2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题分析及答案

2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是(A). (B) (C) . (D) . 【分析】 因此选（）（2）曲线渐进线的条数为 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】 只有间断点由于故为垂直渐进线.又 故时有水平渐进线又 故时有渐进线因此选(D).（3）如图,连续函数在区间3, 2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设，则下列结论正确的是 （A） (B) (C) (D) C 【分析】注意，大、小半圆的面积分别为与。按定积分的几何意义知，当时，当时。 因为为奇函数为偶函数。 因此 选（C）（4）设函数在x=0处连续，下列命题错误的是(A) 若存在，则(B) 若存在，则 (C) 若存在，则存在(D) 若存在，则存. C 【分析】 设，则存在，但不存在因此（D）是错误的。选（D）。（5）设函数在（0，+）上具有二阶的导数，且令，则下列结论正确的是 (A) 若则必收敛。 (B) 若则必发散。(C) 若则必收敛。 (D) 若则必发散。 B 【分析】 由单调上升。只有以下三种情况：（1）在（0，），在,又时（2）对所有且（3）对，则或。如， ，又如， 但不正确由（1），（2）（C）不正确，而（D）正确。因此，选（D）。（6）设曲线L：具有一阶的连续偏导数），过第象限内的点M和象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是 (A) (B) (C) . (D) D 【分析】记点与的坐标分别为将代入被积表达式得(B) 因为将 求全微分得因此选（）（）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) (B) (C) . (D) 【分析】因为所以向量组线性相关，故选（）至于（）、（）、（）的线性无关性可以用的方法来处理。例如由于，故知线性相关。（）设矩阵则与(A) 合同，且相似 (B)合同但不相似 (C)不和同，但相似. (D)既不合同，也不相似 B 【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见和肯定不相似。由此可以排除（）与（）。而合同的充分有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由，矩阵的特征值为，3，0。故二次型的正惯性指数，负惯性指数，而二次型的正惯性指数也为，负惯性指数，所以A、B合同。故应选（B）。（）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p（，则此人第次射击恰好第次命中的概率为(A) (B) (C) . (D) . 【分析】 设事件A=“第4次射击恰好第2次命中目标”，则A表示共射击4次，其中前3次只有1次击中目标，且4次击中目标，因此应选（C）。（）设随机变量（，）服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度为(A) (B) (C) . (D). 【分析】 由于服从二维正态分布，因此从与不相关可知与相互独立，于是有应选（A）若仔细分析，由于X与Y不相关，即，因此的联合密度为而X，Y的边缘密度分别为，。也可知选（A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（11） 【分析】 原式。（12） 设为二元可微函数，则【分析】由多元复合函数求导法，有（13） 二阶常系数非齐次线性方程的通解为y【分析】 特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得因此，通解为（14） 设曲面则【分析】 关于平面对称，对为奇函数由变量的轮换对称性曲面的面积记在第一卦限部分的面积为，则因此 （15） 设矩阵，则的秩为【分析】因为可以知秩（16） 在区间（，）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 【分析】这是一个几何型概率的计算题。设所取的两个数分别为和，则以为横坐标以纵坐标的点随机地落在边长为的正方形内（如图所示），设事件表示“所取两数之差的绝对值小于”，则样本空间事件的样本点集合为区域中所有的点，而区域的面积，区域的面积因此。三 、解答题：1724小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。 （17）（本题满分11分） 求函数在区域上的最大值和最小值.【分析与求解】（1）求D内的驻点及相应的函数值。由 得于是在D内的4个驻点：相应的 （2）求在D的边界的最大值与最小值。D的边界由两部分组成。一是直线段在上最小值为0，最大值为4。另一是上半圆周在上又 于是在D的边界上的最大值为8，最小值为0。（3）通过比较知，在D上的最大值为8，最小值贼为0。(18) （本题满分10分） 计算曲面积分 其中为曲面的上侧.【分析与求解】利用高斯公式转化为求三重积分与辅助面上的曲面积分。曲面不封闭，添加辅助面法向量朝下，与围成区域，取外法向。因为垂直平面与平面，所以又根据对称性其中区域关于轴对称。由高斯公式得其中，面积为因此(19) （本题满分11分） 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明:存在,使得. 【分析与证明】下，要证存在已知只须由题设再证（1） 由题设若取若不妨设则（2）由对分别在用罗尔定理使得再对用罗尔定理使得即 (20) （本题满分10分） 设幂级数在内收敛,其和函数满足()证明()求的表达式【证明与求解】（）幂级数在收敛区间内可逐项求导任意次，由（）由初值及易归纳证得(21) （本题满分11分） 设线性方程组与方程有公共的解,求的值及所有的公共解.【解】 将与联立，加减消元有如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解。如果则从而方程组的通解为即是方程组与的公共解。(22) （本题满分11分）.设三阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量.记,其中E为3阶单位矩阵.() 验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量;() 求矩阵B.【解】 （）由知那么所以是矩阵B属于特征值的特征向量。类似地，若有因此，矩阵B的特征值为由A是对称矩阵知矩阵B也是对称矩阵，设矩阵B属于特征值的特征向量，那么所以矩阵B属于特征值的线性无关的特征向量是因而，矩阵B属于特征值的特征向量是其中是不为0的任意常数。 矩阵B属于特征值的特征向量是，其中是不全为0的任意常数。（）由有那么(23) （本题满分11分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为() 求;() 求的概率密度【解】 （）（）如果已知的联合概率密度为，则的概率密度可以直接用卷积公式求解。由于被积函数只有在即时不为0，此时被积函数当时，如图当时于是Z的概率密度为(24)（本题满分11分） 设总体X的概率密度为其中参数未知.是来自总体X的简单随机样本,是样本均值.() 求参数的矩估