(好资料)2007年高考“导数”题--高考数学试题全解

2007年高考“导数”题1(全国) 设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是2(全国II) 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A3B2C1D解：已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=2，由选择项知，只能选A。 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根记，则 当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即3（北京卷）4（天津卷）已知函数R)，其中R.(I)当时，求曲线在点处的切线方程；(II)当时，求函数的单调区间与极值.解：(I)当时，又所以，曲线在点处的切线方程为 即(II)由于以下分两种情况讨论.(1) 当时，令得到当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.函数在处取得极小值且.函数在处取得极大值且.(2) 当时，令得到.当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.函数在处取得极大值且.函数在处取得极小值且.5(上海卷)6（重庆卷）已知函数(x0)在x = 1处取得极值3c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；(6分)（2）讨论函数f(x)的单调区间；(4分)（3）若对任意x0，不等式恒成立，求c的取值范围。(3分)解：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为7（辽宁卷）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值解：根据题意和图形知当0是的极大值时，不是的极值是不可能的，选C已知函数，（I）证明：当时，在上是增函数；（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（III）证明： ()证明：由题设得又由,且t得t，即0.由此可知，为R上的增函数. 3分()证法一：因为0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时,0，即t在闭区间a,b上成立即可.因此y=在闭区间a,b上连续，故在闭区a,b上有最大值，设其为k，于是在tk时, 0在闭区间a,b上恒成立，即在闭区间a,b上为减函数. 7分证法二：因为0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得tk时,0，在闭区间a,b上成立即可.令则0()当且仅当0().而上式成立只需即 成立.取与中较大者记为k，易知当tk时，0在闭区间a,b上恒成立，即在闭区间a,b上为减函数. 7分()证法一：设易得. 9分令则易知.当x0时, 0;当x0, 0.故当x=0时，取最小值，.所以，于是对任意x、t，有，即.12分证法二：设=，当且仅当0只需证明0，即19分以下同证法一. 12分证法三：设=，则易得当t时, 0; 当t时, 0，故当t =时,取最小值即9分以下同证法一. 12分证法四: 设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y =x上，令点A到直线y =x的距离为d ，则9分以下同证法一. 12分.8（江苏卷）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.解：令0，得：2，2，17，（3）1，（2）24，（2）8，所以，M24（8）32.9(广东卷) 已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数.设，（n=1,2,） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有a；（3）记（n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn。解：(1)解方程x2+x-1=0得x=由知=,=(2) f(x)=2x+1= - = 下面我们用数学归纳法来证明该结论成立当n=1时，a1=1=成立，假设n=k(k1, kN*)时，结论也成立，即ak成立，那么当n=k+1时，=-+-+=+=这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an,那么有an，于是对上式两边取对数得ln=ln()2=2 ln()即数列bn为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。故其前n项和Sn=2ln( )=2ln( )(2n -1).10(福建卷) 已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD解： 由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x0时f(x)0,g (x) 0,递增,当x0; g(x)递减, g(x)0）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.解：（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有12(湖南卷) 函数在区间上的最小值是 解： 13（湖北卷）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，14（江西卷）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（）解： 因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线 在处的切线的斜率0，选B15（山东卷）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立解：(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，. 当时，在上恒成立. 即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得16(陕西卷) f(x)是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足,对任意正数a、b,若ab，则必有A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解： 设F（x）=，则，故F（x）=为减函数，由ab有，选A设函数f(x)=其中a为实数.()若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;()当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（）的定义域为，恒成立，即当时的定义域为（），令，得由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为17（四川卷）18（浙江卷）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD解：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。选D设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立方法二：对任意，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，又因为，不等式成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立19（宁夏、海南卷）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）解：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以：选 D设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明