18、19：_向量与圆锥曲线(教师版)

第十八讲 向量与圆锥曲线（一）高考在考什么【考题回放】1（重庆）已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）（A）（B）（C）（D）2.（全国）设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则（ ）A B C D3设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）A BC D4已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）（A）（B）（C）（D）5若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 高考要考什么【热点透析】知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 （3）两个公共点 2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：D法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。突破重难点【例1】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y22x相交于A、B两点（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，由得 又 ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).【例2】已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，点C坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C三点共线； （2）若（）且试求点M的轨迹方程。（1）证明：设，由得，又，即A,B,C三点共线。（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。【例3】椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1F1F2，| PF1|=，| PF2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。解法一：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1.()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为A，B关于点M对称. 所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则，由得即 于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）第十九讲 向量与圆锥曲线（二）【例5】设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（）解法一： 易知 ，所以，设，则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即 故由、得或【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P. （）设P点的坐标为，证明：；（）求四边形ABCD的面积的最小值。（）证明: 椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则：，；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为所以，四边形ABCD的面积当k2=1时，上式取等号（）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4综上，四边形ABCD的面积的最小值为【例7】已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和DABC的面积S。由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为 的面积.【例8】已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（I）求的取值范围；（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）解：（I）由方程消得依题意，该方程有两个正实根，故 解得（II）由，求得切线的方程为，由，并令，得，是方程的两实根，且，故，是关于的减函数，所以的取值范围是是关于的增函数，定义域为，所以值域为，（III）当时，由（II）可知类似可得由可知从而当时，有相同的结果所以自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中a,bR，且a+b=1，则点C的轨迹方程为( D )A 3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C 2x-y=0 D x+2y-5=02、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )A椭圆B双曲线C线段D射线3、中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C )4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）. A、m1且m5 B、m1 C、m5 D、m55、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|-|=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为_.( ).6已知A、B为抛物线x2=2py (p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得；存在实数l使得 ；若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为_7.已知椭圆，过P(1,0)作直线 l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的交点为Q，且，求直线 l的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)， 因为，所以 AB的中点与 PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以，又xP+xQ=1 故得，所求的直线方程为。8已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次