8-弯曲应力

SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 本章目的本章目的 建立组合变形时杆件强度计算方法及强度条件；建立组合变形时杆件强度计算方法及强度条件； 明确纯弯曲和横力弯曲的概念；掌握弯曲应力推导方法；明确纯弯曲和横力弯曲的概念；掌握弯曲应力推导方法；明确纯弯曲和横力弯曲的概念；掌握弯曲应力推导方法；明确纯弯曲和横力弯曲的概念；掌握弯曲应力推导方法； 推导对称梁纯弯曲正应力公式及横力弯曲剪应力公式；推导对称梁纯弯曲正应力公式及横力弯曲剪应力公式； 介绍一般薄壁杆件弯曲剪应力、剪流分布规律。介绍一般薄壁杆件弯曲剪应力、剪流分布规律。 本章目的本章目的 明确弯曲中心、剪流概念；了解提高梁抗弯强度的主要措施。明确弯曲中心、剪流概念；了解提高梁抗弯强度的主要措施。明确弯曲中心、剪流概念；了解提高梁抗弯强度的主要措施。明确弯曲中心、剪流概念；了解提高梁抗弯强度的主要措施。 基本要求基本要求 建立弯曲正应力强度条件及剪应力强度条件；建立弯曲正应力强度条件及剪应力强度条件； 理解抗弯截面模量、危险点的概念；熟练应用正应力强度条件；理解抗弯截面模量、危险点的概念；熟练应用正应力强度条件；理解抗弯截面模量、危险点的概念；熟练应用正应力强度条件；理解抗弯截面模量、危险点的概念；熟练应用正应力强度条件； 明确横力弯曲时正应力公式的适用条件，掌握其剪应力的推导明确横力弯曲时正应力公式的适用条件，掌握其剪应力的推导明确横力弯曲时正应力公式的适用条件，掌握其剪应力的推导明确横力弯曲时正应力公式的适用条件，掌握其剪应力的推导 过程及矩形横截面上剪应力的分布；熟练应用剪应力强度条件；过程及矩形横截面上剪应力的分布；熟练应用剪应力强度条件；过程及矩形横截面上剪应力的分布；熟练应用剪应力强度条件；过程及矩形横截面上剪应力的分布；熟练应用剪应力强度条件； 熟练掌握斜弯曲、拉弯组合和圆轴弯扭组合时应力和强度计算熟练掌握斜弯曲、拉弯组合和圆轴弯扭组合时应力和强度计算熟练掌握斜弯曲、拉弯组合和圆轴弯扭组合时应力和强度计算熟练掌握斜弯曲、拉弯组合和圆轴弯扭组合时应力和强度计算 ； SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 对称梁对称梁 在工程结构中有许多梁至少有一个纵向对称面，或者说梁截面在工程结构中有许多梁至少有一个纵向对称面，或者说梁截面 有一个对称轴，称为对称截面梁，简称为有一个对称轴，称为对称截面梁，简称为对称梁对称梁 F M q F1F2 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 对称弯曲对称弯曲 如如果外力和外力矩都作用在截面对称果外力和外力矩都作用在截面对称轴与梁轴线组轴与梁轴线组 成成的的对称面内，梁变形后的轴线成为该对称面内，梁变形后的轴线成为该对称面内的平面对称面内的平面 曲线曲线，这种弯曲称为，这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲（plane bending），），或或对对 称弯曲称弯曲（symmetrical bending）。）。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 梁纯弯曲正应力梁纯弯曲正应力(Normal Stress in Beams under Pure bending)(Normal Stress in Beams under Pure bending)1 1 试件表面等距网格化试件表面等距网格化（正方形截面等直梁）（正方形截面等直梁） 加载加载 观察表面线的变化观察表面线的变化 推测内部变形情况推测内部变形情况获得变形规律获得变形规律 表面现象表面现象 丛向线变形为相互平行的弧线，上丛向线变形为相互平行的弧线，上 部丛向线缩短，下部纵向线伸长；部丛向线缩短，下部纵向线伸长； 横向线变形后依然为直线，且与丛横向线变形后依然为直线，且与丛 向弧线垂直；相邻横向线相对转过一角度。向弧线垂直；相邻横向线相对转过一角度。 梁受图示弯矩作用，上部朝侧向和上方膨胀，下部则收缩。梁受图示弯矩作用，上部朝侧向和上方膨胀，下部则收缩。 M M SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 纯弯曲，平面截面假设纯弯曲，平面截面假设 关于弯曲变形的假设关于弯曲变形的假设 平面截面假设平面截面假设(John Bernoulli and Daniel (John Bernoulli and Daniel Bernoulli)Bernoulli) 变形前为平面的横截面，变形后仍为变形前为平面的横截面，变形后仍为 平面，且垂直于变形后的轴线，仅绕平面，且垂直于变形后的轴线，仅绕 其上某轴转一角度；其上某轴转一角度； 忽略横截面在其面内产生的变形；忽略横截面在其面内产生的变形； 忽略纵向线间的挤压。忽略纵向线间的挤压。 MM中性层中性层 中性层与截面交线中性层与截面交线实际实际 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 纯弯曲，平面截面假设纯弯曲，平面截面假设 变形分析变形分析 两端面相对转角两端面相对转角 （绕中性轴）（绕中性轴） 中性层曲率半径中性层曲率半径 中性层中性层纵向既不伸长也不缩短。纵向既不伸长也不缩短。 中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。 中性轴中性轴 MM中性层中性层 简化简化 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平面截面假设平面截面假设 线弹性范围，材料拉、压弹模相等。线弹性范围，材料拉、压弹模相等。 微分段微分段 两端面相对转角两端面相对转角 截面上任意一点截面上任意一点k 坐标系坐标系( , )x y z 0 xy = d 中性轴为中性轴为z轴轴 根据对根据对 称性和称性和 平面截平面截 面假设面假设 0 xz = 0 yz = 忽略面内应变忽略面内应变 , yz 点线应变点线应变k d()dd dd x kkxyy x = ) dd =xoo z y x x d x k 中性层中性层 M d k M y o o k 中性层中性层 d1 dx = 曲率曲率 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平面截面假设平面截面假设 忽略横向挤压忽略横向挤压 0 y = 0 z = 物理方面物理方面 变形规律变形规律 横截面任意横截面任意 一点上一点上 胡克定律胡克定律 ?横截面上一点的应力 横截面上一点的应力与该点到其中性与该点到其中性 轴的距离成正比。中性轴上应力为零，轴的距离成正比。中性轴上应力为零， 离中性轴最远处，应力值最大。离中性轴最远处，应力值最大。 纯弯曲时，中性层纯弯曲时，中性层曲率半径曲率半径 为一确定值。为一确定值。 xy/ 表明：表明： 横截面上任意一点的线应变横截面上任意一点的线应变 x与该点到中性轴的距离成正比。离与该点到中性轴的距离成正比。离 中性轴最远处线应变最大。中性轴最远处线应变最大。 x y = () 1 xxyz E =+ k x x x z y max t max c z M x xx y EE = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平衡条件平衡条件 平衡条件平衡条件建立内力与面上正应力关系建立内力与面上正应力关系 z y x z M x y Ad z 对称轴对称轴 x y E = 因为因为 0d A E yA = 所以所以 0 z S = 结论：结论：中性轴必过截面形心中性轴必过截面形心 即即 内力：内力：FN0，MZ 0， My0 0d Nx A FA = 1，1， SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 曲率，弯曲正应力曲率，弯曲正应力 max z z I W y = 抗弯截面系数,抗弯截面系数,m3 x y E = 2 d z A E yAM = 1 z z M EI = 抗弯刚度抗弯刚度 z EI 梁的曲率梁的曲率 z x z M y I = max max Z Z My I = max z M W = 应力方向（正负）可由内应力方向（正负）可由内 力方向及中性轴来判断。力方向及中性轴来判断。 z y x z M x x ()(d) xz A yAM = 2，2， SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平衡条件平衡条件 0d= Azy E A x y E = 因为因为y 为对称轴，为对称轴， 自动满足自动满足 0 yz I y、z 轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴 = z y x z M x x 0(d) xy A zAM = 3，3， SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平衡条件平衡条件 max t z y x max c z M z y x max t max c z M 矩形：高矩形：高h，宽，宽b = 3 12 z bh I = 2 6 z bh W 圆形：直径为圆形：直径为D= 4 64 z D I = 3 32 z D W 常见截面及其上正应力分布图常见截面及其上正应力分布图 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 平衡条件平衡条件 z y x z M max t max c 给定尺寸的工字型、给定尺寸的工字型、T型等，用平行移轴型等，用平行移轴 公式计算惯性矩；型钢查附录得惯性矩。公式计算惯性矩；型钢查附录得惯性矩。 常见截面及其上正应力分布图常见截面及其上正应力分布图 z y x z M max t max c SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题例题 z M y x 10cm 5cm y 矩形截面悬臂梁，截面宽矩形截面悬臂梁，截面宽5cm，高，高10cm。右端有力偶。右端有力偶M10 kN m作作 用。梁由低碳钢制成，弹性模量用。梁由低碳钢制成，弹性模量E200GPa。不计梁的自重，试求最。不计梁的自重，试求最 大应力，变形后的梁轴线的曲率半径。大应力，变形后的梁轴线的曲率半径。 解：最大正应力解：最大正应力 max 2 3 23 /6 10 10 Nm6 120 MPa 0.050.1 m z MM Wbh = = 3933 3 /12200 10 Pa0.050.1 m 83.3 m 10 10 N m 12 z EIEbh MM = 从计算结果可见，梁的上下表面的正应力已经相当大，而梁的变形从计算结果可见，梁的上下表面的正应力已经相当大，而梁的变形 是很小的。是很小的。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，强度问题例题，强度问题 矩形截面梁承受弯矩作用。为了增加矩形截面梁承受弯矩作用。为了增加 其强度，在梁下增加了两根小筋。已其强度，在梁下增加了两根小筋。已 知材料的许用应力知材料的许用应力 160MPa，确定，确定 这两种情况的许用弯矩。第二种设计这两种情况的许用弯矩。第二种设计 是否增加了梁的强度？是否增加了梁的强度？ 解：解： 梁（a）的惯性矩梁（a）的惯性矩 40N m 3030 6060 101010 10 2020 1010 1010 3030 6060 40N m yc 5 （a）（a） （b）（b） 3 364 1 (0.06m)(0.03m)0.135 10 m 1212 a bh I = max ,max a a My I = 66 max 160 100.135 10 1.44kN m 0.015 a MI y = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，强度问题例题，强度问题 梁（b）形心：梁（b）形心： 0.015(0.030.06)20.0325(0.0050.01) =0.01592m (0.030.06)2(0.0050.01) ii c i y A y A + = + max 0.0350.015920.01908my= 32 3264 1 (0.06)(0.03)(0.060.03)(0.015920.015) 12 1 2(0.01)(0.005)(0.01 0.005)(0.03250.01592) 0.1642 10 m 12 b I =+ += 对于形心轴的惯性矩对于形心轴的惯性矩 0.015920.015 0.0325 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，强度问题例题，强度问题 max ,max , b b My I = 66 max 160 100.1642 10 1.38kN m 0.01908 b MI y = 可见梁（b）的许用弯矩小于梁（a），设计了可见梁（b）的许用弯矩小于梁（a），设计了“加强筋加强筋”的梁的的梁的 强度反而减小。因为强度反而减小。因为 6 63 ,max 0.135 10 9 10 m 0.015 a a a I W y = 6 63 ,max 0.1642 10 8.606 10 m 0.01908 b b b I W y = 加筋后截面抗弯系数反而减小，加筋后截面抗弯系数反而减小，同样弯矩下同样弯矩下 max增大增大，所以强度减小。，所以强度减小。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，截面设计例题，截面设计 a/2 2a/3 a/3 a 已知材料的许用应力已知材料的许用应力 150MPa，确定截面尺寸，确定截面尺寸a。 解：解： 1，作弯矩图1，作弯矩图 60kN 40kN/m A B2m1m M -60kNm Mmax60kN m SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，截面设计例题，截面设计 截面面积截面面积 22 22 2 33 aa A aa= = 3 225 ()() 362 3 318 c aaaa y Aaaa=+= 5 , 12 c ya= 4 3232 51222537 ( )()() ()()() 123312612 2 32 331224 27 aaaaaaaaa Iaaaa=+= max 57 1212 yaaa= = max max 43 724271427 123737 MyMa M Iaa = a/2 2a/3 a/3 a yc ymax 3 333 6 142760 10 4.0865 10 m , 37150 10 a = 160mm Ans.a SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 横力弯曲横力弯曲 梁横力弯曲时的应力梁横力弯曲时的应力(Stresses in Beams under Transverse Loading)(Stresses in Beams under Transverse Loading) F 横力作用下横力作用下 梁横截面上梁横截面上 的内力的内力 弯矩弯矩 剪力剪力 正应力正应力 切应力切应力 横截面翘曲，平面假设不成立横截面翘曲，平面假设不成立 正应力正应力对细长梁，采用欧拉对细长梁，采用欧拉 伯努利理论。仍然用纯弯正应力伯努利理论。仍然用纯弯正应力 1( ) ( ) z M x xEI = ( ) ( ) z M x xy I = 仍适用。仍适用。 ? 计算结果与精确解比较，有足够精度。计算结果与精确解比较，有足够精度。 max z M W = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 横力弯曲横力弯曲 切应力公式切应力公式 Mz Mz+dMz Fs y x z Fs dx (a) x2 x1 yx xy xy y A2 b y z x A1 (b) yx x2 A2 xy xy x1 A1 (c) dx 1 z z x A M y I = 2 zz z (d) x A MMy I + = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 弯曲切应力弯曲切应力 212 0 (d)d ddddd zzzz yxyx AAAzzz MMyM yM AAb xy Ab x III + = 21 ddd0 xxyx AA AAb x = 2 d1 d d z yxxy Az M y A bIx = d d z s M F x = * sz z xy F S bI = * d z A Sy A= 因为因为 所以所以 其中其中 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面的弯曲切应力矩形截面的弯曲切应力 xy yx h b z y max y 2 /2 * 2 2 dd () 24 h z Ay Sy Aby y b h y = = 2 2 3 6 () 4 s xy Fh y bh = max 1.51.5 ss FF bhA = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题,铸铁梁强度例题,铸铁梁强度 例题,T形截面铸铁梁如图所示，已知F例题,T形截面铸铁梁如图所示，已知F1 14kN，F4kN，F2 29kN，材料的抗拉9kN，材料的抗拉 强度极限（强度极限（ b b） 320MPa，抗压强度极限（ 320MPa，抗压强度极限（ b b） 750MPa，取安全 750MPa，取安全 系数n3.5。(1)试校核梁的强度（C为截面形心，系数n3.5。(1)试校核梁的强度（C为截面形心，Iz136cm4）。）。 （2）求最大切应力。（2）求最大切应力。 解（1）解（1） 最大压应力在B截面最大压应力在B截面 下边缘。下边缘。 max -84 4 1000N m0.05m 136 10 m 750 147MPa4504 30,所以最大拉应力在A截面下边缘。30,所以最大拉应力在A截面下边缘。 max -84 2.5 1000N m0.05m320 91.9MPaMPa91.4MPa 3.5136 10 m + = 虽然最大拉应力大于许用拉应力，但是不超过5，即虽然最大拉应力大于许用拉应力，但是不超过5，即 max 91.9MPa1.05=1.05 91.4MPa=95.97MPa + = 所以梁满足强度条件。所以梁满足强度条件。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 例题，铸铁梁强度例题，铸铁梁强度 （2）中性轴以下部分的面积矩（2）中性轴以下部分的面积矩 2020 2020 6060 6060 3030 C C *9363 max 205025 10 m25 10 mS = * 363 ,max,max max 84 6.5 10 N25 10 m 5.97MPa 136 10 m0.02m Sz z FS I b = 可见最大切应力比最大正应力小很多。可见最大切应力比最大正应力小很多。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁弯曲切应力工字梁弯曲切应力 z t d h b y y max h1 min 工字梁腹板上的切应力工字梁腹板上的切应力 222 *2 111111 /2/2/2 ()() 22222424 z hh hhhhyhhhbd Sbdyy + =+=+ 222 2 11 2 2 1 min () 2424 () 24 s xy z s z Fhhhbd y I d Fh y I =+ =+ 22 1 min () 8 S z F b hh I d = 22 1 max () 8 S z F bhhbd I d = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁弯曲切应力工字梁弯曲切应力 工字梁翼缘上的切应力工字梁翼缘上的切应力 b Mz c d b a dx FS FS z x y Mz+dMz aa d c zxbb b b a dx aa xz * sz xz z F S t I = * 22 szss xz zzz F SF tF hht t ItII = = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁弯曲例题工字梁弯曲例题 18号工字钢梁的截面尺号工字钢梁的截面尺寸如图所示。已知截面上的剪力寸如图所示。已知截面上的剪力Fs24kN， 弯矩弯矩Mz29.6kN m。试计算（。试计算（1）工字钢腹板所承）工字钢腹板所承受受的的剪剪力力占占截截面面上上 总剪力总剪力Fs的百分比。（的百分比。（2）翼缘所承受的弯矩占总弯矩）翼缘所承受的弯矩占总弯矩Mz的百分比。的百分比。 0.65 18 9.4 y z max min 1.07 a ya 单位：单位：cm a 解：（解：（1）设腹板承受剪力）设腹板承受剪力 Fs1。查型钢表得到。查型钢表得到18号工号工 字钢截面参数字钢截面参数 4 z 1660cmI = z max 15.4cm z I S = 先求腹板切应力先求腹板切应力 3 max max 22 z 24 10 N 24.0MPa 15.4 10 m0.65 10 m Sz F S I d = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁弯曲例题工字梁弯曲例题 腹腹板板的最小切应力在与翼缘交界处，该处的的最小切应力在与翼缘交界处，该处的Sz*为翼缘对为翼缘对z轴的面积轴的面积 矩：矩： 23 181.07 *(9.4 1.07)cmcm85.1cm 2 z S = * 363 S min 842 z 24 10 N85.1 10 m 18.9MPa 1660 10 m0.65 10 m z F S I d = 腹板所承受的剪力等于腹板切应力分布图的面积与腹板厚度的乘腹板所承受的剪力等于腹板切应力分布图的面积与腹板厚度的乘 积：积： 66 1min1maxmin1 22 22 ()18.9 10 Pa(2418.9) 10 Pa 33 (182 1.07) 10 m0.65 10 m23.0kN s Fhh d =+=+ = 1 dydy S Ftt = 1 23.0kN 95.8% 24.0kN S S F F = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁弯曲例题工字梁弯曲例题 （2）翼缘承受的弯矩）翼缘承受的弯矩Mz1 22 181.07 10 m8.465 10 m 2 a y = 0.65 18 9.4 y z max min 1.07 a ya 单位：单位：cm a z z 32 84 29.6 10 N m8.465 10 m 1660 10 m 150.9MPa a a M y I = = 11 6422 2 2 150.9 10 Pa9.4 1.07 10 m8.465 10 m25.7kN m zaa MA y = = 1 25.7kN m 86.8% 29.6kN m z z M M = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁强度校核工字梁强度校核 图图示示工字形截面简支梁，已知集中力工字形截面简支梁，已知集中力F30kN，均布力，均布力q5kN/m， 钢材的许用应力钢材的许用应力 =160MPa。试选择工字钢的型号，并且对梁作全。试选择工字钢的型号，并且对梁作全 面的强度校核。面的强度校核。 x xy 35kN 40kN FS 40kNm 37.5kNm M B A F=30kNF=30kN q=5kN/m 2m1m1m 40kN40kN CD 单位：单位：mm a. y 200 11.4 z d 102 ya SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁强度校核工字梁强度校核 解：解： 1，求出支座反力，作出剪力图和弯矩图，求出支座反力，作出剪力图和弯矩图 2，按弯曲正应力强度条件选工字钢型号，最大弯矩在梁的中间截面，按弯曲正应力强度条件选工字钢型号，最大弯矩在梁的中间截面， Mz,max40kN m 3 33 6 40 10 N m 0.25m250cm 160 10 Pa z z M W = 从型钢表查到从型钢表查到20b工字钢工字钢 ，Wz250cm3，Iz=2500cm4，Iz/ Sz,max =16.9cm，d0.9cm，可以满足强度条件。，可以满足强度条件。 3，切应力强度校核，切应力强度校核 最大剪力发生在支座最大剪力发生在支座A和支座和支座B处，处，FS,max=40kN， 所， 所以以 * 3 ,max,max max 42 40 10 N 26.3MPa 16.90.9 10 m Sz z FS I d = SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 工字梁强度校核工字梁强度校核 313max 252.6MPa r = 4，在在C点的左侧，剪力和弯矩都相当大，点的左侧，剪力和弯矩都相当大， FS,C35kN，Mz,C37.5kN m。在腹板和翼缘交界处的。在腹板和翼缘交界处的a点点 33 , 84 37.5 10 N m(10011.4) 10 m 132.9MPa 2500 10 m Z Ca a z My I = * 393 , 843 35 10 N(102 11.494.3) 10 m 17.1MPa 2500 10 m9 10 m S CZ a z FS I d = 根据第三强度理论，拉剪应力状态的相当应力根据第三强度理论，拉剪应力状态的相当应力 2222 3 4132.94 17.1 MPa137.2MPa raa =+=+= 工字梁的弯曲满足强度要求。工字梁的弯曲满足强度要求。 满足强度条件。满足强度条件。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 组装截面梁切应力组装截面梁切应力 有些梁由几个部分通过销钉、螺栓连接或焊接、胶结而成。为了有些梁由几个部分通过销钉、螺栓连接或焊接、胶结而成。为了 阻止各部件相对滑动，连接面承受剪力。阻止各部件相对滑动，连接面承受剪力。 dx dx tdxqdx 2 A dA 1 A dA MdM M zA dM tdxqdxydA I = A z dM y I 是前后A是前后A面积上应力之差，面积上应力之差， * Sz z F S q I =t SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 组装截面梁切应力组装截面梁切应力 s 800N 箱形梁由四块木板钉成。如果箱形梁由四块木板钉成。如果 每个钉子能承受每个钉子能承受200N剪力，求剪力，求 连接面连接面B和和C处钉子的间距处钉子的间距s。 解：解： 44 4 (20cm)(12cm) 11605.3cm 1212 I = 16cm 16cm 4cm 4cm B C SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 组装截面梁切应力组装截面梁切应力 * 3 , 4 800N2048cm 244.12N/cm 11605.3cm Sz B BB F S qt I = = 200N 9.06cm 44.12N/cm 2 B s 因为因为 B sB t一个钉子的剪力一个钉子的剪力200N 20cm 4cm 8cm B SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 组装截面梁切应力组装截面梁切应力 * 3 , 4 800N 1248cm 226.47N/cm 11605.3cm Sz C CC F S qt I = 2200N 15.12cm 26.47N/cm C s = 12cm 4cm 8cm C SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 塑性极限弯矩塑性极限弯矩 s s s M s s s s s ys s 弹性变形范围以内。梁的上下表面应力达到屈服极限时，梁的屈服弹性变形范围以内。梁的上下表面应力达到屈服极限时，梁的屈服 弯矩为弯矩为 SSS MW = 我们考虑矩形截面梁，我们考虑矩形截面梁， 2 6 SS bh M = 假定平面截面假设仍然成立假定平面截面假设仍然成立 1 () y = （a） SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 塑性极限弯矩塑性极限弯矩 用用 S表示起始屈服时的应变，那么梁的上下边缘开始屈服时的曲率表示起始屈服时的应变，那么梁的上下边缘开始屈服时的曲率 （c）（c） 对材料的塑性采用理想弹塑性假设，且压缩曲线与拉伸曲线相同。对材料的塑性采用理想弹塑性假设，且压缩曲线与拉伸曲线相同。 当塑性区域向内部延伸时，用当塑性区域向内部延伸时，用yS表示弹性区的高度。所以表示弹性区的高度。所以 1 /2 S S h = SS 0 S y y y y = S F A z x z M y I = 6 y h e yy zzN x zyzy M zFe yM yFe z FF AIIAII = += N FF= zy MFe= yz MFe= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 偏心受压偏心受压 考虑考虑ez0的情况，此时的情况，此时 2 12 (1) yy x z Fe ye y FF AIbhh = = + 上下边缘处的正应力为上下边缘处的正应力为 2 66 , ( /2)(1) 2 yy x Fee hFF yh bhbhhbh = += = + 2 66 , (/2)(1) 2 yy x Fee hFF yh bhbhhbh = = += SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 复合梁的弯曲复合梁的弯曲 y b h h E1 E2 z oo y o y hA1 A2 y = 几何关系：平面截面假设几何关系：平面截面假设 材料处于单向应力状态：材料处于单向应力状态： 1 1 E y = 2 2 E y = 12 1122 dd0 AA AA+= 轴向力平衡：轴向力平衡： 12 1122 dd0 AA Ey AEy A+= 1122 0E SE S+= 式中式中S1和和S2是对中性轴的面积矩。是对中性轴的面积矩。 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 复合梁的弯曲复合梁的弯曲 如果复合梁是等宽度的矩形截面，那么如果复合梁是等宽度的矩形截面，那么 () 12 ()(1) dd0 hh hh Ey yEy y += 2 221 221 () 2() EEE EEE = 可以确定中性轴位置：可以确定中性轴位置： 力矩平衡条件为力矩平衡条件为 = 12 1122z AA ydAydAM += 12 22 12 12 dd z AA EE yAyAM SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 复合梁的弯曲复合梁的弯曲 = + 1122 1 z M E IE I 所以梁弯曲的曲率为所以梁弯曲的曲率为 式中式中I1和和I2为两块面积对中性轴的惯性矩。两种材料的应力为为两块面积对中性轴的惯性矩。两种材料的应力为 = + 1 1 1122 z M E y E IE I = + 2 2 1122 z M E y E IE I SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 转换截面法转换截面法是将多种材料的复合截面，是将多种材料的复合截面，转换成单一材料的等转换成单一材料的等效效 面，然后用分析单一材料梁的方法进行求解。引进两个参数，设面，然后用分析单一材料梁的方法进行求解。引进两个参数，设 2 1 E E = 12 III =+ 轴力平衡方程可以表示为轴力平衡方程可以表示为 12 12 dd0 AA y Ay A += （a）（a） 12 bdbd0 AA yyyy+= SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 （b）图所示截面将第二种材料用（b）图所示截面将第二种材料用 宽度扩大宽度扩大 倍的第一种材料代替。倍的第一种材料代替。 （b）为（a）的（b）为（a）的等效截面等效截面，两个，两个 截面的中性轴位置相同，截面的中性轴位置相同，I I 为等为等 效截面的惯性矩。效截面的惯性矩。 从力矩平衡关系可以得到从力矩平衡关系可以得到 两种材料的应力为两种材料的应力为 1 M y I = 2 M y I = 1 1M E I =（b）（b） 1122112 1 () zz MM E IE IE II = + 22 22 22 () AA IydAyb dy= y E1 E2 o A1 A2 z y E1 E1 o A1 A2 z （a）（b） I2 I2 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 例题：梁的上半部分和下半部分由两种弹性模量不同的材料牢固粘例题：梁的上半部分和下半部分由两种弹性模量不同的材料牢固粘 合在一起制成，弹性模量分别为合在一起制成，弹性模量分别为E180GPa和和E2200GPa，b = 10mm，h=10mm。（。（1）试确定中性层位置；（）试确定中性层位置；（2）如果弯矩）如果弯矩M 20N m，求梁的上下表面的正应力。，求梁的上下表面的正应力。 z yc= h b MM h/2 h/2 E1 E2 z y y 2.5b （a） （b） （c） z SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 解：解： 求等效截面的形心。对z求等效截面的形心。对z轴取面积矩，得到轴取面积矩，得到 2 1 200 2.5 80 E E = 10 52.52.5 10 5 7.5 mm6.07mm 10 52.5 10 5 c y + = + 3 2 3 244 105 105 (6.072.5) 12 2.5 105 2.5 105 (106.072.5) mm =1257.4mm 12 I =+ + 等效截面对中性轴的惯性矩等效截面对中性轴的惯性矩 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 3 max 124 20N m 6.07 10 m96.55MPa 1257.4 10m c M y I = 3 max 124 20N m ()2.53.93 10 m156.27MPa 1257.4 10m c M hy I + = 上表面压应力上表面压应力 下表面拉应力下表面拉应力 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 钢筋混凝土简支梁承受均布载荷钢筋混凝土简支梁承受均布载荷q15kN/m作用，梁的长度为作用，梁的长度为4m。忽。忽 略混凝土的抗拉能力，钢筋与混凝土的弹性模量之比略混凝土的抗拉能力，钢筋与混凝土的弹性模量之比nES/EC10， 试求混凝土的最大压应力和钢筋的最大拉应力。试求混凝土的最大压应力和钢筋的最大拉应力。 解：解： 用转换截面用转换截面 法，法， 由于混凝土仅由于混凝土仅 有受压区工有受压区工 作，作， 转换截面只包转换截面只包 括受压区混凝括受压区混凝 土和受拉钢筋土和受拉钢筋 的转换面积的转换面积 nAS。 h=500 76 AS=5300mm2 M z nAS b=300 h b=300 SJTU 上 海 交 通 大 学 材料力学材料力学 Mechanics of Materials 第八章第八章 弯曲应力弯曲应力 转换截面法求解复合梁的弯曲转换截面法求解复合梁的弯曲 轴向力为零的条件，要求截面对中性轴的面积矩为零：轴向力为零的条件，要求截面对中性轴的面积矩为零： =(0.5)0.30 2 S nA = 6 10 5 300 10(0.5)0.30 2 =0.18m180mm =+=+ += 323 22 3 -624