1数学课件 5_第十五章_数系的扩充与复数的引入

第十五章 数系的扩充与复数的引入知识网络复数的概念复数的代数形式复数加减运算的几何意义复数的几何意义复数代数形式的四则运算第1讲 复数的的概念 知 识 梳理 1复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示2复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.3复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数4复数集与其它数集之间的关系：5两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，那么, 6复数的模：设=,则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作.(1)；(2)=；(3)；7共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数. 重 难 点 突 破 1.重点：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)2.难点：复数的有关概念的应用3.重难点：.(1) 复数与实数的区别.问题1: 判断下列命题是否正确 (1)若, 则 (2)若且，则 (3)若，则 点拨：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正确的 (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的. (3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件. 正解：(1)错，反例设则 (2)错，反例设，满足，但不能比较大小. (3)错，故，都是虚数，不能比较大小.（2）正确理解复数的相关概念问题2: 两个共扼复数的差是（ ）.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数点拨:当得到时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为及则 或当时，为纯虚数当时，因此应选D. 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：复数的概念题型1.考查基本概念例1 (广东省四校联合体第一次联考)下面四个命题(1) 比大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）A B C D 解题思路：抓住基本概念，以概念为辨析的依据。解析：答案：A (1) 比大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数； （3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；（4）当时，没有纯虚数和它对应 例2 实数分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数.解题思路：正确理解复数的相关概念要特别注意复数za+bi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0解析：实部，虚部.（1）当 时，是实数；（2）当 ，且 时，是虚数；（3） 当 或 时是纯虚数【名师指引】解决与复数基本概念相关问题的基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识要有较完整的认识，以及能利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 【新题导练】1(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）.A2B1C2D1或 2 解析： 即 ，故选择答案A2(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)计算： （表示虚数单位）答案：952i解析：用好的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 题型2。与模相关的问题 例3 (广东省五校2008年高三上期末联考)设复数满足，则=（ ）A B C D 解题思路：解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点解析： ，所以，代入得，故选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B【名师指引】要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念及性质.【新题导练】3. (广东北江中学业2008届高三统测)设复数满足,且是纯虚数,求 解析：设，由得；是纯虚数，则，4复数z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则z1=z2的充要条件是_.答案：a=c且b2=d2解析：z1=z2a=c且b2=d2. 抢 分 频 道 基础巩固训练1 (四川省乐山市2008届第二次调研考试)复数的虚部为( )A B C D 答案：D ，虚部为2 (北京市东城区2008年高三综合练习)使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A B C 为实数 D 为实数答案：B ；，反之不行，例如；为实数不能推出 ，例如；对于任何，都是实数3 (东北三校2008年高三联考)设则的关系是( )A B C D 无法确定答案：A 4 (广东省五校2008年高三期末联考) 已知集合的元素个数是( )A B C D 无数个答案：B 5(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设i为虚数单位，则展开式中的第三项为A B C 30 D 解析：在展开式中，故选D.6(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)若，其中是虚数单位，则ab_答案：3综合拔高训练7如果是虚数，则中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组 答案： 四个为虚数；五个为实数；三组相等8(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)计算 答案： 记 9（成都四中2008高三数学统测）已知复数z1满足(1+i)z1=1+5i, z2=a2i, 其中i为虚数单位,aR, 若,求a的取值范围.解: 由题意得 z1=2+3i,于是=,=.,得a28a+70, 解得1a7.10已知复数满足: 求的值 解：设，而即则第2讲 复数的运算 知 识 梳理 1复数与的和的定义：2复数与的差的定义：3乘法运算规则：设，(、)是任意两个复数，那么它们的积4复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者则 5复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义复数 是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.6. 重要结论对复数z 、和自然数m、n，有，(2) ，； ，.(3) ，.(4)设， 重 难 点 突 破 1.重点：掌握复数的运算法则，复数加减法的几何意义及应用2.难点：复数相关问题的综合应用3.重难点：.(1) 不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来问题1: 判断下面的命题(1)；(2)；(3)；(4)；(5)解析：当时，不总是成立的.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)点拨：充分注意实数运算与复数运算的区别。（2）没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性问题2：求值：原式=点拨：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.（3）注意运用共轭复数的性质问题3: 已知，求的值点拨：对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会. 热 点 考 点 题 型 探 析考点一：复数的四则运算题型1. 利用复数四则运算求值例1 （广东北江中学2008届数学专题） ( )ABCD解题思路：运用公式，按步求解 解析：， 故选C 例2 (江苏省南通市2008届高三调研考试)设=+i,A=x|x=k+k,kZ,则集合A中的元素有A.1个B.2个C.3个D.4个解题思路：用的性质。解析：设=+i,则3k=1,3k+1=,3k+2=(kZ),当k=3n,nZ时，x=1+1=2;当k=3n+1,nZ时，x=+=+2=+=1;当k=3n+2,nZ时，x=2+=2+=1 答案: B【名师指引】熟记一些常用结论有利于简化运算，快速解题。【新题导练】1（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）（ ）ABCD 答案：C2(黄家中学高08级月考)求复数（ ）（A） （B） （C） （D）【解】： 故选C；考点二: 复数加减法几何意义的应用题型1: 复数及其运算的几何意义例3 (广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解题思路：，解析：B 例4 满足条件的点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆解题思路：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数 动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.解析：点（0，2）与（-1，0）间的距离为， 动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C【名师指引】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义，熟记一些常用曲线的复数表示。【新题导练】1(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：A2(广东省五校2008年高三上期末联考)满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆答案： |3+4i|=5满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是圆心为（0，1），半径为5的圆。故选C 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 （ ） A、-6 B、13 C. D. 答案：A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）A第一象限； B第二象限； C第三象限； D第四象限；答案：A3(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）A0 B C D答案：将各选项代入检验易得答案选B.4(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)已知复数，则（ ）A BC D 答案：C5(山东省济南市2008年2月高三统考)的共轭复数是（ ）A B C D答案：B6(湖北省鄂州市2008年高考模拟)虚数（x2）+ y其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（ ） A， B（C， D，0（0，答案：B , 设k =,则k为过圆（x2）2 + y2 = 1上点及原点82615205的直线斜率，作图如下, k, 又y0 ,k0.由对称性 选B综合拔高训练7(广东省四校联合体第一次联考)复数的虚部是 。答案：8（安徽省泾县中学2008高三数学单元检测）复平面内，已知复数z=xi所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是_.解:z对应的点z(x,)都在单位圆内， |Oz|1,即1.x2+1.x20,aR),复数=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差是，求复数.解:把z=代入,得=(+i)=()=(1+ai).于是a，即a2=4.a0,a=2,=+3i.第十七章 综合检测一、选择题（第小题5分，共40分）11.已知z1=2i,z2=1+3i，则复数的虚部为（ ）A.1B.1C.iD.i答案: C解：=i. 2(1i)2i等于（ ）A.22iB.2+2iC.2D.2答案:D解:(1i)2i=(12i+i2)i=(12i1)i=2ii=(2)(1)=2. 3复数z1=3+i,z2=1i，则z=z1z2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案: D解:z1z2=(3+i)(1i)=42i. 4已知复数z与(z+2)28i均是纯虚数,则z等于（ ）A.2i B.2iC.iD.i答案:B解:设z=bi(bR且b0),则(z+2)28i=(bi+2)28i=b2i2+4bi+48i=(4b2)+(4b8)i. b=2.z=2i. 5定义：.若复数满足，则等于A. B. C. D.答案：A6，若 则的值是（ ）A2i B C D答案：A7设复数，则展开式的第五项是（ ） A-2i B-21i C35 D-35i答案：C8设f(n)=()n+()n,nN,如果Af(n),则满足条件的集合A有（ ）A.8个B.7个C.3个D.无穷多个 答案: A 解:f(n)=( )n+()n=in+(i)n(nN)=f(n)=0,2,2.Af(n)=0,2,2,A的个数是23=8. 二、填空题（第小题5分，共30分，其中1315是选做题，选做两题）9的值等于_.解: =2+3i.10若，其中是虚数单位，则ab_答案：3 提示：利用复数相等可得。11已知复数z = (1 i)(2 i)，则| z |的值是 答案：12已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是 答案： 提示：几何意义是可行域上的点到定点（1，-2）的距离的最小值。13（选做题）设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z对应点在直线x-2y+1=0上, 则m的值是 .解析: 设z=log2(m2-3m-3)+i log2(m-3) (mR), 若z对应点在直线x-2y+1=0上, 则log2(m2-3m-3)-2 log2(m-3)+1=0故2（m2-3m-3）=(m-3)2 m=或m=-（不适合）14（选做题）若a0, 且z|z|+az+i=0, 则复数z = 解析: 若a0, 且z|z|+az+i=0, 则z(|z|+a)+i=0, |z|+a0,故 z为纯虚数，设z = yi (y , 则 (|y|+a)yi+i=0 故y2-y-1=0y = z =15（选做题）若tR, t-1, t0时,复数z =的模的取值范围是 .解析: 若tR, t-1, t0时,复数z =的模为|z| 则|z|2=故z的模的取值范围是三、解答题（共80分）16（本题满分13分）已知复数(2k23k2)+(k2k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围.解:复数对应的点在第二象限，即12分k的取值范围为(，0)(1，2). 13分17（本题满分13分）已知集合A=z|z-2|2，B=|z|z=z1i+b，z1A，bR（1）若AB=，求b的取值范围；（2）若AB=B，求b的值解：由B中元素z=z1i+b，得z1=-i(2z-2b)，z1A，|z-2|=|-i(2a-2b)-2|2