(考试资料下载)万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一全真模拟试题及答案 模拟题（1）答案

数学一选择1、【详解】应选(B).由已知条件，可设 ，则. 若，则+是关于的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小，必有。故应选(B)。2、【详解】令，则时，且， ， 由积分中值定理得到：存在，使，于是 . 令，由闭区间上连续函数的零点定理知，必有。 当时，因单调减少，必有，从而；当时，有，故为的极大值点，因此应选(D).3、【详解】应选(A). 因为，。所以，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，法线斜率为。由已知条件知，所以， 法线斜率为。4、【详解】应选(C).（1） 对于正项级数，若，则发散，但反过来不一定成立。因而(A)不成立。如：（2） 若收敛，则收敛，但反过来不一定成立，因而(B)不成立。如：。（3） 若，均收敛，则收敛，但反过来不一定成立。因而( D)不成立。如：（4） 用反证法易证选项(C)正确。假设收敛，由于，且，故 ，均绝对收敛，与已知矛盾，故应选(C).5、【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).6、【详解】选项(D)正确.因为线性相关，所以，又，所以选项(D)正确.。7、【详解】应选. .8、【详解】应选. 事件“第次命中目标恰在第次射击时” “前次射击中恰好命中次且第次射击时恰好命中”. 因此 .9、【详解】令为，则10、【详解】形如 的方程称为伯努利方程，其解法是固定的，方程两端同时除以，令，即令，则, 即 .原方程化为, 即.从而化为一阶线性非齐次微分方程。下面套用上述固定解法用同时除以方程两端，得 .令，则, .即,故 通解为。11、【详解】 同理 于是12、【详解】根据收敛半径的定义，x=2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。又因为在x=0处，级数=条件收敛，因此应填0, 2.13、【详解】或.14、【详解】 因为，所以与相互独立，. 又 ，15、【详解】= =38.16、【分析】本题可用泰勒展开式进行证明。把“相交”“相切”和“有相同的曲率圆”的数学式子列出来即能得证。【详解】先证必要性。 由已知曲线和在点处相交，相切，可知. 又由两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆，知和同号，且 ，从而.于是 .因此，当时，是比高阶的无穷小。 再证充分性. 由于，可知， 所以曲线和在点处相交。 又 可知 ，即， ，所以曲线和在点处相切。 利用泰勒公式 因此，所以两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆。17、【详解】旋转体的体积.由已知， ，故有 .两边对x求导得微分方程 ，因此得（C是任意常数）.18、【证明】由题设，当时，绝对收敛。设，则 =5+ =5+=5+，即 .解此一阶线性微分方程得 由条件，得，故.19、【详解】化为第一类曲面积分.因S的正法向量的方向余弦为 . 从而，其中为平面S上的面积元素.所以， =.20、【详解】因为，且有 ，于是有 ，.可见线性无关，且为的特解。又由知为的非零解，可作为基础解系，故的通解为，其中为任意常数。21、【详解】1）由、满足，知，又，则为的二重特征值。且存在两个线性无关的特征向量。由 知也为的特征值。故的特征值为。 2）由1）知，二重特征根有两个线性无关的特征向量。又不同特征根所对应的特征向量无关。故存在4个线性无关的特征向量，则可对角化。 3）的特征值为 则。22、【详解】区域D实际上是以为顶点的正方形区域，D的面积为.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度（）设，. （1） X的概率密度，在区域D上，.当时， 当时， 当或时，.于是 X的概率密度为 （2）在区域D上，所以 . 当时，；当时，； 当时，. 则 于是 Z的概率密度为 . （） 因为 X的概率密度为偶函数，所以，所以 ，.（），所以，在X=0条件下，Y的条件密度23、【详解】（）因为，即X服从参