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万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试全真模拟试题数学二一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是（ ）(A) (B) (C) (D) （2）当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则 (A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能 （3）设在上连续且单调减少，则在内 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值 （4）设周期函数f(x)在内可导，周期为4，又极限 ，则曲线y=f(x)在点处的法线斜率为 (A) (B) 0 (C) 1 (D) （5）设函数具有二阶导数，并满足且若 则(A) (B) (C) (D) . （6）设，常数.则积分的值（ ） (A) 为正 (B) 为负 (C) 为零 (D) 当时为正，当时为负 （7）设，为三阶非零矩阵，且，则 （A）时，必有. （B）时，必有. （C）时，必有. （D）时，必有 （8）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）极限.（10）曲线在点处的曲率为.（11）定积分 为正整数）的值为 （12）交换积分次序 .（13）已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为.（14）设A为三阶实对称矩阵，是的解，是的解，则常数.三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）证明：方程内有且仅有3个实根，并指出它们各分布在哪几个互不相交的区间上.（16）（本题满分11分） 已知，求.（17）（本题满分10分）设在的某邻域内具有二阶连续导数，曲线和具有相同凹凸性.证明曲线和在点处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当时，是比高阶的无穷小。（18）（本题满分10分）已知函数有二阶连续偏导数，且，又设是由确定的函数，求.（19）（本题满分11分）设单调增加，存在连续导数，与互为反函数. 证明： .（20）（本题满分10分）设函数在上连续，且满足方程, 求。（21）（本题满分10分）设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。（22）（本题满分11分）设为四维列向量，。已知的通解为，其中为对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数。令，试求的通解。（2
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