(免费资料)2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数，则的零点个数（ ）01 23解：.分析：，恒大于0，所以在上是单调递增的.又因为，根据其单调性可知只有一个零点.（2）函数在点处的梯度等于（ ） 解；.分析：由 所以（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）.解：.分析；由可知其特征根为.故对应的特征方程为 所以所求微分方程为, 选.（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.解：分析：若单调，则由在内单调有界知，单调有界，因此收敛,应选.（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. 解：选分析：，故均可逆。（6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）0.1. 2.3. 解：选分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为，故的正特征值个数为1。（7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . 解：选分析；（8）设随机变量，且相关系数，则（ ） . 解：选分析：用排除法设，由，知道正相关，得，排除、由，得排除 故选择二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程满足条件的解是. 解：分析；由所以，又，所以.（10）曲线在点处的切线方程为.解：.分析：设，斜率，在处，所以切线方程为，即（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.解：.分析：由题意知的收敛域为，则的收敛域为.所以的收敛域为.（12）设曲面是的上侧，则.解：分析；（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为.解：1分析：记可逆，故与有相同的特征值，故非零的特征值为1。（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.解：分析；因为 ，所以 ，服从参数为1的泊松分布，所以 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限解： (16)（本题满分10分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.解：(17)（本题满分10分）已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.解：得： 得：.(18)（本题满分10分）函数在连续，证明在可导，且.证 ：设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为： 由此得函数的增量再应用积分中值定理，即有等式这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值 由于假设连续，而时，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且 (19)（本题满分10分），用余弦级数展开，并求的和解：由为偶函数，则对所以 取 ，得 所以 (20)（本题满分11分），是三维列向量，为的转置，为的转置（1）证；（2）若线性相关，则.解：为三维列向量，则，线性相关，不妨设，（21）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证（2）为何值，方程组有唯一解，求（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解解：方程组有唯一解由，知，又，故。记，由克莱姆法则知，方程组有无穷多解由，有，则，故的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。又，故可取特解为所以的通解为为任意常数。（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度解：（1）（2）当时，当时，当时，当时，当时，当时，所以 ，则（23）（本题满分11分）