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1996年量子力学考研试题 一. （见习题选讲6.1）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 其中，量子数的取值范围是 利用归一化条件求出归一化常数为 主量子数的可能取值只有两个，即，于是 角动量量子数的可能取值只有一个，即，故有 角动量磁量子数的可能取值有两个，即，于是 二. （见习题选讲7.4）已知算符满足 证明，并在表象中求出的矩阵表示。解：由题中所给条件可知 设算符满足的本征方程为 则有 由上式可知 显然，有 在自身表象中， 设算符在表象中的矩阵形式为 利用 得到 再利用 又得到 只有 否则，算符。最后，根据条件 即 可定出 在表象中的矩阵表示为 其中，为任意实常数。 三. （见2001年第二题）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。解：视为参变量，则有 利用费曼-海尔曼定理可知 又知 在任何束缚态下，均有 所以， 进而得到能量本征值满足的微分方程 对上式作积分，得到 利用时，定出积分常数 最后，得到的本征值为 四. 两个自旋为的非全同粒子，自旋间的相互作用是，其中，是常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的负方向，求时测量粒子2的自旋处于轴负方向的几率。解： 体系的哈密顿算符为 选择耦合表象，由于，故四个基底为 ；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即 可以直接写出它的解为 ， ， ， ， 已知时，体系处于 因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为 粒子2处于轴负方向的几率为 五 （类似习题选讲9.4）三维各向同性谐振子的能量算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，求基态能量到二级微扰修正，并与精确解比较。 解：已知的本征解为 因为基态无简并，故可以直接使用无简并微扰论公式 利用公式 可知 于是有 能量的二级修正为 近似解为 利用坐标变换求体系的精确解。由于微扰项与方向无关，故可以只考虑另外两个方向的坐标变换。令 即 可以证明 因此，哈密顿算符可以改写为 若令 ； 则哈密顿算符为 最后
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