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微分几何教案（二十） 曲面论基本定理：5.1曲面的基本方程和克里斯托费尔符号5. 曲面的基本定理通过上面几节的讨论,我们知道,给定曲面，我们就可以得到它的两个基本形式：。 曲面的各种曲率完全由它的两个基本形式决定。因为曲率是用来描述曲面形状的，所以如果我们知道了曲面的第一、第二基本形式后，也就基本上知道了曲面的形状。现在提出这样的问题：曲面在空间的形状是否由第一、第二基本形式完全确定？说得详细一点，如果给出了u,v的两个二次微分形式，我们能否确定一个曲面，使它的第一、第二基本形式恰为上述所给出的两个微分形式？ 一般说来，这个反问题不可能有解。因为确定一个曲面需要三个函数x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一、第二基本形式是由这三个函数确定的，也即第一、第二基本形式中的六个函数E(u,v),F(u,v), N(u,v)是有联系。反过来说，如果这六个函数之间没有联系，就不可能确定一个曲面。由六个函数确定一个曲面,就是确定三个函数x(u,v),y(u,v),z(u,v).这六个函数只有三个是独立的。也就是说，这六个函数之间有三个关系式。这一节的目的就是要寻找这三个关系式,称为高斯科达齐迈因纳尔迪公式，并将证明定理：给出两个二次微分形式，如果它们满足高斯科达齐迈因纳尔迪条件，则存在一个曲面面，它的第一、第二基本形式正好就是给定的两个二次微分形式。为了把一些式子表达得更有规律些，本节将采用以下一些新的记号，以后将同时采用这一套符号和以前采用的记号。记，。，并且注意，。5.1 曲面的基本定理和克里斯托菲耳（Christoffer)符号在曲线论中，曲线的三个基本向量的导向量可以用三个基本向量来表出,即有弗雷内(Frenet)公式。在空间给出一个类曲面S：,它确定了向量，。那么这三个向量的导向量能否由这三个向量表出呢？表出的系数是什么呢？结论 对于,我们有 , 这式称为曲面的基本方程。第一式称为高斯方程，第二式称为魏因加尔吞方程。其中称为第二类克里斯托菲耳符号，也记作，简称克氏记号。而ij,l= 叫做第一类克里斯托菲耳符号。而 。证明 我们设的导向量用表示的表达式为 （*） 下面我们确定这些式子的系数 。 将(*)的第一式点乘，注意到，因此得 因为,对此式求导数得，由于和（*）的第一式，所以，即： ,两边左乘得 即 即 。 下面确定（*）中第二式中的。用点乘（*）中第二式的两边得，I,j=1,2因此（像求一样）得 (2) 将(1)(2)带入( *) 即得所证关系式并且 。注：采用过去的记号： ， 。于是得六个系数如下：，；而。对于正交
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