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第四章 向量组的线性相关性4.1 向量及其运算 1向量：个数构成的有序数组, 记作, 称为维行向量 称为向量的第个分量 称为实向量（下面主要讨论实向量） 称为复向量 零向量： 负向量： 2线性运算：, 相等：若, 称 加法： 数乘： 减法： 3算律：, , (1) (5) (2) (6) (3) (7) (4) (8) 4列向量：个数构成的有序数组, 记作, 或者, 称为维列向量 零向量： 负向量： 5内积：设实向量, , 称实数 为与的内积算律：, , (1) (2) （为常数） (3) (4) 时, ；时, (5) 证(5) , 由可得 6范数：设实向量, 称实数 为的范数性质：(1) 时, ；时, (2) (3) (4) 证(3) 证(4) 7夹角：设实向量, 称 为与之间的夹角 正交：若, 称与正交, 记作 (1) ,时, ； (2) 或时, 有意义, 而无意义 单位化：若, 称为与同方向的单位向量4.2 向量组的线性相关性 1线性组合：对维向量及, 若有数组使得 , 称为的线性组合, 或可由线性表示例1 , , , 判断可否由线性表示?解 设，比较两端的对应分量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示 注 取另一组解时, 有 2线性相关：对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 称向量组线性相关, 否则称为线性无关 线性无关：对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 称向量组线性无关, 否则称为线性相关 注 对于单个向量：若, 则线性相关； 若, 则线性无关 例2 判断例1中向量组的线性相关性 解 设, 比较两端的对应分量可得 即因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关 例3 已知向量组线性无关, 证明向量组 , , 线性无关 证 设 , 则有 因为线性无关, 所以 , 即 系数行列式 , 该齐次方程组只有零解 故线性无关 例4 判断向量组 , , , 的线性相关性 解 设 , 则有 只有 故线性无关 例5 设两两正交且非零, 证明该向量组线性无关 证 设 , 两端与作内积可得 当时, , 于是有 只有 上式对于都成立, 故线性无关 3判定定理 定理1 向量组线性相关 其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示证 必要性已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 不妨设, 则有 充分性不妨设 , 则有 因为不全为零, 所以线性相关 定理2 若向量组线性无关, 线性相关, 则可由线性表示, 且表示式唯一证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 若, 则有 矛盾! 故, 从而有 下面证明表示式唯一： 若 , 则有 因为线性无关, 所以 即的表示式唯一定理3 线性相关线性相关 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 数组不全为零, 故线性相关
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