2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)试题及点评

【本文作者】 姓 名：丁益祥 工作单位：北京市陈经纶中学2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学（必修+选修）本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第I卷共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径第I卷一、选择题1在复平面内，复数对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知向量a，b不共线，cab,dab,如果cd，那么( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向3为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( ) A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为( ) A B1 C D5“”是“”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6若为有理数），则 ( ) A45 B55 C70 D807用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A324 B328 C360 D6488点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是( ) A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” 第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9_ W（10若实数满足则的最小值为_11设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_12椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_；的小大为_ 13若函数 则不等式的解集为_14已知数列满足：则_；=_三 、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）在中，角的对边分别为，（）求的值；（）求的面积16（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由17（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.18（本小题共13分）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围19（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w20（本小题共13分）已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.k.s.5.2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学（必修+选修）试题答案及解读一、选择题1B【解读与点评】由于，故复数所对应的点为，因此选B.本题源于数学第三册（选修，2006年11月第2版，下同）P168 练习中第21题以及P164习题4.1中第32题，主要考查复数的代数运算以及复数与复平面内点的对应关系.求解中容易出错的地方是误得“”，进而误选A2D【解读与点评】解法1： 取a，b，若，则cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd，且c与d反向，排除C，因此选D.解法2：因为cd，所以，则，此时而，故c与d反向，因此选D.本题源于数学第一册（下，2003年12月第1版，下同）P107练习42，主要考查向量的加减运算和向量的数乘运算，考查两向量共线（平行）的充要条件及其判定等基础知识和基本技能，涉及的数学思想主要有特殊与一般的思想以及方程的思想应当指出的是通过特殊化法所得的结论可以否定与之不一致的选项，进而才能肯定正确的选项例如解法1中，只有否定了A、B、C，才能肯定D3C【解读与点评】解法1：把函数的图象按A中要求变换所得图象的解析式是，按 B中要求变换所得图象的解析式是，按 C中要求变换所得图象的解析式是，按 D 中要求变换所得图象的解析式是，因此选C.解法2：由于，故要得到的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即可，因此选C.本题主要考查对数的基本运算以及对数函数的图象变换.求解中常常因为记错对数运算法则或弄错函数图象的平移规则而失误4D【解读与点评】如图，由题意得 ，因此选D本题和数学第二册（下A.2006年6月第2版，下同）P39习题9.5中第7题相仿，主要考查正四棱柱的概念及其性质、直线与平面所成的角以及直线到平面的距离等概念.5A【解读与点评】当时， 反之，当时，有， 或，因此选A.本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因6C【解读与点评】解法1：因为 ， 由此知，所以 .因此选C.解法2：，所以 .因此选C.本题主要考查二项式定理及其展开式，考查多项式的乘法等基础知识和基本运算，考查数学的形式化求解本题容易出错的地方有三处：一是记错二项式的展开式，二是运算出错，三是缺乏对数学形式化的认识，在正确算出后，看不出的关系，进而得不出正确结果事实上，注意到是有理数，而是无理数，因此当 时，必有，这是由实数理论以及数学形式化所决定的7B【解读与点评】分两类： 0在个位时，有（个）， 0不在个位时，个位数只能从除0以外的其他4个偶数中任选一个；注意到百位数不能排0，个位数已排掉一个数，因此百位数只能从剩下的其他8个数中任选一个；百位、个位各排掉一个数，于是十位数只能从剩下的其他8个数中任选一个，故有（个）由分类计数原理，得符合题意的偶数共有 个，因此选B.本题源于数学第二册（下A）P128复习参考题十B组第41题主要考查有限制条的排列、排列数的计算以及分类计数原理、分步计数原理等基础知识和基本技能本题求解中，“0”的特殊性给求解带来了一定的困难，因而常常出错一般地，分类与整合思想的运用是解决这类问题的关键，应当倍加注意8A【解读与点评】如图，设，因为，由中点公式得注意到在抛物线上，故 消去，整理得 （*）由于恒成立，所以方程（*）恒有实数解，即对于直线上的任意一点，满足条件的点都存在，因此选A.本题具有鲜明的创新性，着意考查学生的自主学习能力考查的知识主要有直线与抛物线的位置关系以及中点公式，涉及的数学思想主要有方程的思想和数形结合的思想解题的最大障碍是缺乏阅读理解能力，读不懂关于“点”的定义这里，能称为“点”的点必须满足三个条件：点在直线上，过的直线交抛物线于两点，只有读懂关于“点”的定义，并且能够正确地将其进行量化处理，才能有效地解决问题显然，这是对学生学习潜能的有力考查本题尽管新颖，但难度不大，体现了“新题不难”的命题要求二、填空题W9【解读与点评】.本题源于数学第三册（选修）P94例2，主要考查分子和分母都含有“零因子”的极限的求法将分子分母分解因式，再约去“零因子”是解决问题的关键本题求解中常常因为缺乏在实数范围内分解因式的意识和技能，不知道可以分解成而使求解无从下手应当明了的是当时，这里，“趋向于零”并非 “等于零”，因而仍然可以施行约分运算，这是对有限与无限思想的有力考查10【解读与点评】 可行域如图所示，当 时，取得最小值，并且本题源于数学第二册（上，2004年6月第1版，下同）P64练习题第1题，主要考查简单的线性规划问题以及数形结合的思想正确画出可行域，弄清的几何意义是解决问题的关键11【解读与点评】不妨设，画出它的图象由图象的对称性易得该曲线在处的切线的斜率为.本题主要考查曲线在某点处的切线的斜率，体现了对导数几何意义的考查，涉及的数学思想主要有函数的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想这里，只要是偶函数，结论都是一致的因此，取一个具体的偶函数（如这里的）作代表进行研究即可，这是特殊与一般的思想在解题中的重要作用12【解读与点评】 又 ，故，又由余弦定理，得，所以 .本题源于数学第二册（上）P95练习题第2题以及P132复习参考题八第6题主要考查椭圆的定义、参数之间的关系以及利用余弦定理求三角形的内角等基础知识和基本技能，涉及的数学思想主要有数形结合的思想、化归与转化的思想利用余弦定理求时容易弄错符号而使结果出错，应当引起注意13【解读与点评】 解法1： 当时， 即 ，解得当时， 即 ，也即，解得. 综上，不等式的解集为，即 .解法2：在同一直角坐标系中画出函数 以及的图象由图象可看出，当 或时，；当时，函数的图象在的图象上方，即，综上，不等式的解集为本题主要考查分段函数和简单的绝对值不等式的解法、分式不等式的解法、指数式与对数式的互化、指数函数的性质等众多基础知识和基本技能以及蕴涵在其中的函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想.本题求解中有三处容易出错：一是漏掉绝对值符号，把不等式看成了；二是求解时，由于对指数函数的单调性认识不正确，因而无论是利用指数函数的性质求解还是通过指数式与对数式的互化求解，常常误以为；三是利用数形结合的思想解题时，常常因为画错图形而出错141，0【解读与点评】因为 ，所以 又， 故 .本题主要考查数列的周期性以及特殊与一般的思想求解时由于想不到将所求式中的下标改写成条件式中的下标的形式，因而常常使求解陷入困境本题体现了对数学形式化的考查要求，当欲求的式子的形式与条件中相关式子的形式完全一致时，结果也必然是一致的这既是对数学形式化的追求，也是特殊与一般思想的反映三 、解答题15【解读与点评】（）因为为的内角，且，所以 ，故 .（）由（）知， 又 ，所以 在ABC中，由正弦定理，得.所以 的面积.本题与数学第一册（下）P134习题5.9中第3题相仿，着重考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查三角形中的三角函数变换与求值的基本技能本题难度不大，然而在诱导公式的应用中若不注意符号，也常常出错，应当引起注意 16【解读与点评】解法1：第（）问很容易由底面，知.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面，又，从而平面，垂足为点，所以是与平面所成的角由于底面，所以又，故为等腰直角三角形，因此注意到Rt中，所以.由为的中点，易得于是在Rt中，所以与平面所成的角的大小为（）在（）中已证得平面注意到平面，平面，所以，于是 为二面角的平面角因为底面，故为直角三角形此时，过作，设垂足为，则点必在上，故存在点使得二面角是直二面角.解法2：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得（）易得，故，所以.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面因为，从而平面，垂足为点，所以是与平面所成的角因为为的中点，所以为的中点，故得，于是，所以.所以与平面所成的角的大小（）同解法1本题通过直线和平面垂直的判定、直线和平面垂直的性质、直线与平面所成的角、二面角及其平面角等众多知识载体，着意考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，考查空间向量及其坐标运算、两向量垂直的充要条件，考查化归与转化的思想，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力一般说来，解决空间问题的关键在于空间图形的处理，其主要形式是空间图形平面化以及平面图形空间化相比之下前者更常见一般地，较为复杂的空间图形问题常常是通过化归为平面图形来处理的本题求解中容易出错的是：在解法1中，常常因为记不清相关定理的条件和结论而使推理缺乏依据；在解法2中，常常因为坐标系的建立不恰当造成繁琐的运算而出错，或因弄错坐标而使最后结果出错17【解读与点评】（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，它等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为（）由题意，知 可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），所以 ， 即的分布列是02468所以 的期望是.此题源于数学第三册（选修）P9P10习题11第6题和第8题，主要考查相互独立事件的概率、几何分布、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.涉及的数学思想有或然与必然的思想以及分类与整合的思想求解本题容易出错的有两处：一是问题（）的求解中未能关注“首次”两字的含义，导致问题复杂化；二是问题（）的求解中，未能建立起“停留的总时间与遇到红灯次数”的关系而导致求解失误事实上，“第三个路口首次遇到红灯”与“第三个路口遇到红灯”是不一样的，前者表明“在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口才（首次）遇到红灯”，而后者强调的是，“第三个路口必须遇到红灯，而第一、第二两个路口是否遇到红灯都有可能”问题（）本质上考查了离散型随机变量期望的性质：对于离散型随机变量，若存在常数，使得，则也是随机变量，并且这里，所以，的期望也可以由求得18【解读与点评】（）， 曲线在点处的切线方程为（）由，得若，则；若，则由，得若，则；若，则综上，当时，函数的单调增区间是，减区间是；当时，函数的单调增区间是，减区间是（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增若，则当且仅当，即时，函数在区间内单调递增 综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是本题可看作由数学第三册（选修）P137练习题第14题、P123例4以及P158复习参考题三B组第2题改编整合而成，主要考查指数函数的导数公式、求导法则、导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性以及不等式的求解等基础知识，考查分类与整合的思想以及思维能力、分析和解决问题的能力本题求解中容易出错的是第（）和第（）问，常常因为未能关注对的情况讨论而使结果不完整，或因解错不等式而使结果不正确值得一提是第（）问，本质上是“恒成立问题”一般地，若函数在区间内单调递增，则不等式在区间内恒成立本题中，当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立故，即，所以同理当时，由在区间内恒成立，得两者取并即得的取值范围是19【解读与点评】解法1 ：（）由题意，得 解得 所以 ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，圆在点处的切线的方程为，化简得.由 及，得 因为切线与双曲线交于不同的两点，且，所以，且设两点的坐标分别为，则，因为，且，.于是 ，所以（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2：（）同解法1（）点在圆上，圆在点处的切线的方程为，化简得.由 及，得 因为切线与双曲线交于不同的两点，且，所以设两点的坐标分别为，则于是，所以 的大小为（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m （因为，且，所以，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）本题可看作是由数学第二册（上）P113习题8.4 第2题与P75例2整合改编而成主要考查双曲线的标准方程及其性质、圆的切线方程以及直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积等基础知识，考查坐标法等解析几何的基本思想，考查方程的思想以及思维能力、运算求解能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力本题第（）问的求解容易出错，一是向量工具作用的意识淡漠，想不到利用向量的数量积来确定的大小，导致运算繁琐而最终半途而废；二是面对大量含有字母的式子的运算束手无策运算能力薄弱是上述两种情况出错的根本原因近年数学科考试大纲及其说明中都明确指出：运算不仅包括数的运算，还包括式的运算，并且以含字母的式子的运算为主而解析几何是着意考查运算能力的题型之一，因此突出对“含字母的式子的运算为主”的考查是必然之举这无疑启示我们高考数学复习中必须突出以解析几何为载体，强化运算能力的培养本题第（）问是定值问题，这类问题较为典型，应当熟练掌握20【解读与点评】（）由于与均不属于数集，所以数集不具有性质. 由于都属于数集， 所以数集具有性质.（）因为具有性质，所以 与中至少有一个属于由于，所以 ，故.从而，所以 此时， 所以 ，故.由具有性质可知，.又 ，所以 ，从而，即，所以.（）由（）知，当时，有，即，因为，所以 ，故 ，由具有性质可知，.由，得，且，所以 ，所以，即是首项为1，公比为成等比数列.k.s.5.本题主要考查集合的意义、等比数列的定义，考查逻辑思维能力、推理论证能力和式子变形能力，具有较浓的创新味，充满了思辨性本题属于难题，困难在于第（）、第（）问的推理论证无论是（）中等式的证明，还是（）中等比数列的判定，都需要根据给定集合所具有的性质的含义，对相关元素进行恰当的配凑，并运用化归与转化的思想、对所得的式子有目的地进行变形，才能逐步获得结论而这些都需要具有较强的综合分析和逻辑思辨的能力试卷综合解读及评析一、总体评价2009年北京卷考试说明（理科）（以下简称2009年考试说明）中明确指出：（数学科）命题的指导思想是“有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育，有助于培养学生的创新精神与实践能力”在这一命题思想指导下，提出了“数学科高考旨在考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力”的考核目标2009年北京高考数学理科试题（以下简称2009年北京理科卷）很好地坚持了上述命题的指导思想，遵循了上述命题的原则和要求，在全面考查基础知识和基本技能的同时，突出了重点章节、重点板块的考查结合具体的知识内容，着意检测了学生数学思想和方法掌握的程度以及相关的能力水平2009年北京理科卷还命制了一定数量的创新型试题，以此考查学生的创新意识纵观全卷，试题平和稳定，似曾相识，稳中有变，推陈出新为中学数学教学特别是高考数学复习中真正立足教材，重视双基，跳出题海，提高素质具有很好的导向作用二、突出特点全面检测双基，突出主干知识2009年考试说明中要求“对基础知识的考查，既全面又突出重点”遵照这一要求，2009年北京理科卷，一方面对高中各章知识都作了较为全面的考查，另一方面突出了重点知识重点考查的命题要求纵览理科试卷，主干知识构成了试题的主体全卷对高中理科数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理等等都作了较为全面的检测共考查了98个知识点，占理科知识点总数的72%，突出考查了函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线方程、直线平面简单几何体、概率与统计、导数九大重点章节的知识例如第3、9、11、13、18题都涉及了对函数的考查；第5、15题，都涉及了对三角函数的考查；第8、(12)、19题，都涉及了对解析几何的考查；第14、20题，都涉及了对数列的考查；第4、16题，都涉及了对立体几何的考查；第11、18题都涉及了对导数的考查，等等注重知识交汇，考查数学能力2009年考试说明中指出，考查中要“注重学科的内在联系和知识的综合”2009年北京理科卷正是按照这一要求命制的试题将重点知识整合成了“三角函数与三角变换、数列集合与不等式、解析几何与平面向量、空间图形与平面图形、概率统计与计数原理、函数导数方程与不等式”六个知识板块，并将这六个知识板块聚焦成六个知识网络交汇点，在每一个知识网络交汇点处分别设计了一道解答题例如第15，围绕三角形中的三角函数问题，试题把同角三角函数之间的关系、两角差的正弦公式、正弦定理、三角形面积公式结合在了一起，既考查了三角函数的有关知识，又考查了三角变换的重要技能；第16题，除了涉及直线和平面垂直的判定、直线和平面垂直的性质、直线与平面所成的角、二面角及其平面角等众多立体几何知识以外，还涉及了三角形中位线定理、等腰三角形的判定、锐角三角函数等平面几何知识；第17题，尽管核心内容是概率与统计，但处理问题的过程中用到的主要工具却是分步计数原理、分类计数原理以及组合数的计算公式；第18题是一道既常规又典型的试题，试题为我们展示了一张函数、导数、方程、不等式以及直线纵横交错的知识网，很好地体现了在知识网络交汇点处设计试题的命题要求第19题是一道解析几何题，从题面看涉及了双曲线的标准方程、离心率、准线方程、双曲线参数之间的关系、圆的方程以及圆的切线方程、直线与双晲线的位置关系等众多纯解析几何知识，但在证明的大小为定值的过程中，标准答案提供的是利用两向量夹角公式以及两向量垂直的充要条件来判断的，平面向量的应用体现在解题的具体过程之中，这种解析几何与平面向量“隐性交汇”的试题，更能考查学生思维的灵活性和深刻性，对于检测学生的数学能力起到了十分重要的作用当然，用解析几何知识再利用解三角形的方法也能作出判断，但其过程要比利用向量工具复杂得多标准答案之所以提供向量解法，恰恰体现了命题者关注“解析几何与平面向量隐性交汇”这一独特的命题视角第20题的第（）、（）两问是数列与不等式的交汇问题，而要解决第（）、（）两问，必须考虑所给数集具有的性质数列与不等式的交汇似乎已众所周知，但数列与集合综合考查还是较为鲜见的，这说明随着高考命题研究的逐步深入，知识网络交汇点也必将开发出新的空间强化数学思想，发展理性思维数学思想是数学知识的精髓，是架设在知识与能力之间的一座桥梁2009年北京理科卷命制了不少考查数学思想的试题例如第(8)、(10)、13、19题考查了函数与方程的思想；第(8)、(10)、(12)、13、18题考查了数形结合的思想；第7、13、17、18题考查了分类与整合的思想；第12、16、20题考查了化归与转化的思想；第(2)、(10)、(14)题考查了特殊与一般的思想；第9题考查了有限与无限的思想；第17题考查了或然与必然的思想一份试卷20道试题中有13道试题考查了数学思想，并且考遍了所有的七种数学思想，这足以说明北京理科卷对数学思想考查的力度之大事实上，数学思想蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程之中对数学思想的考查，必然要与数学知识的考查结合进行，并且和题型有关一般说来，由于选择题和填空题的解答具有“只需写出结果而无需写出过程”的特点，这为考查数形结合的思想、特殊与一般的思想、函数与方程的思想提供了方便，而在解答题中，需要写出必要的求解过程，对推理论证、式子演算等既有思维层次的要求，又有推理严密的要求，因此更多地是考查化归与转化的思想、分类与整合的思想重视学科特点，体现学科本质数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具高度的抽象性、思维的灵活性和应用的广泛性是数学学科的基本特点高考中对双基和能力的考查必将体现数学学科的上述特点，反映在试题中，通常表现为概念的深刻性、思辨的逻辑性、量化的凸显性、解法的多样性2009年北京理科卷较好地体现了这一特点例如第18题，涉及了幂函数的导数、指数函数的导数、复合函数的导数、导数的运算法则、函数在某点处的函数值、导数的几何意义、曲线在某点处的切线、函数单调性的判断、函数在某区间内单调递增的意义、不等式的求解等众多概念尽管这些都是课本中原有的已经学过的概念，然而，只要其中有一个概念未能很好理解，那么就不可能使问题得到圆满解决又如第8题中关于“点”的定义以及第20题中关于“数集具有性质”的定义，这些都是课本中原先没有的从未见过的新概念要解决这类问题，必须读懂并领悟这些全新的概念由此看出，无论是原有概念还是全新概念的理解和掌握，都是解决问题的关键这类试题的命制，既考查了概念的深刻性，又考查了思辨的逻辑性关注数学应用，检测实践能力2009年考试说明中在关于能力的考查要求中指出：要能够解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述根据这一要求，北京理科卷第17题，以某学生在上学路上经过4个路口时是否遇到红绿灯为背景材料，命制了一个概率与统计问题通过相互独立事件的概率、几何分布、离散型随机变量的分布列和期望的求解，有效地考查了学生分析和解决实际问题的能力. 适度彰显创新，考查潜在能力2009年考试说明把“有助于培养学生的创新精神”作为命题的指导思想之一，据此命制了一定数量的创新型问题，例如第8题、第14题、第20题（比2008年增加了一道）都给人以耳目一新的感觉第8题和第20题主要新在全新概念的定义上，第14题主要新在形式化的呈现方式上试题尽管新颖，但新而不难，一改过去“面对新题望而生畏”的局面，为高考创新试题的命制提供了较好的范例，有效地考查了学生的潜能2009年是北京用大纲版教材考试的最后一年，2010年开始将使用课标版教材考试课标版教材十分关注学生的探究与发现，关注学生潜能的开发，2009年北京理科卷创新试题量与质的变化，一定程度上为2010年向课标版教材考试平稳过渡奠定了良好的基础重视依托课本，发挥教材功能由于高考试题所涉及的知识内容大多必须来自于课本，因此数学高考命题历来有“依据课本，但不拘泥于课本”的要求2009年北京理科卷很好地贯彻了这一精神，许多试题都出自于课本例如第1、2、4、7、9、10、11、15、17、18、19题都可以在课本中找到它的原型，因而给学生以似曾相识的感觉这对于高考复习重视依托课本，发挥教材功能，遏制题海战术，不搞高度加深，反对加班加点，减轻学生负担都具有十分积极的导向作用三、复习建议分析2009年北京理科卷试题的特点，结合课标课程内容的变化与高考要求，在2010年高考数学复习中，建议做到以下几点：1注重双基，突出重点注重双基，突出重点历来是高中数学教学的主旋律.事实上，重点知识是数学内容的核心，由重点知识构成的重点板块是数学内容的主体而基础知识和基本技能是学生走向社会从事各项工作的基础，同时也是众多知识综合、重点板块展示的根基随着课程改革的不断深入，双基的内涵在不断丰富因此，我们应当与时俱进地认识新双基，加强基础知识的落实和基本技能的训练，努力使学生真正理解概念、法则、公式、定理、公理等知识的内容并掌握其应用.在此基础上，既要注意章内知识的纵向发展，又要注意章节之间的横向联系；既要注意重点知识的凸显，又要注意典型方法的归类；既要注意知识个体的作用，又要注意知识网络的价值努力使突出重点板块成为在同一个学习过程中落实双基后的自然延伸. 2提炼思想，发展思维目前，中学数学界达成共识的数学思想有七种：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想由于数学思想蕴含在代数、几何、概率与统计、微积分初步等知识内容之中，因此，在数学教学和数学复习中，对数学思想的教学和应用的训练，应当和数学内容的教学同步进行善于从数学问题本身挖掘和提炼数学思想，发展理性思维，培养数学能力3关注课本，适度延拓 多年来，高中数学教学一直存在着一个普遍现象，那就是很少引导学生阅读数学课本不少教师和学生甚至认为教材中的例题尤其是练习题和部分习题“简单”而把课本扔到一边，高三复习更是大搞课外习题的推证演练.事实上，这是高中数学教学的一个误区.应当明了，一方面，数学课本是严格按照数学教学大纲、数学课程标准编写的，它是最规范、最科学的教学蓝本，另一方面，即便象高考这样的国家级考试，许多试题都源于课本，其题量（分值）通常占总题量（分值）的50%左右坚持命制一定数量源于课本的试题，一向是北京试题的一个鲜明特色，这类试题命制既有力地发挥了课本中例题、练习题、习题、复习参考题的教学功能，又有效地调控了试题的总体难度因此，在高中数学课堂教学中，我们应当重视课本，研究课本，讲透、讲活课本不仅使学生牢牢掌握课本中的有关知识，而且还要使学生掌握课本中解决问题所采用的方法和技巧在此基础上，将课本内容作恰当地分解或整合，适度地延伸或拓展，那么，课本知识必将更加丰富、鲜活4把握特点，返璞归真数学学科具有概念性强、思辨味浓、量化突出、解法多样、应用广泛的特点因此高中数学教学应遵循数学规律，把握学科特点，倡导返璞归真.在定义、法则、公式、定理、公理的教学中，要通过概念的辨析、特征的揭示和规律的总结，使学生对这些知识的具体内容理解更加深刻，掌握更加全面，应用更加灵活；通过知识形成过程的再现，向学生揭示这些知识产生的原始背景；通过定量研究，使学生对这些知识（特别是基本运算）的认识更加清晰，更加具体；通过一题多解，培养学生思维的灵活性和发散性；通过知识的广泛应用，使学生逐步认识数学的价值总之，高中数学教学要回归数学本源，要以学科思想统领数学教学的全过程，着意在知识的产生、应用和发展上作研究，在知识的深刻理解、全面掌握上下功夫，在思维的发展和能力的培养上花力气，逐步把“数学教学即为解题教学和题型训练”这种扭曲了的课堂教学校正过来，使国家倡导多年的素质教育真正落实到课堂5培养能力，适度创新现行数学教学大纲和数学课程标准都把培养学生的创新意识作为重要的能力目标，数学课程标准还强调“要让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，”为此，大纲版课程各章节后一般配有“研究性课题”，或配有“阅读材料”、“实习作业”，课标版教材设计了不少“思考”、“阅读与思考”、“探究”、“观察”、“实习作业”等栏目，以培养学生的创新意识和数学能力与此相呼应，近年来，北京市数学高考命制了不少立意深刻、情境新颖、具有较高思维价值的创新性、研究性试题这些试题的求解通常没有现成的公式、法则、定理等可以直接套用，需要通过对问题的阅读理解，从中学习并领悟出解决问题的知识，自行设计解决问题的思路和方法，体现了对思维深度和广度的考查，同时也体现了对创新意识和实践能力的考查为此，高中数学教学中，我们应当加强创新型问题的教学力度对于教材中的上述栏目，应采用研究性学习方式，鼓励和支持学生自主探索、合作交流，逐步培养学生的自主学习能力、创造性地解决问题的能力以及进一步发展的潜能2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学（必修+选修）本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径第I卷一、选择题1设集合，则( ) A B C D2已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向3若为有理数），则( )A33B29C23D194为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( ) A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.w5用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A8B24C48D120（6“”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充分必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D既不充分也不必要条件7若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60角，则到底面的距离为( )Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m B1CD8设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9若，则 .10若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答）11若实数满足则的最大值为 .12已知函数若，则 . 13椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 .14设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.三、解答题15（本小题共12分）已知函数 （）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值16（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，点在棱上（）求证：平面；（）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小17（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率 18（本小题共14分）设函数（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点19（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求m的值 20（本小题共13分）设数列的通项公式为 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求数列的前2m项和的公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学（必修+选修）试题答案及解读一、选择题1A【解读与点评】因为，所以 ，故选A. 本题的原型是数学第一册（上2000年3月第2版）P22习题15中第72题，主要考查一元二次不等式的解法、两个集合“并”的运算2D【解读与点评】因为a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，因此选D.本题源于数学第一册（下，2003年12月第1版，下同）P147 小结与复习参考例题例12题，与理科第2题是姊妹题主要考查平面向量的坐标运算，考查两向量共线（平行）的充要条件本题难度不大，但容易因为弄错符号而判断失误3B【解读与点评】解法1：因为 ， 由已知，得，.故选B.k.s.5.u.c.o.m .w 解法2：以下同解法1本题与理科第6题是姊妹题（见理科第6题）4C（同理科第3题）5C【解读与点评】2和4排在末位的排法共有种， 其余三位数应从余下的4个数中任取3个，有种排法，由分步计数原理，得符合题意的偶数共有（个）因此选C.本题源于数学第二册（下A，2006年6月第2版）P128复习参考题十B组第41题主要考查有限制条的排列、排列数的计算以及分步计数原理等基础知识和基本技能注意到偶数的特征，个位上只能排2、4之一，其余三个数位上的数可从余下的4个数中任选3个排由于是分步进行，故用分步计数原理（也称乘法原理）两个计数原理是处理排列组合问题的必不可少的工具，一般地，处理问题时需要分类进行，则用分类计数原理用（也称加法原理）；若需要分步进行，则用分步计数原理6A【解读与点评】当时，反之，当时，有， 或，因此选A本题与理科第5题是姊妹题（ 见理科第5题）7D同理科第4题8D【解读与点评】如图，为各边的明三等分点，表示的平面区域是六边形事实上，当位于六边形内部时，当位于六边形的边界时，所以集合为六边形及其内部，因此选D本题主要考查集合以及平面几何的有关知识，考查阅读理解能力以及数形结合的思想这里是点的集合，读懂中的点所满足的条件是解决问题的关键此外，六边形是正六边形，明确正三角形和正六輹形的特征及其基本性质是最终作出正确判断的重要环节在本题求解中，如果心中缺乏基本图形，那么往往不知从何下手，当然也就无法作出正确的判断本题具有较浓的创新味，但新而不难，既体现了创新问题的命题要求，又起到了考查学生潜能的目的 二、填空题9【解读与点评】由条件式知，的终边在第三象限，所以 .本题源于数学第一册（下）P18例4以及P27习题4.4中第11题，主要考查角的终边所在象限的判断、三角函数的符号、同角三角函数之间的关系等基础知识本题求解时常常因为记错符号法则而使结果出错，应当引起注意一般地，利用平方关系求正弦或余弦（本题中是求余弦），需要进行开平方运算，结果当然有正负之分，而取正还是取负，依赖于角的终边所在的象限1016；255. 【解读与点评】已知条件即，故，本题主要考查等比数列的判定、通项公式以及前项和的公式的应用求解时只要直接套用公式即可119【解读与点评】 可行域如图所示， 当时，取得最大值， 并且本题与理科第10题是姊妹题（见理科第10 题）12【解读与点评】当时，解得当时，解得，这与矛盾所以本题是已知分段函数的函数值，求自变量的值的问题，本质上是解方程问题由于函数是分段表示的，因此方程的建立需分两