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微分几何教案（二十二） 6.2 曲面上的测地线6.2 曲面上的测地线一 测地线的定义 定义 曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率都为零，则称为测地线。 说明 平面上曲率为零的曲线是直线，因此测地线可看作平面上直线的概念在曲面上的推广。 以后我们还会看到，曲面上的测地线确实具有类似平面上直线的性质。 .由定义及可知：曲面上的曲线是直线该曲线是测地线,同时是渐近线.（这是因为测地线，渐近线）。 二 曲线为测地线的条件 命题3 曲面上非直线的曲线为测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。证明 曲线为测地线，则沿曲线，因为是非直线，所以 由 （为与的夹角），可知或 ，所以。反之，若曲线的主法线重合于曲面的法线，则，从而或 ， = 0，所以曲线为测地线。对照：曲面上非直线的曲线为渐近线的充分必要条件是曲线的主法线垂直于曲面上同一点的法向量。或曲线的副法线重合于曲面的法线。 由命题3知，球面上的大圆弧，圆柱面上的螺线，旋转曲面上的经线都是测地线。推论 设两个曲面沿一条曲线相切，则如果此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。 证明 两个曲面沿一条曲线相切，则两曲面沿这条曲线的法线重合。如果此曲线是其中一个曲面的测地线，则此曲线的主法线与这曲面的法线重合，从而也与另一曲面的法线重合，于是也是另一曲面的测地线。 由此可知，圆柱面的平行圆也是测地线，看来圆柱面的坐标网是两族测地线构成。另外它还有一族测地线圆柱螺线。三 曲面上测地线的方程结论：曲面S： 上测地线(C)：，的方程为 ，k=1,2 证明 (C)是测地线与重合（而，）或（利用前面的表达式），。，（因为）。即测地线的方程为 k=1,2。 注：当的坐标网为正交网时，由刘维尔公式得测地线的方程：它是一个含三个数和自变量s的一阶微分方程组。给出初始条件 时有唯一的解：。例 曲面的第一基本形式是。求证（1）u-线是测地线； （2）v-线是测地线 。 证明 (1)对于u-线，,又E=E(u),将其带入Liouville公式得u-线的测地曲率= 0 ，所以u-线是测地线。 （2）对于v-线，v-线是测地线v-线的测地曲率 = 。 四 测地线的存在性 由测地线的方程知,满足 (k=1,2)的曲线是测地线。如果给出初始条件：时，也就是 给定曲面上一点和一个切方向，根据常微分方程的理论，存在唯一一条曲线(C)：过已知点并且切于给定的方向 。于是得：定理1 过曲面
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