16【数学】2010年高考数学计算试题分类汇编——概率与统计

第 1 页 共 23 页 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编概率与统计概率与统计 （2010 浙江理数）浙江理数）19.(本题满分 l4 分)如图，一个小球从 M 处投入，通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的某商家按上述投 球方式进行促销活动，若投入的小球落到 A，B，C，则分别设 为 l，2，3 等奖 （I）已知获得 l，2，3 等奖的折扣率分别为 50，70，90记随变量为获得 k(k=1,2,3)等奖的 折扣率，求随机变量的分布列及期望 E ； (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动，记随机变 量为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 )2(P 解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念， 同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 ()解：由题意得 的分布列为 507090 p3 16 3 8 7 16 则 = 3 16 50+ 3 8 70+ 7 16 90= 3 4 . （）解：由()可知，获得 1 等奖或 2 等奖的概率为 3 16 + 3 8 = 9 16 . 由题意得 （3， 9 16 ） 则 P（=2）= 2 3 C( 9 16 )2(1- 9 16 )= 1701 4096 . （2010 湖南文数）湖南文数）17. （本小题满分 12 分） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组 成研究小组、有关数据见下表（单位：人） （I）求 x,y ; （II）若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C 的概 率。 第 2 页 共 23 页 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （20） （本小题满分 12 分） 如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是 0.9电流能否通过各元件相互独立已 知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （）求p； （）求电流能在M与N之间通过的概率； （）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望 【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学 期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 第 3 页 共 23 页 【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解 答题的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这 应引起高度重视. （20102010 陕西文数）陕西文数）19 （本小题满分 12 分） 为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行出样检查，测得身 高情况的统计图如下： （）估计该校男生的人数； （）估计该校学生身高在 170185cm 之间的概率； （）从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 185190cm 之间的概率。 第 4 页 共 23 页 解 （）样本中男生人数为 40 ，由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。 （）有统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人，样本容 量为 70 ，所以样本中学生身高在 170185cm 之间的频率故有 f 估 计该校学生身高在 170180cm 之间的概率 （）样本中身高在 180185cm 之间的男生有 4 人，设其编号为 样本中身高在 185190cm 之间的男生有 2 人，设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为： 故从样本中身高在 180190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15，求至少有 1 人身高在 185190cm 之间的可能结果数为 9，因此，所求概率 （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （18） （本小题满分 12 分） 为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做实验，将这 200 只家兔随机地分成两组。每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和药物 B 后的实验结果。 （疱疹面积单位： 2 mm） （）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； 第 5 页 共 23 页 （）完成下面2 2列联表，并回答能否有 99.9的把握认为“注射药物 A 后的疱 疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 解： （） 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数。 （）表 3 疱疹面积小于 2 70mm疱疹面积不小于 2 70mm合计 注射药物A70a 30b 100 注射药物B35c 65d 100 合计10595200n 56.24 95105100100 )30356570(200 2 2 K 第 6 页 共 23 页 由于828.10 2 K，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. （2010 辽宁理数）辽宁理数） （18） （本小题满分 12 分） 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做试验，将这 200 只家兔随机地分成两组，每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。 （）甲、乙是 200 只家兔中的 2 只，求甲、乙分在不同组的概率； （）下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2） 表 1：注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 （）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； （）完成下面 22 列联表，并回答能否有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面 积与注射药物 B 后的疱疹面积有差异”. 表 3： 第 7 页 共 23 页 解： （）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为 99 198 100 200 2100 199 C P C 4 分 （） （i） 图注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方 图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B 后的疱疹 面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱 疹面积的中位数。 8 分 （ii）表 3： 2 2 200 (70 6535 30) 24.56 100 100 105 95 K 由于 K210.828，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱疹面积有差异” 。 12 分 （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （20） （本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电源能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电源能通过 T4的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。 已知 T1，T2，T3中至少有一个 能通过电流的概率为 0.999。 （）求 P； 第 8 页 共 23 页 （）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了概率中的互斥事件、了概率中的互斥事件、对对立事件及独立事件的概率，立事件及独立事件的概率， （ （1） ）设设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1， ，T2， ，T3 至少有一个能通至少有一个能通过电过电流流 用基本事件表示并求出概率即可求得用基本事件表示并求出概率即可求得 P。 。 （ （2）将）将 MN 之之间间能通能通过电过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。 （20102010 江西理数）江西理数）18. （本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一 个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。 （1）求的分布列； （2）求的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概 率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 （1）必须要走到 1 号门才能走出，可能的取值为 1，3，4，6 1 (1) 3 P， 111 (3) 326 P， 111 (4) 326 P， 2 2 111 (6)() 1 323 PA 分布列为： （2） 11117 1346 36632 E 小时 （2010 安徽文数）安徽文数）18、 （本小题满分 13 分） 某市 2010 年 4 月 1 日4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸 入颗粒物）: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, () 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污染指数在 050 之间时，空气质量为优：在 51100 之间时，为良； 在 101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 1346 P 1 3 1 6 1 6 1 3 第 9 页 共 23 页 【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问 题的能力，数据处理能力和运用意识. 【解题指导】 （1）首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污 染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。 ()答对下述两条中的一条即可： （1）该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的 1 15 ，有 26 天处于 良的水平，占当月天数的 13 15 ，处于优或良的天数共有 28 天，占当月天数的 14 15 。 说明该市空气质量基本良好。 （2）轻微污染有 2 天，占当月天数的 1 15 。污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的 17 30 ，超过 50%，说明 该市空气质量有待进一步改善。 【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于 1，每一小组的频 率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组 距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答，要选择 适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论. （2010 重庆文数） （17） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排 在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2，6） ，求： （）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 第 10 页 共 23 页 （2010 重庆理数）重庆理数） （17） （本小题满分 13 分， （I）小问 5 分， （II）小问 8 分） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一 起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 1,2,6） ，求： （I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。 第 11 页 共 23 页 （2010 山东文数）山东文数） （19） （本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. （）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； （）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随 机取一个球，该球的编号为 n，求2nm的概率. （20102010 北京理数）北京理数）(17)(本小题共 13 分) 某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 ，第二、 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互 第 12 页 共 23 页 独立。记 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 0123 p 6 125 ad 24 125 ()求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； ()求p，q的值； ()求数学期望E。 解：事件 i A表示“该生第i门课程取得优秀成绩” ，i=1,2,3，由题意知 1 4 () 5 P A ， 2 ()P Ap， 3 ()P Aq （I）由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“0”是对立的，所以 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 6119 1(0)1 125125 P ， （II）由题意知 123 16 (0)()(1)(1) 5125 PP A A Apq 123 424 (3)() 5125 PP A A Apq 整理得 6 125 pq ，1pq 由pq，可得 3 5 p ， 2 5 q . （III）由题意知 123123123 (1)()()()aPP A A AP A A AP A A A = 411 (1)(1)(1)(1) 555 pqpqp q 37 125 (2)1(0)(1)(3)bPPPP = 58 125 0(0) 1(1)2 (2)3 (3)EPPPP = 9 5 第 13 页 共 23 页 （2010 四川理数）四川理数） （17） （本小题满分 12 分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料。 （）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （）求中奖人数的分布列及数学期望 E. 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= 1 6 P(A B CA A)=P(A)P(B)P(C)= 1525 2 ( ) 66216 A 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 25 216 6 分 （2）的可能值为 0,1,2,3 P(=k)= 3 3 15 ( ) ( ) 66 kkk C (k=0,1,2,3) 所以中奖人数的分布列为 0123 P 125 216 25 72 5 72 1 216 E=0 125 216 +1 25 72 +2 5 72 +3 1 216 = 1 2 12 分 （20102010 天津文数）天津文数） （18） （本小题满分 12 分） 有编号为 1 A , 2 A , 10 A 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm） ，得到下面数据： 其中直径在区间1.48，1.52内的零件为一等品。 （）从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （）从一等品零件中，随机抽取 2 个. （）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （）求这 2 个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的 实际问题的能力。满分 12 分 【解析】 （）解：由所给数据可知，一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中，随机抽 第 14 页 共 23 页 取一个为一等品”为事件 A，则 P（A）= 6 10= 3 5. （） （i）解：一等品零件的编号为 123456 ,A A A A A A .从这 6 个一等品零件中随 机抽取 2 个，所有可能的结果有： 121314 ,A AA AA A , 1516 ,A AA A , 23 ,A A , 2425 ,A AA A , 263435 ,A AA AA A , 364546 ,A AA AA A , 56 ,A A 共有 15 种. (ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等” （记为事件 B）的所有可 能结果有： 141646 ,A AA AA A ， 232535 ,A AA AA A ，共有 6 种. 所以 P(B)= 62 155 . （20102010 天津理数）天津理数） （18）.（本小题满分 12 分） 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 ，且各次射击的结果互不影响。 （）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率 （）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率； （）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次 射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外 加 3 分，记为射手射击 3 次后的总的分数，求的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事 件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分。 （1）解：设X为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则X 2 5, 3 B .在 5 次射击中，恰 有 2 次击中目标的概率 22 2 5 2240 (2)1 33243 P XC （）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5) i A i ；“射手在 5 次射击中， 有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件A,则 123451234512345 ( )()()()P AP A A A A AP A A A A AP A A A A A 第 15 页 共 23 页 = 32323 2112112 3333333 = 8 81 （）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6 3 123 11 (0)() 327 PP A A A 123123123 (1)()()()PP A A AP A A AP A A A = 22 21121122 33333339 123 2124 (2)() 33327 PP A A A 123123 (3)()()PP A A AP A A A 22 21118 333327 123 (6)()PP A A A 3 28 327 所以的分布列是 （2010 广东理数）广东理数）17.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况，随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算 出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为 （490,495， （495,500，（510,515，由 此得到样本的频率分布直方图，如图 4 所示 （1）根据频率分布直方图，求重量超过 第 16 页 共 23 页 505 克的产品数量 （2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量，求 Y 的 分布列 （3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率 （ （2010 广广东东文数）文数）17.（本小题满分 12 分） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观 众，相关的数据如下表所示： 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁401858 大于 40 岁152742 总计 5545100 第 17 页 共 23 页 （20102010 福建文数）福建文数）18 （本小题满分 12 分） 设平顶向量 m a （ m , 1）, n b= ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4 （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得 m a（ m a- n b）成立的（ m，n ） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率。 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）(18)(本小题满分 12 分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 第 18 页 共 23 页 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 （2010 四川文数）四川文数） （17） （本小题满分 12 分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖 内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 饮料。 （）求三位同学都没有中奖的概率； （）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. （2010 湖北文数）湖北文数）17.（本小题满分 12 分） 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞 出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克） ，并将所得数据分组，画出频率 分布直方图（如图所示） （）在答题卡上的表格中填写相应的频率； （）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少； （）将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水 库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼， 其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来估计该水 第 19 页 共 23 页 库中鱼的总条数。 （20102010 山东理数）山东理数） P( =4)= 312 + 423 112 423 311 423 = 11 24 ， 所以的分布列为 第 20 页 共 23 页 234 ( )P 1 8 10 24 11 24 数学期望E= 1 2 8 + 10 3 24 +4 11 24 = 10 3 。 【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列 以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 （2010 湖南理数）湖南理数）17 （本小题满分 12 分） 图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 （）求直方图中 x 的值 （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样） ，求月均用 水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望。 （20102010 福建理数）福建理数） 第 21 页 共 23 页 0149 P