(考试资料下载)(北林)2006-2007大一(下)高数试题2套(有答案)

大一（下）高数试题20 06 -20 07 学年第 二 学期考试试卷(A)试卷名称： 高等数学（理工类） 课程所在院系： 理学院 （N） 考试班级 学号 姓名 一、填空题（每题3分，共39分）1 设，则=.2 极限= 2 .3 设函数在点处取得极值，则常数 -5 . 4 函数的全微分为 .5 已知平面区域D是由直线，及所围成，则= 0 6微分方程满足初始条件的特解为.7设是微分方程的三个不同的解，且常数，则微分方程的通解为 .8周期为的函数，它在一个周期上的表达式为，则的傅里叶级数的和函数在处的值为 0 .9 设为平面在第一卦限中的部分，则 =.10 曲线在对应的点处的法平面方程是.11. 设L为下半圆周，则对弧长的曲线积分=.12函数展开为的幂级数的形式为13若级数收敛，则 -1 二、（5分）函数由方程所确定，其中有连续导数，是不全为零的常数，证明：证明：方程两边同时对求偏导得 故 三、（5分）设，求解： 四、（6分）求微分方程满足条件的特解.解：特征方程为： 特征根为： 对应齐次方程的通解是：设原方程的特解为：，将其代入原方程待定系数得.所以 故原方程的通解为 由解得 因此所求的特解是五、（6分）计算二重积分，其中.解: 六、（5分）利用格林公式，计算，其中L为以围成区域的正向边界.解: 七、（6分） 设是由曲线绕轴旋转而成的曲面.(1) 写出的方程.（2）计算，其中取下侧.解: (1) 的方程是. (2) 设为的上侧，则 八、（6分）求幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解： 收敛半径，收敛区间为 ，九、（5分）设是收敛的正项级数，收敛. 试讨论的敛散性，并说明理由.解: 是绝对收敛的. 因为收敛,所以部分和有界,从而数列有界即存在常数，使，故由于是收敛的正项级数，由比较审敛法知， 绝对收敛.十、（6分）设可导函数满足，求. 解：方程两边对求导得即求解上面的一阶线性微分方程得由于，所以，故十一、（5分） 证明: 为某二元函数的全微分，并求，计算.解因为 所以 为某二元函数的全微分故十二、（6分）求抛物面的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面方程.解：设，得抛物线在处的切平面方程为即该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为解得，由提意可知的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定的最小值为，切平面为北京林业大学2006-2007学年第2学期考试试卷答案试卷名称：高等数学（经济类、A卷） 课程所在院系：基础学院一、填空题（每小题3分，共30分）1、已知两点和,则模_ 2 _。2、以点为球心，通过坐标原点的球面方程是：。3、曲面与平面的交线平行于轴的投影柱面为。4、设，其中，则。5、设，则 6 。6、设，则。7、设，则全微分 。8、交换二次积分的次序。9、微分方程的特解。10、微分方程的特解形式可设为。二、综合计算题（每小题6分，共66分）11、设二元函数，求。 解：（2分）， （2分），（2分）， 12、求由方程所决定隐函数的导数。解：，（2分），（2分），（2分）。13、求函数在椭圆域上的最大值和最小值。解： 驻点（0，0）（2分） ，（2分）， 可能极值点 （0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0）， 最小， 最大。（2分）14、计算，是由直线和曲线所围成的闭区域。解： （2分） （2分）。（2分）15、计算，其中。解：（4分）。（2分）16、求幂级数的收敛域。解：令， ，（3分）当时，均收敛，收敛域 ，。（3分）17、判定级数敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。解： 发散，发散。（2分）设，当，单调递减，（2分）又，条件收敛。（2分）18、求幂级数在收敛域内的和函数，并求级数的和。解：，（3分） （2分）（1分）19、求微分方程的通解。解：，（2分），设 ，（2分），。（2分）20、求微分方程的通解。解：，（二重根），（2分），设，（