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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆： 解, 故逆矩阵为. (2) 解 故逆矩阵为.3. 设, , 求X使AX=B. 解 因为 , 所以 .4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量为.解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式. 解 (下一步: r1r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ), 矩阵的, 是一个最高阶非零子式. 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ) , 矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式.6. 解下列齐次线性方程组： 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数). 解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有A=, 于是 , 故方程组的解为 (k1, k2为任意常数).7. 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得 , 与此等价地可以写成, 或 , 或 , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组： 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是,即(k1, k2为任意常数). 解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2为任意常数)9. 当l取何值时有解？并求出它的解. 解. 要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 当l=1时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数). 当l=-2时, , 方程组解为 或, 即 (k为任意常数).10. 设.问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B=要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须(1-l)(10-l)0,所以当l1且l10时, 方程组有唯一解.要使方程组无解, 必须R(A)R(B), 即必须(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0,所以当l=10时, 方程组无解. 要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)3, 即必须 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=
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