an的通项公式；（）设数列bn满足并记Tn为bn的前n项和，求证：（）解：由，解得a11或a12，由假设a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。（）证法一：由可解得；从而。因此。令,则。因，故.特别的。从而，即。证法二：同证法一求得bn及Tn。由二项式定理知当c0时，不等式成立。由此不等式有。证法三：同证法一求得bn及Tn。令An，Bn，Cn。因，因此。从而。7（辽宁卷）设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63 B45 C36 D27解：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差，所以S=45，选B.已知数列，满足，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力满分12分（）解：由题设得，即（）易知是首项为，公差为的等差数列，通项公式为4分（II）解：由题设得，令，则易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为8分由解得，10分求和得12分8（江苏卷）（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某个正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。9(广东卷) 已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 解：a1=S1= -8，而当n2时，由an=Sn-Sn-1求得an=2n-10，此式对于n=1也成立。要满足5ak8,只须52k-108，从而有k知=,=(2) f(x)=2x+1= =()2由题意知an,那么有an，于是对上式两边取对数得ln=ln()2=2 ln()即数列bn为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。故其前n项和Sn=2ln( )=2ln( )(2n -1)10(福建卷) 等比数列中，则等于（）解：a2a6= a42=16，选C.数列的前项和为，（）求数列的通项；（）求数列的前项和本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力满分12分解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列，当时，（），当时，；当时，得：又也满足上式，11(安徽卷) 等差数列的前项和为若（A）12（B）10（C）8（D）6解：=2， ，选C。 某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式；（）求证：Tn=An+Bn，其中是一个等比数列，是一个等差数列.解： （）（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列12(湖南卷) 在等比数列（）中，若，则该数列的前10项和为（ ）ABCD解：由，所以.选 B。设是数列（）的前项和，且，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项解：（I）当时，由已知得因为，所以 于是 由得：于是由得：即数列（）是常数数列（II）由有，所以由有，所以，而表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列所以，由题设知，当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，从而是数列中的第项（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）13（湖北卷）已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（I）证：由，有， （II）证：，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）得，于是当时，当时，故解法2：（I）同解法1（I）（II）证：，又，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II）的类似方法得，下同解法114（江西卷）已知等差数列的前项和为，若，则_解：由题意得设为等比数列，（1）求最小的自然数，使；（2）求和：解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数（2）因为，得：。 所以15（山东卷）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和解：（1）由已知得 解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（1）得又是等差数列故16(陕西卷) 等差数列an的前n项和为Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）42解：S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24，选C.给出如下三个命题：设a,bR,且1,则1;四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;若 , 则f（|x|）是偶函数.其中正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）解：，所以1成立；ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；由偶函数定义可得，选C。已知实数列等比数列,其中成等差数列.()求数列的通项公式;()数列的前项和记为证明: 128).解：（）设等比数列的公比为，由，得，从而，因为成等差数列，所以，即，所以故（）17（四川卷）等差数列中，其前项和，则（）（A）9（B）10（C）11（D）12解：选已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数（）用表示；（）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（）若，是数列的前项和，证明解：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力（）由题可得所以曲线在点处的切线方程是：即令，得即显然，（）由，知，同理故从而，即所以，数列