(考试资料下载)万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一全真模拟试题及答案 模拟题（2）答案

数学二1、【详解】由 ，当固定时，对单调下降，故对时，有 ； 又由，当固定时，对单调上升，故对时，有 ；因此，当时，有 .应选(C).2、【详解】应选(B).由已知条件，可设 ，则. 若，则+是关于的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小，必有。故应选(B)。3、【详解】令，则时，且， ， 由积分中值定理得到：存在，使，于是 . 令，由闭区间上连续函数的零点定理知，必有。 当时，因单调减少，必有，从而；当时，有，故为的极大值点，因此应选(D).4、【详解】应选(A). 因为，。所以，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，法线斜率为。由已知条件知，所以， 法线斜率为。5、【详解】应选(B)。由知，是周期为1的周期函数，而可导的周期函数的导函数仍为周期函数， 因而均是周期为1的周期函数。又为奇函数，故 ， ，且 又因 为偶函数，为奇函数，故，因此于是有 应选(B)。6、【详解】应选(C) 为零。 化成直角坐标 因为积分区域 关于直线对称，所以 于是 因为被积函数关于是奇函数，并且积分区域 关于轴对称，所以 .7、【详解】选项（C）正确.8、【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).9、原式=10、【详解】曲线的参数方程为 .则 ，将代入得 .11、【详解】令，则 . 故 12、【详解】.13、【详解】与都是相应齐次方程的解, 也是齐次方程的解, 和是两个线性无关的齐次解; 而是非齐次方程的解.因此,该二阶线性非齐次微分方程的通解为. 求导得 在求导得 消去便得微分方程 14、【详解】或.15、【详解】令 则。当时，和内严格单调减。又因为 ，所以内有且仅有一个零点，在（-1，1）内至少有一个零点。因为由于上严格单调，故上的零点个数最多不超过1个，由此知在上的零点个数最多不超过2个，在上的零点个数最多不超过3个，从而原方程共有3个实根，它们各分布在区间之内。16、【详解】= =38.17、【分析】本题可用泰勒展开式进行证明。把“相交”“相切”和“有相同的曲率圆”的数学式子列出来即能得证。【详解】先证必要性。 由已知曲线和在点处相交，相切，可知. 又由两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆，知和同号，且 ，从而.于是 .因此，当时，是比高阶的无穷小。 再证充分性. 由于，可知， 所以曲线和在点处相交。 又 可知 ，即， ，所以曲线和在点处相切。 利用泰勒公式 因此，所以两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆。18、【详解】 由于是由确定的函数，因此求与 等偏导数的运算都要利用隐函数的求导方法，要将y与z看作自变量。 将两边对y求偏导得 ，解得 ；同理，将两边对z求偏导得 .又 ；而 ，且 =.由已知条件得，=0.19、【证明】设辅助函数 . 因为 ， 所以 . 又 ， 故 ，. 因此 .20、【详解】计算 因此。求导，得，即 .通解为 。在原方程中，令，得，代入通解中，定出。故所函数数为 。21、【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为或22、【详解】因为，且有 ，于是有 ，.可见线性无关，且为的特解。又由知为的非零解，