(高考资料)2010届高考数学

2010 届高考数学 函数模块的分析、预测及复习策略 安化二中数学备课组 黄先锋 一、函数模块在高考中的考查分析 函数概念是高中数学的核心概念之一，函数知识是高中数学内容的主干内容，函数的思想方 法贯穿于整个高中课程的始终，其基础知识在现实生活、社会、经济及其其他学科中有广泛的应 用，运用函数的基础知识和思想方法又是进一步学习数学和许多其他学科的重要基础，因此，对 函数知识和思想方法的考查是各省市历年高考的一个聚焦点，2010 年我省将迎来新课改后的第一 轮新高考，在函数知识的考查上也将出现新的变化，因此有必要了解 2009 年各课改试验区的命题 特征， 09 年新课标高考省份数学试题函数主线的考查情况表 函数的图 象与性质 函数的零 点 指数与对 数函数 导数的几 何意义 利用导数 研究函数 性质 数列的性 质与基本 运算 数列的综 合应用 山东卷 6，16，2 1 141020 广东卷 8203421 海南宁夏1321 江苏卷11、2010931417 安徽卷6919521 天津卷8420622 浙江卷 102211 福建卷514204 辽宁卷9127216、14 2010 年考纲要求变化的考点：1.分段函数能简单应用；2.体会导数在解决实际问题中的作用； 3.反函数不作要求； 纵观 2009 年各课改试验区的高考数学试题，函数的考查呈现如下特征： 1、围绕函数的主干知识，从数学知识的内在联系上进行函数基本知识和基本技能的考查。 函数的主干知识包括：函数解析式、函数图象与性质及应用、导数等。2009 年高考数学函数 试题都是围绕这些主干知识。考查数学的纵向、横向联系，强调知识的综合性和系统性。 例 1（09.天津）已知函数 若则实数的取值范围 2 2 4 4 )( xx xx xf 0 0 x x )()2( 2 afafa 是（ ） A B), 2() 1,()2 , 1( C D) 1 , 2(), 1 ()2,( 解析：由的图象可知在 R 上为单调增函数，由得解)(xf)(xf)()2( 2 afafaa 2 2 得：。答案为 C12a 命题立意：本小题考查分段函数及其图象，函数的单调性以及解一元二次不等式的能力，考 查函数，方程，不等式三者之间的联系， 体现了化归思想。 例 2（09.山东 6 题） 解析：根据函数的单调性故选 A。 2、淡化特殊的解题技巧，强调考查基本数学思想方法。 2009 年高考对函数的考查的另一特征是与导数、不等式、数列、三角函数、向量、解析几何、 线性规划等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法的考查，并贯穿于整个 考题的始终，并在考查中力求淡化特殊的解题技巧，注重通性通法。 例 1（09 江苏 20 题）20设为实数，函数a| )(2)( 2 axaxxxf （1）若，求的取值范围1)(xfa （2）求的最小值)(xf （3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解),(),()(axxfxh1)(xh 集。 解析：略 命题立意：本题主要考查函数的概念，性质，图象及解一元二次不等式等主干知识，考查灵 活运用数形结合，转化思想、分类讨论的思想方法进行探索，分析与解决问题的综合能力。 例 2（09 福建 20 题）20已知函数且。, 3 1 )( 23 bxaxxxf0) 1( f （）试用含的代数式表示，并求的单调区间；ab)(xf （）令=1，设函数在处取得极值，记点a)(xf)(, 2121 xxxx 请仔细观察曲线在点 P 处的切线与线 212211 ),(,(),(,(),(,(xmxmfmPxfxNxfxM)(xf 段 MP 的位置变化趋势，并解答以下问题： （1）若对任意的，线段 MP 与曲线均有异于 M，P 的公共点，试确定 t 的最,( 1 xtm)(xf 小值，并证明你的结论； （2）若存在点，使得线段 PQ 与曲线有异于 P，Q 的公共点，请mnxnfnQ 1 ),(,()(xf 直接写出 m 的取值范围（不必给出求解过程） 。 解析：略。 命题立意：本题主要考查函数，导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查 函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合等思想。 3、坚持数学的应用性，强化应用意识的考查。 函数来源于实际生活，又服务于实践，对函数的考查也按照“贴近生活，背景公平，难度适 当”的基本要求，考查了学生运用函数知识，数学观点，函数方法处理实际问题的能力，考查了 学数学，用数学的数学应用意识。 例 1（08 江苏 17 题） 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20，km CB=10，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且与 A,B 等km 距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为；ykm （1）按下列要求写出函数关系式； 的的函函数数关关系系式式；表表示示成成将将（ ),BAOyrad 设 OP=，将表示成的函数关系式。)(kmxyx （2）请你选用（1）中的函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最 短。 解析：略 命题立意：本题考查函数的概念，解三角形，导数等基础知识，考查数学建模能力，抽象概 括能力和解决实际问题的能力。 例 2（09 山东 21 题）两县城 A 和 B 相距 20,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧km 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的 总影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度xkm 为，统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例y 系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理k 厂建在弧的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065。 （1）将的函数；xy表示成 （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由。 解析：略 命题立意：本题主要考查了函数在实际问题中的应用，待定系数法求函数解析式的能力和运 用换元法及利用导数研究函数单调性等问题，考查了数学建模能力。 4、开放探索，强化考查探究意识和创新精神。 新课程标准提出了培养学生创新意识和创新能力的要求，2009 年高考对函数知识的考查也体 现了这一理念，出现了一些形式多样，解法灵活的试题，要求学生灵活运用数学知识和数学方法， 采用各种转化手段将问题简单化，标准化，具体化；同时要求学生（1）能从题目的条件中提取有 用的信息从题目的求解中找出需要的信息。 （2）能从记忆系统里储存的数学登记处中提取相关的 信息，作为解题的依据，推动信息的延伸。 （3）将上述过程中获取的信息联系起来，进行加工重 组，从而考查学生对新信息的分析处理能力，对新定义的理解能力，考查了学生的创新意识。 例 2（09 浙江 22 题） Q O PC D B A 解析：已知函数。Rkkxxkxgxxkkxxf其中, 1)(, 25) 1()( 22223 （1）设函数在区间（0，3）上不单调，求的取值范围；)().()()(xpxgxfxp若k （2）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零 . 0 ),( , 0),( )( xxf xxg xqk 1 x 实数成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。)( )( ),( 12122 xqxqxxx使得k 命题立意：本题为主要考查函数的基本性质，导数的概念，导数的应用等基础知识，同时考 查逻辑推理能力与创新意识，纵观全国各地的高考试题，对函数的考查都抓住了函数主干知识进 行命题，充分体现对数学思想，数学方法的考查，也注重知识和综合，努力实现全面考查综合素 养的要求，充分体现考纲和新课程标准的要求；同时呈现向“新” “活”方面发展的趋势，对思维 能力，逻辑推理能力，实践能力及创新意识的培养也都有了很大的变化。 随着新教材的使用和新课改的推广，函数的学习内容和考试要求势必出现变化与要求；与以 往的考纲相比，新考纲发生了如下变化：加强了函数与方程，不等式，算法等内容的联系，如 要求了了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象用二分法求相应方程的近似解； 淡化了反函数概念。对函数的定义域和值域，只要求会求一些简单函数的定义域和值域。 提升了对数形结合，几何直观等数学思想方法的考查要求，如要求理解函数的单调性，极值，最 大（小）值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二、2010 届高考数学函数模块试题预测。 2010 年我省高考数学对函数的考查将会遵循“高考大纲”的要求，凸显新课程标准的理念， 旧面孔将淡出江湖，如反函数，极限等；新生代将浮出水面，如函数的零点、定积分等，在考查 函数基础知识的同时，注重考查数学能力，在命题的思路上将表现出新课标引领高考新动向的趋 势。 1、更注重三基考查， “主干知识”仍然是函数知识考查的立意点。 函数的概念图象与性质是函数的主干知识，高考时一定是在掌握主干知识的基础上进行知识 的纵向、横向联系，从知识网络交汇处命题，要求学生在巩固基础知识的同时，更要重视分析能 力，探索能力和建模能力的训练与强化。 如（09 全国卷11 题）函数的定义域为 R，若都是奇函数，则)(xf) 1() 1(xfxf与 A是偶函数 B是奇函数)(xf)(xf C D是奇函数)2()(xfxf)3( xf 解析：由为奇函数，有的对称中心为（-1，0） ，由为奇函数，有) 1( xf)(xfy ) 1( xf 的对称中心为（1，0） ，综上可知是周期的周期函数，)(xfy )(xfy 4T 所以，故选 D) 1()3(xfxf 2、更注重思想方法，函数与方程思想仍然是函数知识考查的灵魂。 数学思想方法是数学知识所不能替代的，是数学内层知识它与数学知识互相促进，才能更深 刻理解数学，从整体上认识数学，灵活地运用数学从而实现数学创造，可以说数学思想方法一定 会贯穿在函数考查的始终，因为函数的本质是反映两个变量之间的相互依赖关系。 3、更注重数学应用，函数应用题呈星火燎原之势。 对函数应用意识的考查，一直是高考命题的一个热点，其重要地位在 2010 新课程高考中不会 改变，只会“常考常新” ，应用题的设计一定符合“贴近生活，背景公平，控制难度”三个要素， 注重考查学生的数学实践能力，应用能力，应用意识。 4、更突出能力立意，探索创新是函数考查的新动向。 新课标提出了培养学生创新意识和探究能力的目标，2009 年高考试题中对函数考查的开放型 和创新型试题体现了新课标的理念，这就要求学生灵活运用