11-能量法

SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 Energy Methods 介绍卡氏第一定理和余能定理；进而推得卡氏第二定理；介绍卡氏第一定理和余能定理；进而推得卡氏第二定理； 建立一般情况下杆件外力功、应变能、余功和余能的计算式；建立一般情况下杆件外力功、应变能、余功和余能的计算式； 建立力法解一般超静定问题的正则方程。建立力法解一般超静定问题的正则方程。 理解功互等和位移互等定理；理解功互等和位移互等定理；理解功互等和位移互等定理；理解功互等和位移互等定理； 理解动荷系数的概念；熟练掌握自由落体冲击时动荷系数计算。理解动荷系数的概念；熟练掌握自由落体冲击时动荷系数计算。理解动荷系数的概念；熟练掌握自由落体冲击时动荷系数计算。理解动荷系数的概念；熟练掌握自由落体冲击时动荷系数计算。 本章目的本章目的 基本要求基本要求 理解广义力、广义位移、余功和余应变能、虚位移、虚功概念理解广义力、广义位移、余功和余应变能、虚位移、虚功概念理解广义力、广义位移、余功和余应变能、虚位移、虚功概念理解广义力、广义位移、余功和余应变能、虚位移、虚功概念; ; ; ; 理解力法正则方程的意义，掌握超静定次数判断及问题求解；理解力法正则方程的意义，掌握超静定次数判断及问题求解；理解力法正则方程的意义，掌握超静定次数判断及问题求解；理解力法正则方程的意义，掌握超静定次数判断及问题求解； 介绍虚功原理；进而推得单位荷载法莫尔积分法介绍虚功原理；进而推得单位荷载法莫尔积分法 建立用能量法解动荷载（主要考虑冲击）问题的方法。建立用能量法解动荷载（主要考虑冲击）问题的方法。 熟练应用卡氏第二定理、单位荷载法计算结构的位移；熟练应用卡氏第二定理、单位荷载法计算结构的位移；熟练应用卡氏第二定理、单位荷载法计算结构的位移；熟练应用卡氏第二定理、单位荷载法计算结构的位移； SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 Energy Methods 弹性体在外力作用下发生变形时，载荷作用点也产生位移。外力在弹性体在外力作用下发生变形时，载荷作用点也产生位移。外力在 相应的位移上作了功。相应的位移上作了功。外力的功外力的功转化成为积蓄在弹性体内的变形能转化成为积蓄在弹性体内的变形能 （或称为（或称为应变能应变能, Strain energy）。）。 牛顿力学牛顿力学 (矢量力学）(矢量力学） 力学的三个基本原理力学的三个基本原理 1，力的平衡关系1，力的平衡关系 2，变形几何协调关系2，变形几何协调关系 3，力与变形的关系3，力与变形的关系 拉格郎日力学拉格郎日力学 （能量原理）（能量原理） 能量原理能量原理 能量极值原理能量极值原理 直接法直接法 微分方程微分方程 代数方程代数方程 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 外力作功外力作功 外力作功外力作功 n 2 1 F1F2Fn f( ) f=k F f 0 ( )dWf = 如果弹性体服从线性弹性关系如果弹性体服从线性弹性关系 fk = 2 00 ( )dd 2 k Wfk = 因为因为 F = k 2 22 FF W k =所以所以 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 外力作功外力作功 图示线弹性悬臂梁图示线弹性悬臂梁AB，在，在B端作用有集中端作用有集中 力力F和力偶矩和力偶矩M。梁的弯曲刚度为。梁的弯曲刚度为EI。试。试 计算外力作的总功。计算外力作的总功。 解：外力作用点的位移可以用叠加法求解：外力作用点的位移可以用叠加法求 出。在力出。在力F作用下作用下B点的挠度和转角为点的挠度和转角为 l B F A M 3 , 3 B F Fl v EI = 2 , 2 B F Fl EI = 在力偶矩在力偶矩M M作用下作用下B B点的挠度和转角为点的挠度和转角为 2 , 2 B M Ml v EI = ,B M Ml EI = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 外力作功外力作功 B点的总的挠度是点的总的挠度是 32 , 32 BB FB M FlMl vvv EIEI =+=+ B点的总的点的总的转角转角是是 2 , 2 BB FB M FlMl EIEI =+=+ 外力作的总功是外力作的总功是 2 322 11 22622 BB F lFMlM l WF vM EIEIEI =+=+ 注意外力作功并不等于力注意外力作功并不等于力F单独作用的功与力偶矩单独作用的功与力偶矩M单独作用的单独作用的 功之和，即功之和，即 2 32 , 11 2262 B FB M F lM l WF vM EIEI +=+ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 外力作功外力作功 以上可以看作是力以上可以看作是力F 和力偶矩和力偶矩M 同时按比例加载而得到的总功。同时按比例加载而得到的总功。 事实上，外力作功与加载次序无关。例如事实上，外力作功与加载次序无关。例如 2 3 1, 1 26 B F F l WF v EI = 1，先单独作用力先单独作用力F F，作功为，作功为 22 2, 1 222 B MB M FMlM l WF vM EIEI =+=+ 2，然后保持力，然后保持力F不变，加载力偶矩不变，加载力偶矩M。这一步作功为。这一步作功为 2 322 12 622 F lFMlM l WWW EIEIEI =+=+ 总功为总功为 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 克拉比埃龙原理克拉比埃龙原理 克拉比埃龙原理克拉比埃龙原理（Clapeyron Principle）：不论用何种方式加载，）：不论用何种方式加载， 作用在线弹性体上的所有的广义载荷作用在线弹性体上的所有的广义载荷 Fi在力的作用方向的广义在力的作用方向的广义 位移位移 i上作的总功为上作的总功为 1 1 2 n ii i WF = = 弹性体的应变能弹性体的应变能U在数值上等于外力所做的功，所以有在数值上等于外力所做的功，所以有 1 1 2 n ii i UWF = = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 弹性应变能弹性应变能 dx d FNFN 拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能 2 111 222 NN NN F dxF dUF dFdx EAEA = 2 0 1 2 l N F Udx EA = 如果如果FN和和A为常数，那么为常数，那么 22 0 11 22 l NN FF l Udx EAEA = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 弹性应变能弹性应变能 扭转圆轴的应变能扭转圆轴的应变能 2 111 222 xx xx pp M dxM dUM dMdx GIGI = 2 0 1 2 l x p M Udx GI = 如果如果Mx和和Ip为常数，那么为常数，那么 22 0 11 22 l xx pp MM l Udx GIGI = dx d MxMx SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 弹性应变能弹性应变能 梁弯曲的应变能梁弯曲的应变能 2 111 222 zz zz zz M dxM dUM dMdx EIEI = 2 0 1 2 l z z M Udx EI = 如果如果Mz和和Iz为常数，那么为常数，那么 22 0 11 22 l zz zz MM l Udx EIEI = dx d Mz Mz SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 弹性应变能弹性应变能 梁的弯曲剪切应变能（剪切变形不存在平面截面关系）梁的弯曲剪切应变能（剪切变形不存在平面截面关系） dx FSFS ( ) ( ) S z F S y y bI = ( ) ( ) y y G = 2 22 22 222 22 ( )11 d d dd d d 22 1( )1 d dd d 22 xy S VV z SSS Al zL F S y Ux y zx y z GGb I Fk FAS y y zxx GAGAIb = = 2 22 d d S A z AS ky z Ib = 其中其中称为称为剪切形状系数剪切形状系数，对于矩形截面梁，对于矩形截面梁， kS=6/5；圆截面梁的；圆截面梁的kS=10/9；圆形薄；圆形薄 壁截面梁的壁截面梁的kS=2；工字形梁的；工字形梁的kS 25。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 弹性应变能弹性应变能 2222 1 (x)(x)(x)(x)1 dddd 2 n zxSSN lililili i zp MMk FF Uxxxx EAEIGIGA = =+ 同时有弯矩、轴力、扭矩和剪力作用的杆件系，弹性应变能的同时有弯矩、轴力、扭矩和剪力作用的杆件系，弹性应变能的 一般公式是一般公式是 2n i 1 1 2 Ni i ii F l U E A = = 在全部由铰接轴力杆件构成的桁架结构中，如果每根杆的轴力都在全部由铰接轴力杆件构成的桁架结构中，如果每根杆的轴力都 为常数，则总应变能为为常数，则总应变能为 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 例题例题 x2 x1 C A B y, v l b a F M1 M2 简支梁简支梁AB受集中力受集中力F 作用。用能量作用。用能量 原理计算集中力作用点原理计算集中力作用点C的垂直位移。的垂直位移。 解：解： 11 () Fb M xx l = 22 () Fa M xx l = 22322322 222 1122 22 00 11 ()d()d 22336 ab F b aF a ba b UMxxMxxF EIEIEIlll =+=+= 1 2 C WFvU= 22 3 C a b vF EIl = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 余功和余能余功和余能 余功和余能余功和余能 f（ ）曲线上方图形的面积）曲线上方图形的面积 表示了另一形式的功表示了另一形式的功 0 ()d F C Wff = 称为称为余功余功 f( ) Wc,Uc f W , U F f 余功没有明确的物理意义，余功没有明确的物理意义， 其名称是因为有下列关系式而得：其名称是因为有下列关系式而得： c WWF+= 因为弹性体的应变能等于外力作的功，所以弹性体的余能在因为弹性体的应变能等于外力作的功，所以弹性体的余能在 数值上等于余功：数值上等于余功： 0 () F CC UWf df = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 余功和余能余功和余能 与应变能密度的定义类似，单向与应变能密度的定义类似，单向 拉伸应力状态的余能密度定义为拉伸应力状态的余能密度定义为 弹性体的余能为余能密度的体积分：弹性体的余能为余能密度的体积分： f( ) Wc,Uc f W , U F f 余能与应变能是完全不同的两个余能与应变能是完全不同的两个 物理量。物理量。 对于线性弹性体，两者的数值相等：对于线性弹性体，两者的数值相等： C UU= 0 d C u = d CC V UuV= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 互等定理互等定理 位移的第一个下标表示点的位置，第二个下标表示产生此位移的力位移的第一个下标表示点的位置，第二个下标表示产生此位移的力 （1）（2） 11 21 F1 （2） （1） 12 22 F2 （1） （2） 11 22 F1 F2 12 （1）（2） 11 22 F1 21 F2 1，在梁上先作用，在梁上先作用F1，再作用，再作用F2， 11111222112 11 22 UWFFF =+ 2，在梁上先作用，在梁上先作用F2，再作用，再作用F1， 22222111221 11 22 UWFFF =+ 由于由于U1U2 所以所以 F112 F221 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 互等定理互等定理 上式表示，上式表示，F1（或第一组广义力）在由（或第一组广义力）在由F2（或第二组广义力）所（或第二组广义力）所 引起的位移上做的功，等于引起的位移上做的功，等于F2（或第二组广义力）在由（或第二组广义力）在由F1（或第（或第 一组广义力）所引起的位移上做的功。这就是一组广义力）所引起的位移上做的功。这就是功的互等定理功的互等定理。 （reciprocal theorem of work） F112F221 如果进一步假设如果进一步假设F1F2，那么得到，那么得到 1221 = 上式可以叙述为，一个力作用于点（上式可以叙述为，一个力作用于点（2）时在点（）时在点（1）引起的位移，）引起的位移， 等于同一个力作用于点（等于同一个力作用于点（1）时在点（）时在点（2）引起的位移。这也就是）引起的位移。这也就是 位移互等定理位移互等定理（reciprocal theorem of displacement）。）。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 互等定理互等定理 AC F A vC m AB BC 梁中点梁中点C作用集中力作用集中力F 时，端点转角时，端点转角 2 16 A Fl EI = 当梁端点当梁端点A受力矩受力矩m作用时，中点挠度作用时，中点挠度 2 16 C ml v EI = 根据功的互等定理，应该有根据功的互等定理，应该有 将将和和代入，互等定理得到验证。代入，互等定理得到验证。 CA F vm = A C v SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第一定理卡氏第一定理 卡氏第一定理卡氏第一定理 应变能应变能U 可以表示为最终位移可以表示为最终位移 i的函数。现在假设第的函数。现在假设第k个载荷相个载荷相 应的位移有一微小增量应的位移有一微小增量d k，其他位移不变。那么弹性体的应变，其他位移不变。那么弹性体的应变 能的增量为能的增量为 1 n ik i ik UU dUdd = = = 因为只有第因为只有第k个位移有变化，其他位移没有变化，所以外力功的个位移有变化，其他位移没有变化，所以外力功的 增量增量 kk dWF d= 由于外力功在数值上等于应变能，那么两者的变化量也应相等，由于外力功在数值上等于应变能，那么两者的变化量也应相等， 所以所以 k k U F = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第一定理卡氏第一定理 C2 C1 l1 l2 C2 C C 30 C C1 1 2 FN2 FN1 F B CA 2m F 30 C 图示桁架，图示桁架，1杆为直径杆为直径d2.5cm的钢杆，的钢杆，2杆是边长杆是边长20cm的方截面木的方截面木 杆。已知作用在节点杆。已知作用在节点C的力的力F30kN，钢的弹性模量，钢的弹性模量E1200GPa， 木材的弹性模量木材的弹性模量E2=10GPa，试用位移法求节点，试用位移法求节点C的水平位移和垂直的水平位移和垂直 位移。位移。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第一定理卡氏第一定理 C2 C1 l1 l2 C2 C C 30 C C1 1 2 B CA 2m F 30 解解： 外力外力F 对应的是节点对应的是节点C的的垂直位移垂直位移vC， 与节点与节点C上的水平外力（数值为零）对应的是上的水平外力（数值为零）对应的是C点的点的水平位移水平位移uC。 用用l1和和l2表示杆表示杆1的伸长和杆的伸长和杆2的缩短。从几何关系分析可知的缩短。从几何关系分析可知 1C ul= 212212 sin30(cos30 )cot300.53(0.5 3) ooo C vllllll=+=+ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第一定理卡氏第一定理 杆件的伸长量用节点位移可以表示为杆件的伸长量用节点位移可以表示为 1C lu= 2 0.5 (3) CC lvu= 系统的应变能用杆件伸长量可以表示为系统的应变能用杆件伸长量可以表示为 22222 11221122 12 1212 0.5(3) 2222 CCC E AE AE AE A Ulluvu llll =+=+ 应用卡氏第一定理应用卡氏第一定理 1122 12 2 3(3)0 8 CCC C E AE AU uvu ull = 22 2 2 (3) 8 CC C E AU vuF vl = = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第一定理卡氏第一定理 11 1 1 1111 3 1.833mm N C FlFl ul E AE A = 2 92 22 4430000 4000 331.833mm+mm=4.375mm 10 100.2 CC Fl vu E A =+= 可以解出可以解出 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 卡氏第二定理卡氏第二定理 结构的余能可以表示为载荷的函数结构的余能可以表示为载荷的函数Uc=Uc(F1, F2, , Fn)。现在。现在 假设第假设第k个外力有一微小增量个外力有一微小增量dFk，其他外力不变。那么弹性体，其他外力不变。那么弹性体 的应变余能的增量为的应变余能的增量为 1 n cc cik i ik UU dUdFdF FF = = 因为只有第因为只有第k个外力有变化，其他外力没有变化，所以余功的增量个外力有变化，其他外力没有变化，所以余功的增量 dd ckk WF= 由于余功在数值上等于应变余能，那么两者的变化量也应相等，由于余功在数值上等于应变余能，那么两者的变化量也应相等， 所以所以 c k k U F = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 上式表明，应变余能对于某一外力变化率等于该外力所对应的位移上式表明，应变余能对于某一外力变化率等于该外力所对应的位移 的数值，这一结果称为余能定理。对于线弹性体，其应变能在数值的数值，这一结果称为余能定理。对于线弹性体，其应变能在数值 上等于余能，所以有上等于余能，所以有 此式可以叙述为，线弹性体沿某外力方向的广义位移等于应变能此式可以叙述为，线弹性体沿某外力方向的广义位移等于应变能 对该力的变化率。这一结果称为对该力的变化率。这一结果称为卡氏第二定理卡氏第二定理。 c k k U F = k k U F = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 轴力杆系结构的位移：轴力杆系结构的位移： 2 k i 11 (x)( )( )1 d 2ii nn NNN k ll kki FFxFxU xdx FFEAEAF = = 有弯矩，扭矩的杆系结构的位移：有弯矩，扭矩的杆系结构的位移： 22 k i 1 1 (x)(x)11 dd 22 ( )( )( )( ) ii ii n zx k ll kp n zzxx ll kpki MMU xx FFEIGI MxMxMxMx dxdx EIFGIF = = =+ =+ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 C F AB l/2l/2 试用卡氏第二定理求简支梁中点挠度。试用卡氏第二定理求简支梁中点挠度。 ( ) 2 F M xx= 解：由于对于中点的对称性，只需解：由于对于中点的对称性，只需 考虑考虑AC段的应变能。段的应变能。 根据卡氏第二定理，根据卡氏第二定理， /2/2 C 00 3 /2 0 d2d2d 2 d 2 248 ll L l UMMMMMM vxxx FEIFEIFEIF Fx xFl x EIEI = = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 x y A L q 试用卡氏第二定理求图示悬臂梁试用卡氏第二定理求图示悬臂梁 端点端点A的挠度和转角。的挠度和转角。 FA A q MA A q 解：为了求解：为了求A点挠度和转角，设点挠度和转角，设 有虚拟力有虚拟力FA和力偶矩和力偶矩MA作用。作用。 最后令虚拟力为零。最后令虚拟力为零。 2 ( ) 2 AA qx M xF xM= + A M x F = 1 A M M = 24 00 /2 8 ll A A MMqxql vdxxdx EIFEIEI = 23 00 /2 6 ll A A MMqxql dxdx EIMEIEI = 答案的负号表示位移与答案的负号表示位移与 虚拟力方向相反。虚拟力方向相反。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 x y MA FA FB A L q B 试用卡氏第二定理求解如图试用卡氏第二定理求解如图 所示一次静不定问题。所示一次静不定问题。 解：解： 2 1 ( ) 2 B M xF xqx= 23 1 4 2 B 11 dd()0 38 BB BLL F xqxF lMM vxx xql EIFEIEI = B 3 8 Fql= 所以所以 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 卡氏第二定理卡氏第二定理 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 John Bernoulli， 1717 提出了虚功原理。提出了虚功原理。Principle of virtual work 理论力学中论述了质点系的虚功原理：质点系平衡的充要条件是理论力学中论述了质点系的虚功原理：质点系平衡的充要条件是 作用于质点系的所有的力在任何虚位移上做功之和为零。作用于质点系的所有的力在任何虚位移上做功之和为零。 虚位移虚位移是约束条件所容许的任何微小位移，与系统受力无关。是约束条件所容许的任何微小位移，与系统受力无关。 是在力系平衡位置上附加的位移。作用力沿虚位移所作的功称为是在力系平衡位置上附加的位移。作用力沿虚位移所作的功称为 虚功虚功。 对于变形体，虚位移是指满足约束条件和变形连续条件的任何对于变形体，虚位移是指满足约束条件和变形连续条件的任何 可能位移。虚位移会产生虚变形，这样，外力的虚功不为零。可能位移。虚位移会产生虚变形，这样，外力的虚功不为零。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 Mz FN+dFN FN Mx+dMxMx Fs+dFs Fs Mz+dMz dx 偏离平衡状偏离平衡状 态的虚变形态的虚变形 平衡状态下平衡状态下 的实际变形的实际变形 作用于微单元上的所有力，包作用于微单元上的所有力，包 括外力和截面内力，将在虚位括外力和截面内力，将在虚位 移和虚变形上作虚功移和虚变形上作虚功dWe。这。这 一虚功包括两部分：一虚功包括两部分： （1）微单元作为刚体平移和）微单元作为刚体平移和 转动所做的功转动所做的功 dWr； （2）内力在单元虚变形上做）内力在单元虚变形上做 的功的功dWd，即内力虚功即内力虚功 ddd erd WWW=+ 微单元上的所有力（外力微单元上的所有力（外力 和截面内力）作虚功和截面内力）作虚功 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 Mz FN+dFN FN Mx+dMxMx Fs+dFs Fs Mz+dMz dx 偏离平衡状偏离平衡状 态的虚变形态的虚变形 平衡状态下平衡状态下 的实际变形的实际变形 dd ed WW= 由于微单元处于平衡状由于微单元处于平衡状 态，所有力在刚体位移上态，所有力在刚体位移上 作的功为零，因此作的功为零，因此 整个结构的虚功为整个结构的虚功为 dd ed WW= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 Mz FN+dFN FN Mx+dMxMx Fs+dFs Fs Mz+dMz dx 偏离平衡状偏离平衡状 态的虚变形态的虚变形 平衡状态下平衡状态下 的实际变形的实际变形 上式左边积分时，作为虚上式左边积分时，作为虚 位移上做功，由于每一微单元位移上做功，由于每一微单元 的侧面与相邻单元的侧面经历的侧面与相邻单元的侧面经历 相同的虚位移，而内力的方向相同的虚位移，而内力的方向 相反，所以内力虚功相抵消，相反，所以内力虚功相抵消， 剩下的只有外力的虚功剩下的只有外力的虚功We。 dd ed WW= 上式右边积分时，仅有单元上式右边积分时，仅有单元 的内力在各自单元的虚变形上的内力在各自单元的虚变形上 做功。经积分并将所有单元的做功。经积分并将所有单元的 虚功相加，得到内力的虚功虚功相加，得到内力的虚功 Wi。 所以所以 WeWi SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 WeWi 上式称为上式称为变形体的虚功原理变形体的虚功原理。可以叙述为，如果给外力作用下处于。可以叙述为，如果给外力作用下处于 平衡状态的结构一个微小的虚位移，那么外力做的虚功等于内力做平衡状态的结构一个微小的虚位移，那么外力做的虚功等于内力做 的虚功。的虚功。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 dx2dx1dx2dx1 1 F 2 FF1F2 左图为受轴向力左图为受轴向力F 作用的杆，图作用的杆，图 中已处于平衡状态（已包括杆的中已处于平衡状态（已包括杆的 实际伸长）。实际伸长）。 假设产生了轴向虚位移，使中间截面向右移了距离假设产生了轴向虚位移，使中间截面向右移了距离，端面向右，端面向右 移了移了。 1 12 + 将两个微单元组合起来，截面上的内力是一对轴力将两个微单元组合起来，截面上的内力是一对轴力F1和和F2，大小，大小 相等，方向相反。外力相等，方向相反。外力F和截面内力在轴向位移上做的总功事实和截面内力在轴向位移上做的总功事实 上就是外力上就是外力F作的功。作的功。 12 () e WF =+ 内力内力F F1 1在伸长虚变形上做功在伸长虚变形上做功F11，内力，内力F F2 2在伸长虚变形上做功在伸长虚变形上做功 F22， ， 内力在微段虚变形上做的功为内力在微段虚变形上做的功为 112212 () ie WFFFW =+=+= 从而验证了虚功原理。从而验证了虚功原理。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 FN1 FN3 F AA l 3 21 F A CDB 如图结构，三根杆的如图结构，三根杆的 截面相同，材料相同。截面相同，材料相同。 试用虚功原理求解节试用虚功原理求解节 点点A的位移和各杆内的位移和各杆内 力。力。 解：由于对称性，结构解：由于对称性，结构 只有一个自由度，即节只有一个自由度，即节 点点A的垂直位移的垂直位移v。 3 cos N EA Fv l = 12 cos NN EA FFv l = 在此基础上假设在此基础上假设A经历虚位移经历虚位移v，至，至A。内力虚功为内力虚功为 FN2 l1 l3=v l2 A A A 1 l 3 lv = 2 1133 1 22coscos(2cos) coscos NN EAEAEA FlFlvvvvv v lll + =+=+ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 虚功原理虚功原理 2 1 (2cos) cos EA Fvv v l =+ 所以所以 外力虚功等于内力虚功：外力虚功等于内力虚功： 3 cos () 1 2cos Fl v EA = + 2 12 3 cos () 1 2cos NN FFF = + 3 3 1 () 1 2cos N FF = + SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 莫尔积分单位载荷法莫尔积分单位载荷法 两组力：两组力： 外力及由载荷产生的实际外力及由载荷产生的实际 内力内力FN，MZ，Mx，Fs。 虚拟的单位力虚拟的单位力1，及由此，及由此 产生的内力产生的内力FNo，MZo， Mxo，Fso。 以实际位移为虚位移，那么，以实际位移为虚位移，那么， 单位力单位力1在上作功等于单位在上作功等于单位 力对应的内力在实际变形上作力对应的内力在实际变形上作 的功。的功。 n n 1 1 = ooo Nzx l ooo zzxxNN zplll F dM dM d M M dxM M dxF F dx EAEIGI =+ + SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 莫尔积分单位载荷法莫尔积分单位载荷法 试用单位载荷法试用单位载荷法 求解求解C点挠度点挠度 x2 x1C A B y, v l ba F M1 M2 x2x1 C y, v 1 A B 1 o M 2 o M 解：解： 11 bF Mx l = 22 aF Mx l = 11 o b Mx l = 22 o a Mx l = 1122 12 00 232322 1122 12 22 00 ( )( )( )( ) dd dd 333 oo ab C ab Mx MxMx Mx vxx EIEI bFx bxaFx axb F aa F bFa b xx EIllEIllEIlEIlEIl =+ =+=+= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 如图所示悬臂梁，如图所示悬臂梁，EI为常数，试确定为常数，试确定 B点的挠度和转角。点的挠度和转角。 解：解： /2/2 00 /2 22 0 (/2) ( 1) 3 () 228 o ll B l M MF xl dxdx EIEI FxFlxFl EIEIEI + = =+= /2/2 00 /2 323 0 (/2) () 5 () 3448 o ll B l MMF xlx vdxdx EIEI FxFlxFl EIEIEI + = =+= F l/2l/2 A B C ( )(/2)M xF xl= + ( )1 o Mx = x ( ) o Mxx= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 a 45 45 1 2 3 5 4 F A B C D 1 1 如图所示，简支的桁架各杆的如图所示，简支的桁架各杆的 拉压刚度均为拉压刚度均为EA。在。在B点受向点受向 下的力下的力F 作用。求作用。求B点的水平点的水平 位移位移uB和垂直位移和垂直位移vB。 5 1 12(12) o BNiNui i i Fa uF Fl EAEA = + = 5 1 1(34 2) o BNiNvi i i Fa vF Fl EAEA = + = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 2F 2a o NiNui i F Fl 2 o NiNvi i F Fl 2 2F 2a o Nui F 2 2Fa o Nvi F 2 2Fa 杆号杆号12345 FNiFFF 0110 111 aaa 0FaFa0 FaFaFa i l 2 2 2Fa SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 x MB a A B q 1 C a 1 FB x y y B MB FB 图示图示 形刚架，在形刚架，在C端端 固支。其垂直部分固支。其垂直部分AB 受均布力受均布力q作用。已知作用。已知 刚架的抗弯刚度为刚架的抗弯刚度为 EI， 试用单位载荷法求试用单位载荷法求A点点 水平位移和垂直位水平位移和垂直位 移。移。 解：在解：在AB段和段和BC段段 建立局部坐标。建立局部坐标。 AB杆：杆： 2 1 1 2 Mqx= 1 o u Mx= 1 0 o v M= BC杆：杆： 2 2 1 2 Mqa= 2 o u Ma= 1 o v Mx= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 A点的水平位移点的水平位移 00 1122 00 224 00 1 (dd ) 1115 (dd ) 228 aa Auu aa uMMxMMx EI qxx xqaa xqa EIEI =+ =+= A点的垂直位移点的垂直位移 00 1122 00 224 00 1 (dd ) 1111 (0 dd ) 224 aa Avv aa vMMxMMx EI qxxqax xqa EIEI =+ = += SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 FAx x 2 x 1 FBD FBD FAy D C B A 30 q a 1 1 D C B A 30 3a 3a 图示托架的图示托架的AC梁受均布载荷梁受均布载荷q的作用。梁的抗弯刚度为的作用。梁的抗弯刚度为EI。支撑杆。支撑杆 BD的抗拉压刚度为的抗拉压刚度为EA。不考虑。不考虑BC杆的失稳，试计算杆的失稳，试计算C点的挠度和点的挠度和 转角。转角。 解：解： 0 A m = sin303233 o BD Faqaa= 4 3 BD Fqa= 0 Ay F= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 FAx x2x1 FBD FBD FAy D C B A 30 q a 1 1 D C B A 30 3a 3a 2 111 1 () 2 Mxqx= 2 222 1 () 2 Mxqx= C点垂直单位力作用下点垂直单位力作用下 4 o BD F= 111 () o Mxx= 222 () o Mxx= 3 242 0 111932 3 2d4 34 2 24 a c vqxx xqaaqaqa EIEAEIEA =+ =+ 4 3 BD Fqa= = sin3031 2 3 o BD Faa SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法 求求C点的转角：假定在点的转角：假定在C点有单位点有单位 力偶矩作用力偶矩作用 1 D C B A 30 2 3 o BD F a = 1 3 o Ay F a = 111 1 () 3 o Mxx a = 22 ()1 o Mx= 33 22 00 1111112 d1d4 32 2233 aa c qxx xqxxqaa EIEIEAaa =+ 3 7 316 8 qaqa EIEA =+ SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 静不定结构静不定结构 FAy FAx B C A (a) D B C A (b) D B C A (c) DC B A (d) M M FS FS F N F N DC B A (e) SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法(静不定静不定) A DC B A MD MD F/2 F/2 F F F MD F/2 图示的细园环图示的细园环 半径为半径为R，抗弯，抗弯 刚度为刚度为EI，受，受 一 对 拉 力一 对 拉 力F作作 用。求（用。求（1）圆）圆 环的弯矩环的弯矩（2） 力的作用点力的作用点的的 相对位移。相对位移。 ( )(1cos ) 2 D F MMR =解：解：1，求圆环的弯矩，求圆环的弯矩 为了计算为了计算D截面的转角，在截面的转角，在D截面上施加逆时针的单位力矩，截面上施加逆时针的单位力矩， ( )1 o M = 2 0 1 (1cos ) 1d0 222 22 DDD FRFRFR MRRM EIEI = =+= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法(静不定静不定) 2 (1)0.182 2 D FR MFR = 2 ( )(1cos )(cos) 22 D FFR MMR = 2，求，求A、B两点的相对位移两点的相对位移 上式令上式令F1 o 2 ( )(cos) 2 R M = 22 33 2 00 22 4d(cos) d() 4 o AB MMFRFR R EIEIEI = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第十一章第十一章 能量法能量法 单位载荷法单位载荷法(静不定静不定) 图示刚架，在图示刚架，在AB段中点受水平力段中点受水平力F作用。已知抗弯刚度为作用。已知