信号与系统课件 ch2 section1-3

第二章 连续系统的时域分析第二章 连续系统的时域分析 2-1 引言引言 时域：变量时域：变量 t； 模型：常系数线性微分方程（组） 。模型：常系数线性微分方程（组） 。 求解求解: 间接法，迭加积分。 等效源；初态 直接求齐次方程； : )( )( tr tr zs zi 东南大学移动通信国家重点实验室 例 1：RLC 串联电路，e(t)激励，求响应 i(t)。 R L C i(t) + - e(t) 解： . )( )( 1)()( ),()( 1 2 2 dt tde ti Cdt tdi R dt tid L tedtti C Ri dt di L t =+ =+ 或 东南大学移动通信国家重点实验室 2-2 算子方程算子方程 一、 算子定义一、 算子定义 微分算子微分算子 dt d p = ， 积分算子积分算子 = t d p )( 1 ? 。 注：注： 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为： LL ipLu= CC i pC u = 1 即可以将电感和电容记成阻值为即可以将电感和电容记成阻值为 pL 和和 Cp 1 的阻抗。的阻抗。 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 算子运算法则二、 算子运算法则 1 算子多项式可进行代数运算；如（算子多项式可进行代数运算；如（p+1） ）(p+2)=p2+3p+2 2 关于相消关于相消 = . 0)(. 1 1 ; 1 1 fp p p p 除非 3 由由 ).()(,)()()()(=+=gfCCtgtftgptfp 结论： （结论： （1）求）求 )(trzi 时，算子一般不能随意消去；时，算子一般不能随意消去； （2）求）求 )(trzs 时，若激励有始，且系统因果，则算子可 以相互抵消。 时，若激励有始，且系统因果，则算子可 以相互抵消。 东南大学移动通信国家重点实验室 三、 算子方程举例三、 算子方程举例 例 2：例 1 的电路可以变为 R pL 1/(pC) i(t) + - e(t) 东南大学移动通信国家重点实验室 则算子方程为则算子方程为 )()() 1 (teti pC RpL=+ 或：或： )( 1 )() 1 ( 2 tpe L ti LC p L R p=+ 变换规律：变换规律： . 1 ; pC CpMMpLLRR 注意：与拉氏变换不同之处是，信号在这儿不用变换。注意：与拉氏变换不同之处是，信号在这儿不用变换。 东南大学移动通信国家重点实验室 例例 3：一般系统，有：一般系统，有 ).()()()( 01 1 10 1 1 tebpbpbpbtrapap m m m m n n n +=+ ? 其中，其中， ji ba , 是常系数，是常系数，n 是系统阶数（表达式中最高次与最低 次之差） 。 是系统阶数（表达式中最高次与最低 次之差） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 简记为：简记为： )()()()(tepNtrpD= 或：或： )()()( )( )( )(tepHte pD pN tr = 其中：其中：)(pH：算子形式系统函数或转移算子；：算子形式系统函数或转移算子； )(pD：特征多项式，其根为特征根（自由频率，固有频率） 。：特征多项式，其根为特征根（自由频率，固有频率） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 2-3 零输入响应零输入响应 )(tr zi 的求法的求法 齐次方程齐次方程 0)()(=trpD 的求解的求解 一、 直接求解齐次方程一、 直接求解齐次方程 1 一阶系统一阶系统 ).0() 0().0()(, 0)()( =rrctcetrtrp zi t zi 其中有 注： （注： （1） );0()0()0( + = zizizi rrr （2） 0)0(= zs r （对有始输入，因果系统条件下） ，（对有始输入，因果系统条件下） ， . 0)0( + zs r 东南大学移动通信国家重点实验室 2 n 阶系统阶系统 . 0)( 0 1 1 =+= apappD n n n ? 由此，求出特征根由此，求出特征根 n ? 21, ，则，则 = = n i t izi teCtr i 1 0,)( 。 定解条件：定解条件： ).0()0(),0( )1( n rrr? 注 意 ：注 意 ： 要 将 一 对 共 轭 根 分 量要 将 一 对 共 轭 根 分 量 j= 2, 1 合 并 成合 并 成 )()cos(2tteC t + 形式，其中形式，其中 j eCC = 2, 1。 东南大学移动通信国家重点实验室 3 有一个有一个 k 重根重根 k =? 21，其余非重根。，其余非重根。 则：则： += += n kj t j tk kzi tecetctctcctr j 1 12 321 0,)()( 1 ? 定解条件：定解条件： ).0()0(),0( )1( n rrr? 东南大学移动通信国家重点实验室 例：二阶串联谐振电路（RLC） ，求响应电流 i(t)。 1H 1F + - V10)0(= C u 2 i(t) 0)0(= L i 东南大学移动通信国家重点实验室 解：1，建模： 0)( 1 )( )( =+ di C tRi dt tdi L t 或 0)() 1 2(=+ti p p, 即 0)() 12( 2 =+tipp。 东南大学移动通信国家重点实验室 东南大学移动通信国家重点实验室 2，求解： , 1 21 = 0,)(r 21zi += ttecect tt 而 1 0)0()0(cii L = ， 又由微分方程 . 0)0()0(2)0(=+ C uii ),(10)0( 21 cci= ,10 2 =c 0,10)(= ttetr t zi ，如图所示 3，解释： 电流没有振荡。原因： C L R2=，系统处于临界阻尼状态。 012345678910 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 y轴 x轴 东南大学移动通信国家重点实验室 注：注： （1）（1） ) (trzi 模式取决于特征根； （2）由特征根得到的通解 模式取决于特征根； （2）由特征根得到的通解 ) (trzi 的模式不一定能确定系统的 阶数。 （有可能定解时由于系数为零而未出现） 的模式不一定能确定系统的 阶数。 （有可能定解时由于系数为零而未出现） 东南大学移动通信国家重点实验室 二、 初态转化为等效源（二、 初态转化为等效源（图中括号中的字体为拉氏变换的变量图中括号中的字体为拉氏变换的变量） + - )(tu )(t i C + - )0 ( c u + - )(tu )(ti C + - + - ) )0( ( s uC ) 1 ( sC + - )(tu )(ti C + - )()0(tCu c )0( c Cu ) 1 ( sC uc(0-)(t