(好资料)仓库容量有限允许缺货条件下的随机存储模型

Vol. 26 No. 3 Mar. 2010 第 26 卷 第 3 期 2010 年 3 月 赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版） Journal ofChifengUniversity（Natural Science Edition ） 仓库容量有限允许缺货条件下的随机存储模型 霍丽娜 （ 榆林学院数学系，陕西榆林719000 ） 摘要：对允许缺货的随机存储问题，建立了仓库容量有限并可以租赁仓库的存储模型，给出了模型 的一般算法，较好地解决了多种商品在允许缺货条件下的最佳订货点的确定问题. 关键词：随机存贮；存储销售周期；惩罚函数法 中图分类号： O 2 2 7文献标识码： A文章编号： 1673- 260X （2010 ） 03- 0008- 03 1问题的提出 企业生产需定期购进各种原料， 商家销售要成 批地购进各种商品. 无论是原料或商品， 都存在如 何存贮的问题. 库存冗余则存贮费用较高， 库存短 缺则无法满足需求， 影响利润， 所以许多商家为了 满足市场的随机大量需求， 采用租借别人仓库的方 法， 但是一般租借别人仓库都比使用自己仓库的费 用高. 因此， 在这种情况下的实际的生产过程中， 采 用有效的库存管理方法将起到调节供需余缺、 保证 生产正常进行的作用，从而有力的降低不利损耗， 提高企业效益. 显然， 在市场经济蓬勃发展的今天， 研究这样一个可以服务广大工商界的问题的重要 性不容忽视. 2符号说明 T 商品存贮销售周期 k i第 i 种商品的库存下降速率 （销售速率 ） E ( X ) 供货时间的数学期望 s 某种商品在一个周期 T 中的总损失费用 S m种商品在一个周期内的总损失费用 Z 商品在一段时期内的总损失费用 t 0 某一周期 T 的开始时刻 t 1 库存商品量 L 售完时刻 t 2 所订商品到位时刻 t 3 租借仓库中商品售完时刻 t 4 自己仓库中商品库存量降至 L 的时刻 Q0 i第 i 种商品在自己仓库中的库存体积容 量 Qi第 i 种商品被补充到的固定体积容量 3模型基本假设 （1 ） 存贮时先将商品存入自己的仓库， 剩余的 存入租借的仓库. （2 ） 出售时先出售租借仓库中的商品， 待其被 销售完， 再销售存在自己仓库中的商品. （3 ） 假设仓库开始库存第 i 种商品数量为 L i. （4 ） 当商品库存下降速率一定时， 任一阶段中 商品的库存量可取其中间值. （5 ） 商品供货时间 X虽然是随机的， 但因其上 下波动不大， 故可采用其数学期望 E ( X ) 作为供货时 间进行分析. 4模型建立与求解 商家存贮销售的商品为 m种， 就某种商品 i 而 言， 其循环过程中的损失费用分析如下： 商品的存 贮与销售是一个周期的循环过程， 故可以就其中一 个周期进行分析， 商家商品的库存量变化情况如图 （1 ） 所示. 现将商品的周转周期 T分为几个不同的 图 1 8- 阶段， 因各阶段库存商品数量的变化规律不同而导 致损失费用变化规律不同， 故首先对每个阶段进行 分析，分别得出损失费用随商品数量变化的规律， 以期通过各阶段损失费用的累加获得整个商品周 转周期内损失费用相对商品数量变化的函数. 将 m 种商品中每一种商品采取同样方法进行分析， 然后 把所有商品的损失费累加即可求得 m种商品在一 个存储周期存贮销售过程中总的损失费用 1 , 2 , 3 . 4 . 1 . 1 由于商品的销售以体积( r ivi) 的方式减少， 为 了方便表述， 在此依据上面的思路， 定义第种商 品的库存减少速率 （销售 ） 为 k i， k i= rivi （1 ） 4 . 1 . 2 因第 i 种商品的库存减少速率 k i恒定， 且商 家在库存降至 L i时开始订货，故商品的存贮与销 售周期：T = Q - m i=1 Li m i=1 ki + E ( X )( 2 ) 4 . 1 . 3 待货阶段： 此阶段商家库存第 i 种商品数量 为 L i, 为保证正常销售， 商家开始订货， 但所订货物 不能立即到货， 故此阶段中， 商家卖出自己库存商 品， 其间损失为商品在自己仓库中的存贮费用： L i 2 2 k ic 2 i ( 3 ) 4 . 1 . 4 缺货阶段：此阶段中商家库存商品已售完， 预定商品尚未到货， 因此， 商家此时的损失费用为 缺货损失费： k i ( E ( X ) - L i k i 2 2 c 4 i ( 4 ) 4 . 1 . 5 货物库存充盈阶段： 在此阶段， 商家预订商 品已经到货，分别存入自己的仓库和租借的仓库， 销售开始正常进行， 因要节省费用， 故租借仓库中 的商品优先出售， 至租借仓库中商品售完. 此时， 商 家的损失费用为商品在仓库中的存贮费用. 租借仓库存贮费： ( Qi- Q0 i) 2 2 k i c 3 i （5 ） 卖租借仓库中商品时自己仓库的存贮费用： Q0 i( Qi- Q0 i) k i c 2 i （6 ） 4 . 1 . 6 准备订货阶段： 在此阶段， 租借仓库中的商 品已出售完毕，开始出售自己仓库中所存商品， 并 在库存降至 L i 时开始订货， 而后进入待货阶段， 开 始新的循环周期. 此阶段中， 商家的损失费用为商 品在自己仓库中存贮的费用为： ( Q0 i- L i) 2 2 k i c 2 i+ L i( Q0 i- Li) k i c 2 i （7 ） 4 . 1 . 7 在一个周期中的损失费用为各阶段损失费 用的累加. 一个周期内的总损失费用： s i=L i 2 k ic 2 i+ k i ( E ( X ) - L i k i 2 2 c 4 i+ ( Qi- Q0 i) 2 2 k i c 3 i + Q0 i( Qi- Q0 i) k i c 2 i+ ( Q0 i- L i) 2 2 k i c 2 i+ L i( Q0 i- Li) k i c 2 i （8 ） 4 . 1 . 8 因商家现有 m种商品，所以在周期 T内总 的损失费用为： S = m i=1 si（9 ） 4 . 1 . 9 现同样以一段时期内商家总损失费用作为 最终研究对象， 设这一时期为整体 1 ， 则总体损失 费用为： Z = S T （1 0 ） 4 . 2 模型的建立 在此将 m种商品在一段时间内的总体损失费 用最小作为追求的目标， 建立模型. 目标函数： M i n Z s . t . Q0= m i=1 Q0 i Q = m i=1 Qi Qi, Q0 i, s i, Li0 ( i = 1 , 2 , 3 , L , m ) 4 . 3 模型求解 此模型为有等式约束的极值问题， 根据优化理 论 4 ， 现采用两种方法对模型进行求解， 以保证求解 正确性. 4 . 3 . 1 拉格朗日乘数法求解 设: g 1( x ) = Q0= 6 i=4 xi， g2( x ) = Q - 3 i=1 xi. 引入拉格朗日函数 L g ( Q , L , ) = m i=1 1 Ts i+ n i=1 jgj( x ) , ( n = 2 )（1 1 ） 对 Qi, Q0 i, L i( i = 1 , 2 , 3 m ) ， j( j = 1 , 2 ) 分别求导， 并 令其等于 0 可得方程组如下： 9- s . t . 鄣L g 鄣Qi= 0 鄣L g 鄣Q0 i= 0 鄣L g 鄣i = 0 鄣L g 鄣L i = 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 鄣 0 （1 2 ） 解以上方程组即可求得模型的最优解. 4 . 3 . 2 惩罚函数法求解 4 . 3 . 2 . 1 惩罚函数的引入 为了更好的描述约束条件被破坏的程度， 定义 约束违反度函数 c ( - ) ( x ) = ( c 1 ( - ) ( x ) , , c n ( - ) ( x ) ) T 如下： c i ( - ) ( x ) = g i( x ) , i = 1 , 2 ; 引入 C o u r a n t 罚函数如下： P ( x ) = f ( x ) + c ( - ) ( x ) 2 2 （1 3 ） 其中 0 是正常数， 称为罚因子， c ( - ) ( x ) 2 2 称为罚项. 这就将原模型转化为无约束的极值问题： M i n p ( x ) 4 . 3 . 2 . 2 算法步骤说明 步骤一： 选定初始点为 x 0； 选取初始惩罚因子 1 0（可取 1= 1 ） ， 惩罚因子的放大系数 c 1（可取 c = 1 0 ） ； 置 k = 1 . 步骤二： 以 x k - 1为初始点， 求解无约束问题 M i n f ( x ) + kc ( - ) ( x ) 2 2 ， 设其极小点为 x k 步骤三： 若 kc ( - ) ( x ) 2 2 ， 则 x k就是所求的 最优解， 结束计算， 否则， 转步骤四. 步骤四： 置 x k + 1= c k; k = k + 1 ， 转步骤二. 5仿真计算 假设有三种商品同时订货，其中 v 1= 0 . 0 5 立方 米， v 2= 0 . 0 4 立方米， v3= 0 . 1 0 立方米，自己的仓库用 于存贮这 3 种商品的总体积容量 Q0= 6 立方米， 每 次到货后这 3 种商品的存贮量总体积补充到固定 体积容量 Q = 1 0 立方米为止， 且该供应站从接到订 货通知到货物送达商场的天数 X服从在 1 天到 3 天之间的均匀分布. 其余数据同问题 2 中相应的商 品中所列出的数据. 按本文给出的模型求出这 3 种 商品的最优订货点 L *和自己的仓库用于存贮这 3 种商品的各自体积容量 Q0 i( i = 1 , 2 , 3 ) 以及在订货到 达时使这 3 种商品各自存贮量补充到的固定体积 Qi( i = 1 , 2 , 3 ) . ( 注： 问题 2参见 2 0 0 5年全国部分高校 研究生数学建模竞赛 B题中的问题 2 ) 采用惩罚函数法来求解， 依据上述算法， 编程 计算， 迭代结果收敛于下表所示的数据： 目前，许多商家为了满足市场的随机大量需 求， 采用租赁别人容量有限的仓库的方法. 为降低 不利损耗提高企业效益， 必须采用有效的库存管理 方法. 仿真数据表明： 通过求解本文建立的模型， 可 以较好地解决多种商品在允许缺货条件下的最佳 订货点确定的问题. 参考文献： 1李温红.仓库容量有限条件下的不允许缺货存 储模型J.系统工程理论方法与应用